橢球膨脹法在線路工程坐標(biāo)系建立中的應(yīng)用

摘 要：【目的】運用橢球膨脹法，建立線路工程坐標(biāo)系，減小因測區(qū)跨度大、海拔高、起伏大引起的投影變形?！痉椒ā垦芯?種橢球膨脹方法的原理，并結(jié)合實例從長半軸變化量、基點大地坐標(biāo)變化量、邊長變形量等3個方面進行計算分析?！窘Y(jié)果】5種橢球膨脹方法的嚴(yán)密程度不同，得到的計算結(jié)果也不同，通過直接法、卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法計算得到的結(jié)果差異較大，通過平面解析法、廣義微分法計算得到的結(jié)果差異最小，且投影變形量均能滿足要求?！窘Y(jié)論】5種橢球膨脹方法均可用于線路工程坐標(biāo)系的建立。

關(guān)鍵詞：橢球膨脹法；投影變形；獨立坐標(biāo)系

中圖分類號：TU198" " "文獻標(biāo)志碼：A" " "文章編號：1003-5168（2024）09-0066-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.09.013

Application of Ellipsoid Expansion Method in the Establishment of

Linear" Engineering Coordinate System

HU" Yi

（Sichuan Transportation Survey and Design Research Institute Co.， Ltd.， Chengdu 610017，China）

Abstract： [Purposes] This paper applies ellipsoid expansion method to establish the coordinate system of line engineering， and reduce the projection deformation caused by large span， high elevation， and high undulation in the survey area. [Methods] The principles of five ellipsoid expansion methods are discussed， and the calculation and analysis are carried out from three aspects， namely， the amount of change in the long semi-axis， the amount of change in the geodetic coordinates of the base point， and the amount of deformation of the side length combing with examples. [Findings] The five ellipsoidal expansion methods have different degree of rigour and the calculation results obtained are different， the results obtained by direct method， prime unitary curvature radius method and mean radius of curvature method have large differences， and the results obtained by planar analytic method and generalized differential method have the smallest differences， and the projection deformation amount can satisfy the requirements. [Conclusions] All five ellipsoid expansion methods can be used for the establishment of line engineering coordinate system.

Keywords： ellipsoid expansion method; projection deformation; engineering coordinate system

0 引言

在線路工程測量中，因線路橫跨投影帶或位于高海拔地區(qū)，導(dǎo)致國家標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的長度投影變形無法滿足2.5 cm/km［1］的基本要求，需要建立工程獨立坐標(biāo)系統(tǒng)。經(jīng)過大量文獻論證和工程實踐驗證橢球膨脹法、橢球變形法和橢球平移法［2-4］均可被用于工程獨立坐標(biāo)系統(tǒng)的建立，而橢球膨脹法有多個計算模型。本研究首先對橢球膨脹法的幾個計算模型的原理進行討論，再結(jié)合某高速公路工程進行計算分析，歸納總結(jié)各種計算模型的特點，為線路工程獨立坐標(biāo)系的建立提供指導(dǎo)。

1 橢球膨脹法原理

橢球膨脹是指沿測區(qū)中心地面點的法線方向?qū)E球放大或者縮小，使膨脹后橢球面與測區(qū)平均高程面相互吻合，形成新的橢球，且橢球膨脹前后的中心點、方向、扁率、尺度均保持不變，僅改變了橢球的長半軸。工程中常用于改變橢球長半軸的方法有直接法、平均曲率半徑法、卯酉曲率半徑法［5-7］、平面解析法［8］和廣義微分法［9］，不同計算方法因嚴(yán)密程度不同，計算結(jié)果也不相同。

2 五種橢球膨脹方法

2.1 直接法

直接法是將投影面高直接確定為橢球長半軸變化量的方法，即[?a=?H]。

2.2 卯酉曲率半徑法

卯酉曲率半徑法將橢球面沿測區(qū)中心點的法線方向縮放到測區(qū)平距高程面[?H]，同時忽略變化前后緯度的變化（即[B1=B2]），此時卯酉圈曲率半徑N的變化量為投影面的大地高，即[?N=?H]。

再根據(jù)卯酉圈曲率半徑的計算公式，見式（1）。

[N=a1?e2·sin2B]" （1）

得出式（2）。

[a1=N11?e2·sin2B1 a2=N21?e2·sin2B2 ] （2）

由[B1=B2]、[?H=?N]可以得到長半軸的變化量[?a]，見式（3）。

[?a=?H1?e2·sin2B1] （3）

2.3 平均曲率半徑法

平均曲率半徑法將橢球面沿測區(qū)中心點處平均曲率半徑方向縮放到測區(qū)平距高程面[?H]，同時忽略變化前后緯度的變化（即[B1=B2]），此時平均曲率半徑R的變化量為投影面的大地高，即[?R=?H]。

