基于總體最小二乘法改進GM（1，1）模型的礦區(qū)沉降預(yù)測

摘 要：【目的】針對煤礦區(qū)地表沉降受各種因素影響難以精確預(yù)測的問題，本研究提出采用總體最小二乘法（TLS）融入GM（1，1）模型進行試驗研究。【方法】基于某礦區(qū)2011—2017年的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)，分別采用基于總體最小二乘法（TLS）與最小二乘法（LS）的GM（1，1）模型進行預(yù)測試驗?！窘Y(jié)果】試驗結(jié)果表明，基于GM（1，1）預(yù)測模型，采用TLS方法對2018年礦區(qū)沉降預(yù)測的精度較LS方法提高了0.49 mm；對2019年礦區(qū)沉降預(yù)測的精度較LS方法提高了0.55 mm。【結(jié)論】本研究驗證了采用TLS方法的GM（1，1）模型相較于LS方法的GM（1，1）模型在礦區(qū)地面沉降預(yù)測中具有更高的精度和更好的效果。

關(guān)鍵詞：礦區(qū)沉降；總體最小二乘法；GM（1，1）模型；預(yù)測精度

中圖分類號：TD327" " "文獻標志碼：A" " "文章編號：1003-5168（2024）09-0044-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.09.009

Mining Subsidence Prediction Based on Improved GM （ 1，1 ） Model by Total Least Squares Method

SHANG Wenlong1 MA Kaifeng1 HAO Mengshu1 XUE Yaoxiang2

（1.North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 450046，China;

2.Fengtu Technology （Shenzhen） Co.， Ltd. Wuhan Branch，Wuhan 430200，China）

Abstract： [Purposes] This study proposes the use of Total Least Squares （TLS） in combination with the GM（1，1） model to conduct experimental research on the difficult-to-predict surface subsidence in coal mining areas affected by various factors.[Methods] Specifically， this study is based on the subsidence monitoring data from a certain mining area between 2011 and 2017. The GM（1，1） model is used in conjunction with both the Total Least Squares （TLS） and the Ordinary Least Squares （LS） methods for predictive experiments .[Findings] The experimental results indicate that， based on the GM（1，1） prediction model， the use of the TLS method improves the accuracy of subsidence monitoring predictions in the mining area by 0.49 mm for the year 2018 and by 0.55 mm for the year 2019 compared to the LS method .[Conclusions] Therefore， this study confirms that the GM（1，1） model using the TLS method provides higher accuracy and better performance in predicting ground subsidence in mining areas compared to the GM（1，1） model using the LS method.

Keywords： subsidence in mining areas; Total Least Squares method; GM（1，1） model; prediction accuracy

0 引言

我國擁有較豐富的煤炭資源，煤炭供應(yīng)在國民經(jīng)濟發(fā)展中發(fā)揮著重要作用［1］。然而，隨著礦區(qū)開采深度的加深和規(guī)模的擴大，礦山周邊環(huán)境發(fā)生了明顯變化，由礦區(qū)開采引起的地表沉降問題對安全生產(chǎn)構(gòu)成了一定的威脅［2］。長期沉降和不均勻沉降現(xiàn)象會進一步增加了礦區(qū)的安全風(fēng)險，甚至引發(fā)結(jié)構(gòu)變形和安全性問題［3］。在采礦工程和巖土工程領(lǐng)域，研究和預(yù)測地下開采引起的地表沉降一直是一個重要的課題，且建立數(shù)學(xué)或數(shù)值模型則是研究的主要方法之一［4］。因此，科學(xué)預(yù)測和預(yù)防礦區(qū)地表沉降變化具有重要意義。

已有學(xué)者使用各種方法對地表沉降問題進行預(yù)測研究。例如，曾凱等［5］基于灰色GM（1，1）模型和等維新息模型，對某礦工業(yè)廣場的沉降趨勢進行了預(yù)測研究，并通過殘差序列修正提高了預(yù)測精度。陳洋等［6］提出了一種將非等間距觀測數(shù)據(jù)應(yīng)用于GM（1，1）模型的等距化處理方法，以提高路基沉降的預(yù)測精度。李斌等［7］利用灰色系統(tǒng)理論的非等間隔模型GM（1，1），對建筑物及地表沉降觀測數(shù)據(jù)進行了建模、分析和預(yù)測，并驗證了灰色模型在建筑物及地表沉降變形分析中的實用性和正確性。張凱月［8］通過建立GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型，利用等時間序列沉降數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測，以解決煤礦過度開采引起的沉降問題。這些研究表明，灰色GM（1，1）模型在地表沉降預(yù)測中得到了廣泛應(yīng)用。

