橢球膨脹法在線路工程坐標(biāo)系建立中的應(yīng)用

摘 要：【目的】運(yùn)用橢球膨脹法，建立線路工程坐標(biāo)系，減小因測(cè)區(qū)跨度大、海拔高、起伏大引起的投影變形。【方法】研究5種橢球膨脹方法的原理，并結(jié)合實(shí)例從長(zhǎng)半軸變化量、基點(diǎn)大地坐標(biāo)變化量、邊長(zhǎng)變形量等3個(gè)方面進(jìn)行計(jì)算分析?！窘Y(jié)果】5種橢球膨脹方法的嚴(yán)密程度不同，得到的計(jì)算結(jié)果也不同，通過直接法、卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法計(jì)算得到的結(jié)果差異較大，通過平面解析法、廣義微分法計(jì)算得到的結(jié)果差異最小，且投影變形量均能滿足要求?！窘Y(jié)論】5種橢球膨脹方法均可用于線路工程坐標(biāo)系的建立。

關(guān)鍵詞：橢球膨脹法；投影變形；獨(dú)立坐標(biāo)系

中圖分類號(hào)：TU198" " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " "文章編號(hào)：1003-5168（2024）09-0066-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.09.013

Application of Ellipsoid Expansion Method in the Establishment of

Linear" Engineering Coordinate System

HU" Yi

（Sichuan Transportation Survey and Design Research Institute Co.， Ltd.， Chengdu 610017，China）

Abstract： [Purposes] This paper applies ellipsoid expansion method to establish the coordinate system of line engineering， and reduce the projection deformation caused by large span， high elevation， and high undulation in the survey area. [Methods] The principles of five ellipsoid expansion methods are discussed， and the calculation and analysis are carried out from three aspects， namely， the amount of change in the long semi-axis， the amount of change in the geodetic coordinates of the base point， and the amount of deformation of the side length combing with examples. [Findings] The five ellipsoidal expansion methods have different degree of rigour and the calculation results obtained are different， the results obtained by direct method， prime unitary curvature radius method and mean radius of curvature method have large differences， and the results obtained by planar analytic method and generalized differential method have the smallest differences， and the projection deformation amount can satisfy the requirements. [Conclusions] All five ellipsoid expansion methods can be used for the establishment of line engineering coordinate system.

Keywords： ellipsoid expansion method; projection deformation; engineering coordinate system

0 引言

在線路工程測(cè)量中，因線路橫跨投影帶或位于高海拔地區(qū)，導(dǎo)致國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的長(zhǎng)度投影變形無(wú)法滿足2.5 cm/km［1］的基本要求，需要建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。經(jīng)過大量文獻(xiàn)論證和工程實(shí)踐驗(yàn)證橢球膨脹法、橢球變形法和橢球平移法［2-4］均可被用于工程獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的建立，而橢球膨脹法有多個(gè)計(jì)算模型。本研究首先對(duì)橢球膨脹法的幾個(gè)計(jì)算模型的原理進(jìn)行討論，再結(jié)合某高速公路工程進(jìn)行計(jì)算分析，歸納總結(jié)各種計(jì)算模型的特點(diǎn)，為線路工程獨(dú)立坐標(biāo)系的建立提供指導(dǎo)。

1 橢球膨脹法原理

橢球膨脹是指沿測(cè)區(qū)中心地面點(diǎn)的法線方向?qū)E球放大或者縮小，使膨脹后橢球面與測(cè)區(qū)平均高程面相互吻合，形成新的橢球，且橢球膨脹前后的中心點(diǎn)、方向、扁率、尺度均保持不變，僅改變了橢球的長(zhǎng)半軸。工程中常用于改變橢球長(zhǎng)半軸的方法有直接法、平均曲率半徑法、卯酉曲率半徑法［5-7］、平面解析法［8］和廣義微分法［9］，不同計(jì)算方法因嚴(yán)密程度不同，計(jì)算結(jié)果也不相同。

2 五種橢球膨脹方法

2.1 直接法

直接法是將投影面高直接確定為橢球長(zhǎng)半軸變化量的方法，即[?a=?H]。

2.2 卯酉曲率半徑法

卯酉曲率半徑法將橢球面沿測(cè)區(qū)中心點(diǎn)的法線方向縮放到測(cè)區(qū)平距高程面[?H]，同時(shí)忽略變化前后緯度的變化（即[B1=B2]），此時(shí)卯酉圈曲率半徑N的變化量為投影面的大地高，即[?N=?H]。