平均曲率半徑公式、卯酉圈曲率半徑公式、子午圈曲率半徑公式見式（4）。

[R=MN" " " " " " " "N=a1?e2·sin2B" " " "M=a（1?e2）1?e2·sin2B3] （4）

式中：M為橢圓面上某點處的子午圈曲率半徑，則可以得出式（5）。

[R1=M1N1=a11?e21?e2·sin2B1" " " " " " " " " " "R2=R1+?R=M2N2=a21?e21?e2·sin2B2] （5）

由于[B1=B2]、[?R=?H]，因此長半軸改變量[?a]可通過式（5）計算而得式（6）。

[?a=?H（1?e2·sin2B1）=?H（1?e2·sin2B1）1?e2]" "（6）

2.4 平面解析法

平面解析法是一種考慮橢球面上的各向異性，采用平面解析幾何計算得到橢球長半軸變化量的方法。

膨脹關(guān)系如圖1所示，在子午平面直角坐標(biāo)系中，[T1g1]為[T2]點在橢球[E1]上的法線方向和卯酉圈曲率半徑；[T2g2]為[T2]點在膨脹后橢球[E2]上的法線方向和卯酉圈曲率半徑。在平面坐標(biāo)系中，[T1]、[T2]點的坐標(biāo)分別為（[x1]，[y1]）和（[x2]，[y2]），分別見式（7）和式（8）。

[x1=T1g1·cosB1=N1·cosB1" " " " " " " "y1=T1g1·sinB1=N1（1?e2）·sinB1]" " （7）[x2=T2g2·cosB2=N2·cosB2" " " " " " " "y2=T2g2·sinB2=N2（1?e2）·sinB2]" " （8）

再由[T1T2=?H]，式（8）可化簡為式（9）。

[X2=T2g2·cosB1=（N1+?H）·cosB1" " " " " " " " " " "Y2=T2g2·sinB1=N1（1?e2）·sinB1+ ?H·sinB1] （9）

由（8）、（9）式可得式（10）。

lt;E：＼2024-7月數(shù)據(jù)＼河南科技202409＼Image＼image1_1.tifgt;圖1 膨脹關(guān)系

[Y2X2=（1?e2）·tanB2=aN1（1?e2）·sinB1+ ?H·sinB1（N1+?H）·cosB1]" （10）

由（10）式可得式（11）。

[tanB2=tanB1·（1+?H· e2（N1+?H）·（1?e2））]" "（11）

由式（11）可知，膨脹橢球的大地緯度[B2≥B1]，并可由反正切函數(shù)計算獲得[B2]。再由式（8）與式（9）中[X2]的表達式，可得[N2]的表達式，見式（12）。

[N2=（N1+?H）·cosB1cosB2]" （12）

綜合式（2）中[a2]的表達式，以及式（11）與式（12），可得到橢球[E2]的長半軸[a2]與[?H]的關(guān)系式，以及橢球膨脹前后長半軸變化量[?a與?H]的關(guān)系式。

2.5 廣義微分法

廣義微分法是利用大地測量微分公式計算橢球長半軸變化量的方法。因橢球膨脹前后不改變橢球的定位、定向、尺度和扁率，則可忽略其對膨脹后大地坐標(biāo)變化的影響，只考慮長半軸變化量帶來的影響。將大地測量微分公式簡化后，大地坐標(biāo)的變化量的計算見式（13）。

[dB=N1e2·sinB1·cosB1·?aM1+H1·ad=0" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "dH=?1?e2·sin2B1 ·?a] （13）

因橢球膨脹后的橢球面與測區(qū)平均高程面吻合，則有式（14）。

[dH=?1?e2·sin2B1 ·?a=?H]" "（14）

將式（14）簡化后可得到長半軸變化量，見式（15）。

[?a=??H1?e2·sin2B1] （15）

3 工程案例分析

本研究基于Excel VBA的平臺編寫了高斯正反算函數(shù)、5種橢球長半軸變化量的計算函數(shù)、橢球膨脹前后大地坐標(biāo)變化量計算函數(shù)、變形量計算函數(shù)，從而實現(xiàn)了項目控制點由標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系向工程坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

3.1 測區(qū)概況

某高速公路全長約75 km，位于106°22′E～107°07′E、31°23′N～31°29′N，呈東西走向，處于高斯3°帶投影的第35、36帶中，路線最大設(shè)計高程為625 m、最小設(shè)計高為335 m，落差高至290 m。全線共布設(shè)98個控制點，采用4臺UniStrong高精度GNSS接收機以邊連式進行靜態(tài)測量，同時聯(lián)測3個高等級國家控制點。