傳統(tǒng)的灰色GM（1，1）模型和其他灰色模型通常采用經(jīng)典的最小二乘法進行參數(shù)估計。然而，由于灰色模型中的系數(shù)矩陣是基于觀測數(shù)據(jù)構(gòu)建的，不可避免地存在誤差。因此，在采用經(jīng)典的最小二乘法進行解算時，由于無法準確考慮系數(shù)矩陣中的誤差［9-10］，所得結(jié)果并非最優(yōu)。為了改進灰色模型的解算方法，本研究提出了一種采用總體最小二乘法來求解灰色GM（1，1）模型中的灰參數(shù)的方法，以提高礦區(qū)沉降預(yù)測的精度。

本研究以某礦區(qū)沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，分別采用經(jīng)典最小二乘法和總體最小二乘法對灰色GM（1，1）模型的灰參數(shù)進行求解，并進行沉降建模預(yù)測分析。研究結(jié)果表明，總體最小二乘法能夠更準確地估計灰色GM（1，1）模型中的灰參數(shù)，從而提高了沉降預(yù)測的精度和可靠性。

1 模型構(gòu)建

1.1 灰色GM（1，1）模型

本研究對原始數(shù)據(jù)進行累加處理，得到一個新的平穩(wěn)增長序列[x（1）（k）]，累加的目的是消除原始數(shù)據(jù)中的隨機波動部分，突出其整體趨勢，計算方法見式（1）。

[x（1）（k）=i=1kx（0）（t）]" " " " " （1）

式中：[k=1，2，3，…，n]。

本研究采用微分方程近似描述新數(shù)列的變化趨勢，對新的累加序列[x（1）]對時間[t]進行一次偏導(dǎo)數(shù)運算，得到的微分方程見式（2）。

[dx（1）dt+ax（1）=u]" " " " " "（2）

式中：[a]和[u]是待求的灰參數(shù)。這個方程描述了[x（1）]在單位時間內(nèi)的變化率與當前值之間的關(guān)系，以及外部環(huán)境對其的影響。

通過最小二乘法求得灰參數(shù)[a]和[u]，可以獲取相關(guān)矩陣。最小二乘法的目標是通過最小化實際觀測值[Yn]與模型預(yù)測值之間的誤差平方和，以估計灰參數(shù)[a]和[u]的值，具體見式（3）。

[au=（BTB）-1BTYn]" " " " "（3）

式中，[Yn]是列向量，[B]是構(gòu)造的系數(shù)矩陣。根據(jù)[x（1）]的特點，構(gòu)造系數(shù)矩陣[B]和觀測向量[Yn]。系數(shù)矩陣[B]的每一行都是通過[x（1）]中兩個相鄰值進行平均得到的，觀測向量[Yn]是[x（0）]中從第二個值開始的一列數(shù)據(jù)。這樣構(gòu)造的[B]和[Yn]反映了[x（1）]的變化趨勢和規(guī)律，具體見式（4）、式（5）。

[B=-0.5（x（1）（1）+x（1）（2））1-0.5（x（1）（2）+x（1）（3））1??-0.5（x（1）（n-1）+x（1）（n））1]" " （4）

[Yn=x（0）（2）x（0）（3）?x（0）（n）]" " " " " " （5）

最后根據(jù)灰參數(shù)[a]和[u]構(gòu)建預(yù)測模型，見式（6）。

[x（1）（t+1）=[x（0）（1）-ua]e-at+ua]" " （6）

1.2 基于TLS的灰色GM（1，1）模型

由灰色GM（1，1）模型的系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)可知，其第一列是觀測數(shù)據(jù)的累加值，由于觀測量中不可避免地存在誤差，因此系數(shù)矩陣中必然含有誤差。忽略系數(shù)矩陣中的誤差會導(dǎo)致結(jié)果不合理且理論上不完善。為了解決這個問題，采用總體最小二乘法來求解待估參數(shù)。

假設(shè)[a]為待估參數(shù)，[Yn]為觀測向量，[B]為系數(shù)矩陣，[EB]為系數(shù)矩陣[B]中的誤差矩陣，[ey]是觀測向量中的誤差向量，則可以得到式（7）。

[Y+ey=（B+EB）α]" " " " " （7）

將增廣矩陣進行奇異值分解，見式（8）。

[BY=U1m+1U2n-（m+1）?∑0?VT=U1?∑?VT]" （8）

通過求解增廣矩陣右奇異向量的最后一列，可以得到總體最小二乘解，即參數(shù)[a]的估值，見式（9）。

[α=-V12V-122] （9）

求得參數(shù)[a]的值后，將其代回式中，即可進行預(yù)測。

2 試驗與結(jié)果

2.1 算例分析

在礦區(qū)沉降預(yù)測模型方面，灰色理論模型是一種被廣泛運用的方法。該模型建立在對時間序列數(shù)學(xué)平穩(wěn)性假設(shè)的基礎(chǔ)上，可以根據(jù)時間序列數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的模型，以求得更準確的預(yù)測結(jié)果［11-12］。其中，灰色GM（1，1）模型是一種基于一階指數(shù)累加滑動平均法的灰色預(yù)測模型，其建模和預(yù)測方式簡單易行，準確性較高。為比較LS和TLS在灰色GM（1，1）模型中求解礦區(qū)沉降模型預(yù)測的效果，本研究參照劉建明等［13］的研究中2011—2017年的沉降數(shù)據(jù)進行計算分析，監(jiān)測數(shù)據(jù)經(jīng)過預(yù)處理符合試驗數(shù)據(jù)要求，詳細數(shù)據(jù)如圖1所示。由圖1可知，本研究選取了該礦區(qū)沉降特征點（編號為1～6）的長期監(jiān)測數(shù)據(jù)，且觀察到該礦區(qū)地表整體呈現(xiàn)逐年下沉趨勢。