再根據(jù)卯酉圈曲率半徑的計(jì)算公式，見式（1）。

[N=a1?e2·sin2B]" （1）

得出式（2）。

[a1=N11?e2·sin2B1 a2=N21?e2·sin2B2 ] （2）

由[B1=B2]、[?H=?N]可以得到長(zhǎng)半軸的變化量[?a]，見式（3）。

[?a=?H1?e2·sin2B1] （3）

2.3 平均曲率半徑法

平均曲率半徑法將橢球面沿測(cè)區(qū)中心點(diǎn)處平均曲率半徑方向縮放到測(cè)區(qū)平距高程面[?H]，同時(shí)忽略變化前后緯度的變化（即[B1=B2]），此時(shí)平均曲率半徑R的變化量為投影面的大地高，即[?R=?H]。

平均曲率半徑公式、卯酉圈曲率半徑公式、子午圈曲率半徑公式見式（4）。

[R=MN" " " " " " " "N=a1?e2·sin2B" " " "M=a（1?e2）1?e2·sin2B3] （4）

式中：M為橢圓面上某點(diǎn)處的子午圈曲率半徑，則可以得出式（5）。

[R1=M1N1=a11?e21?e2·sin2B1" " " " " " " " " " "R2=R1+?R=M2N2=a21?e21?e2·sin2B2] （5）

由于[B1=B2]、[?R=?H]，因此長(zhǎng)半軸改變量[?a]可通過式（5）計(jì)算而得式（6）。

[?a=?H（1?e2·sin2B1）=?H（1?e2·sin2B1）1?e2]" "（6）

2.4 平面解析法

平面解析法是一種考慮橢球面上的各向異性，采用平面解析幾何計(jì)算得到橢球長(zhǎng)半軸變化量的方法。

膨脹關(guān)系如圖1所示，在子午平面直角坐標(biāo)系中，[T1g1]為[T2]點(diǎn)在橢球[E1]上的法線方向和卯酉圈曲率半徑；[T2g2]為[T2]點(diǎn)在膨脹后橢球[E2]上的法線方向和卯酉圈曲率半徑。在平面坐標(biāo)系中，[T1]、[T2]點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（[x1]，[y1]）和（[x2]，[y2]），分別見式（7）和式（8）。

[x1=T1g1·cosB1=N1·cosB1" " " " " " " "y1=T1g1·sinB1=N1（1?e2）·sinB1]" " （7）[x2=T2g2·cosB2=N2·cosB2" " " " " " " "y2=T2g2·sinB2=N2（1?e2）·sinB2]" " （8）

再由[T1T2=?H]，式（8）可化簡(jiǎn)為式（9）。

[X2=T2g2·cosB1=（N1+?H）·cosB1" " " " " " " " " " "Y2=T2g2·sinB1=N1（1?e2）·sinB1+ ?H·sinB1] （9）

由（8）、（9）式可得式（10）。

lt;E：＼2024-7月數(shù)據(jù)＼河南科技202409＼Image＼image1_1.tifgt;圖1 膨脹關(guān)系

[Y2X2=（1?e2）·tanB2=aN1（1?e2）·sinB1+ ?H·sinB1（N1+?H）·cosB1]" （10）

由（10）式可得式（11）。

[tanB2=tanB1·（1+?H· e2（N1+?H）·（1?e2））]" "（11）

由式（11）可知，膨脹橢球的大地緯度[B2≥B1]，并可由反正切函數(shù)計(jì)算獲得[B2]。再由式（8）與式（9）中[X2]的表達(dá)式，可得[N2]的表達(dá)式，見式（12）。

[N2=（N1+?H）·cosB1cosB2]" （12）

綜合式（2）中[a2]的表達(dá)式，以及式（11）與式（12），可得到橢球[E2]的長(zhǎng)半軸[a2]與[?H]的關(guān)系式，以及橢球膨脹前后長(zhǎng)半軸變化量[?a與?H]的關(guān)系式。

2.5 廣義微分法

廣義微分法是利用大地測(cè)量微分公式計(jì)算橢球長(zhǎng)半軸變化量的方法。因橢球膨脹前后不改變橢球的定位、定向、尺度和扁率，則可忽略其對(duì)膨脹后大地坐標(biāo)變化的影響，只考慮長(zhǎng)半軸變化量帶來(lái)的影響。將大地測(cè)量微分公式簡(jiǎn)化后，大地坐標(biāo)的變化量的計(jì)算見式（13）。

[dB=N1e2·sinB1·cosB1·?aM1+H1·ad=0" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "dH=?1?e2·sin2B1 ·?a] （13）