3.2 5種橢球膨脹方法在工程坐標(biāo)系建立中的應(yīng)用與分析

因路線呈東西走向、沿線設(shè)計高差過大，導(dǎo)致路線全線無法采用同一個投影面，應(yīng)對路線進行分段分析。分析的對象為G28段到G98段，該段在CGCS2000橢球上，以106°30′E為中央子午線、大地高440 m為投影高建立工程坐標(biāo)系，該段的高程異常為-39.98 m，基點緯度為31°26′N。

3.2.1 長半軸變化量分析。5種橢球膨脹法的橢球長半軸變化量見表1。由表1可知，橢球長半軸變化量最小、最大值是分別由卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法計算得到的，由平面解析法和廣義微分法計算得到的長半軸變化量間的差值最小，差值為1.4 ×[10?7] m，說明平面解析法和大地微分法的嚴(yán)密性相似。

3.2.2 基點大地坐標(biāo)變化量分析。坐標(biāo)變化量具體見表2。由表2可知，基點的大地坐標(biāo)在橢球膨脹前后緯度都發(fā)生了變化，而直接法、卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法都忽略了緯度變化，則可判定卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法不夠嚴(yán)密。基點的大地高變化量與投影高最接近的是平面解析法和大地微分法，說明平面解析法和大地微分法膨脹后的橢球面與測區(qū)地面吻合度最高。

3.3.3 膨脹后坐標(biāo)反算平距與實測平距比較。為了驗證膨脹后，坐標(biāo)系內(nèi)部的精度，采用隨機抽樣的方式將控制點間的實測平距與反算所得的平距進行比較，具體見表3。從表3中可知，同一條邊的5種方法反算平距與實測平距的差值互差最大為2 mm，比例誤差均小于1/40 000的規(guī)范要求。

4 結(jié)論

在建立高速公路工程坐標(biāo)系時，需要將設(shè)計路線的投影變形控制在合理的范圍之內(nèi)。本研究介紹了5種橢球膨脹方法的基本理論，并結(jié)合工程案例從橢球長半軸變化、基點大地坐標(biāo)變化、長度投影變形等3個方面分析了其各自的特點與性質(zhì)，主要研究結(jié)果如下。

①5種橢球膨脹法中，隨著橢球面的抬高，都會導(dǎo)致大地高和緯度的變化。

②5種橢球膨脹法中，嚴(yán)密程度最強的是平面解析法和大地微分法。

③5種橢球膨脹法中，直接法、卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法因邏輯不夠嚴(yán)密、計算簡單，常被用于短小線路的工程坐標(biāo)系建立；平面解析法和大地微分法常被用于長距離線路工程坐標(biāo)系建立。

參考文獻：

［1］中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.工程測量標(biāo)準(zhǔn)：GB 50026—2020［S］.北京：中國計劃出版社，2020.

［2］蔡婧，郭際明，謝燈兵.利用橢球變換建立獨立坐標(biāo)系的方法［J］.地理空間信息，2019，17（7）：87-90，11.

［3］胡玉祥，張洪德，王曉兵，等.工程獨立坐標(biāo)系的建立方法及應(yīng)用［J］.測繪與空間地理信息，2022，45（10）：258-260，264.

［4］張辛，楊愛明，許其鳳，等.滇中引水工程獨立坐標(biāo)系統(tǒng)建立的關(guān)鍵技術(shù)研究［J］.武漢大學(xué)學(xué)報（信息科學(xué)版），2014，39（9）： 1047-1051.

［5］段志強，劉平，邢光成.基于橢球膨脹法限制長度變形的認識和實踐［J］.地理空間信息，2015，13（1）：128-130，133.

［6］李邱林，龔秋全，董武鐘.基于橢球膨脹法建立獨立坐標(biāo)系在工程中的應(yīng)用探討［J］.礦山測量，2016，44（6）：72-74，96.

［7］于亞杰，趙英志，張月華.基于橢球膨脹法實現(xiàn)獨立坐標(biāo)系統(tǒng)的建立［J］.測繪通報，2011（12）：33-36.

［8］王磊，郭際明，申麗麗，等.顧及橢球面不平行的橢球膨脹法在高程投影面變換中的應(yīng)用［J］.武漢大學(xué)學(xué)報（信息科學(xué)版），2013，38（6）：725-728，733.

［9］李文軍，李軍，胡軍.橢球膨脹法在建立帶狀工程坐標(biāo)系的應(yīng)用研究［J］.地理空間信息，2020，18（12）：104-107，8.