為了驗證GM（1，1）模型中的LS和TLS在礦區(qū)地面沉降監(jiān)測預(yù)測中的可靠性和準確性，本研究將2011-2017年長期觀測數(shù)據(jù)作為已知值，對該礦區(qū)2018年和2019年的地面數(shù)據(jù)進行預(yù)測，并以實際測量的長期監(jiān)測數(shù)據(jù)作為參考值進行精度評估，同時將誤差值和中誤差值作為精度指標。預(yù)測結(jié)果和誤差結(jié)果分別記錄在表1和表2中。

2.2 結(jié)果討論

由表1可知，對于2018年的沉降值預(yù)測，最小二乘（LS）值和總體最小二乘（TLS）值相比，真值存在一定的偏差，但是TLS值的偏差較小，整體來看TLS值更接近真值。在序號為4和6的監(jiān)測點上，TLS值的預(yù)測結(jié)果與真值非常接近，表明總體最小二乘法在灰色GM（1，1）模型中對礦區(qū)地面沉降的預(yù)測具有更高的精度。針對2019年的沉降值預(yù)測，同樣可以觀察到TLS值相較于LS值更接近真值。在序號為1、2和5的監(jiān)測點上，TLS值的預(yù)測結(jié)果與真值非常接近，而LS值在序號為2和5的監(jiān)測點上存在較大偏差。這也表明采用總體最小二乘法處理灰色GM（1，1）模型對于礦區(qū)地表沉降的預(yù)測表現(xiàn)出更高的可靠性和準確性。

由表2可知，觀察2018年的預(yù)測誤差，可以看到對于LS方法和TLS方法在不同監(jiān)測點上的預(yù)測誤差存在一定的差異。但在選取的6個監(jiān)測點上，TLS方法的預(yù)測誤差普遍小于LS方法。這表明TLS方法相較于LS方法在2018年的預(yù)測中表現(xiàn)更加穩(wěn)定和準確。針對2019年的預(yù)測誤差，可以看到TLS方法相比LS方法在序號為1、5和6的監(jiān)測點上的預(yù)測誤差要更小?？傮w來看，TLS方法在不同監(jiān)測點上的預(yù)測誤差波動較小，表現(xiàn)出更加穩(wěn)定的特點。

最后可以通過計算灰色GM（1，1）模型的中誤差進行分析，具體如下。

LS中誤差：[m18=±ΔΔn-1=±1.11 mm] ，[m19=±ΔΔn-1=±1.22 mm]。TLS中誤差：[mT18=±ΔΔn-1=±0.62 mm]，[mT19=±ΔΔn-1=±0.67 mm]。

根據(jù)計算，2018年和2019年的最小二乘在GM（1，1）模型預(yù)測結(jié)果的中誤差分別為1.11 mm和1.22 mm，而總體最小二乘方法在2018年和2019年的中誤差分別為0.62 mm和0.67 mm。觀察誤差數(shù)值可以發(fā)現(xiàn)，使用總體最小二乘方法得到的中誤差明顯小于一般最小二乘方法。這表明在灰色GM（1，1）模型中采用總體最小二乘法對礦區(qū)地表沉降進行預(yù)測具有更高的準確性和可靠性。

3 結(jié)論

本研究針對煤礦區(qū)地表沉降問題，提出采用總體最小二乘法處理灰色GM（1，1）模型，并進行了試驗與結(jié)果分析。通過對比最小二乘法（LS）和總體最小二乘法（TLS）在灰色GM（1，1）模型中求解礦區(qū)沉降模型預(yù)測的效果，得出以下結(jié)論。

①通過試驗研究發(fā)現(xiàn)，采用TLS方法融入GM（1，1）模型的礦區(qū)地面沉降預(yù)測方法相較于LS方法更準確。在預(yù)測2018年和2019年礦區(qū)沉降數(shù)據(jù)時，基于TLS方法的GM（1，1）模型相較于LS方法的GM（1，1）模型有較高的精度提升，分別提高了0.49 mm和0.55 mm。

②基于試驗結(jié)果，可以得出基于TLS方法的GM（1，1）模型比LS方法的GM（1，1）模型在礦區(qū)地面沉降監(jiān)測預(yù)測中表現(xiàn)更好，具有更高的準確性和可靠性。研究成果對于煤礦工程和巖土工程領(lǐng)域的相關(guān)研究具有重要的意義。

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