因橢球膨脹后的橢球面與測(cè)區(qū)平均高程面吻合，則有式（14）。

[dH=?1?e2·sin2B1 ·?a=?H]" "（14）

將式（14）簡(jiǎn)化后可得到長(zhǎng)半軸變化量，見式（15）。

[?a=??H1?e2·sin2B1] （15）

3 工程案例分析

本研究基于Excel VBA的平臺(tái)編寫了高斯正反算函數(shù)、5種橢球長(zhǎng)半軸變化量的計(jì)算函數(shù)、橢球膨脹前后大地坐標(biāo)變化量計(jì)算函數(shù)、變形量計(jì)算函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了項(xiàng)目控制點(diǎn)由標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系向工程坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

3.1 測(cè)區(qū)概況

某高速公路全長(zhǎng)約75 km，位于106°22′E～107°07′E、31°23′N～31°29′N，呈東西走向，處于高斯3°帶投影的第35、36帶中，路線最大設(shè)計(jì)高程為625 m、最小設(shè)計(jì)高為335 m，落差高至290 m。全線共布設(shè)98個(gè)控制點(diǎn)，采用4臺(tái)UniStrong高精度GNSS接收機(jī)以邊連式進(jìn)行靜態(tài)測(cè)量，同時(shí)聯(lián)測(cè)3個(gè)高等級(jí)國(guó)家控制點(diǎn)。

3.2 5種橢球膨脹方法在工程坐標(biāo)系建立中的應(yīng)用與分析

因路線呈東西走向、沿線設(shè)計(jì)高差過大，導(dǎo)致路線全線無(wú)法采用同一個(gè)投影面，應(yīng)對(duì)路線進(jìn)行分段分析。分析的對(duì)象為G28段到G98段，該段在CGCS2000橢球上，以106°30′E為中央子午線、大地高440 m為投影高建立工程坐標(biāo)系，該段的高程異常為-39.98 m，基點(diǎn)緯度為31°26′N。

3.2.1 長(zhǎng)半軸變化量分析。5種橢球膨脹法的橢球長(zhǎng)半軸變化量見表1。由表1可知，橢球長(zhǎng)半軸變化量最小、最大值是分別由卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法計(jì)算得到的，由平面解析法和廣義微分法計(jì)算得到的長(zhǎng)半軸變化量間的差值最小，差值為1.4 ×[10?7] m，說(shuō)明平面解析法和大地微分法的嚴(yán)密性相似。

3.2.2 基點(diǎn)大地坐標(biāo)變化量分析。坐標(biāo)變化量具體見表2。由表2可知，基點(diǎn)的大地坐標(biāo)在橢球膨脹前后緯度都發(fā)生了變化，而直接法、卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法都忽略了緯度變化，則可判定卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法不夠嚴(yán)密?；c(diǎn)的大地高變化量與投影高最接近的是平面解析法和大地微分法，說(shuō)明平面解析法和大地微分法膨脹后的橢球面與測(cè)區(qū)地面吻合度最高。

3.3.3 膨脹后坐標(biāo)反算平距與實(shí)測(cè)平距比較。為了驗(yàn)證膨脹后，坐標(biāo)系內(nèi)部的精度，采用隨機(jī)抽樣的方式將控制點(diǎn)間的實(shí)測(cè)平距與反算所得的平距進(jìn)行比較，具體見表3。從表3中可知，同一條邊的5種方法反算平距與實(shí)測(cè)平距的差值互差最大為2 mm，比例誤差均小于1/40 000的規(guī)范要求。

4 結(jié)論

在建立高速公路工程坐標(biāo)系時(shí)，需要將設(shè)計(jì)路線的投影變形控制在合理的范圍之內(nèi)。本研究介紹了5種橢球膨脹方法的基本理論，并結(jié)合工程案例從橢球長(zhǎng)半軸變化、基點(diǎn)大地坐標(biāo)變化、長(zhǎng)度投影變形等3個(gè)方面分析了其各自的特點(diǎn)與性質(zhì)，主要研究結(jié)果如下。

①5種橢球膨脹法中，隨著橢球面的抬高，都會(huì)導(dǎo)致大地高和緯度的變化。

②5種橢球膨脹法中，嚴(yán)密程度最強(qiáng)的是平面解析法和大地微分法。

③5種橢球膨脹法中，直接法、卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法因邏輯不夠嚴(yán)密、計(jì)算簡(jiǎn)單，常被用于短小線路的工程坐標(biāo)系建立；平面解析法和大地微分法常被用于長(zhǎng)距離線路工程坐標(biāo)系建立。

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