以期貨作為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)表達(dá)式推導(dǎo)

摘要：本文設(shè)計(jì)了一個(gè)兩層交易結(jié)構(gòu)，以期貨為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)交易。通過(guò)刻畫支付函數(shù)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，本文給出了兩層交易結(jié)構(gòu)下的期權(quán)定價(jià)表達(dá)式，并且在兩層交易結(jié)構(gòu)下發(fā)現(xiàn)了新的看漲看跌期權(quán)平價(jià)表達(dá)式，同時(shí)將上述情況推導(dǎo)的表達(dá)式推廣到一般情況，并在一般情況下同樣給出了平價(jià)關(guān)系方程，以上三點(diǎn)是本文的增量貢獻(xiàn)。

關(guān)鍵詞：期權(quán)；期貨；交易結(jié)構(gòu)；運(yùn)動(dòng)方程

DOI：10.12433/zgkjtz.20241519

一、背景介紹

在經(jīng)典金融學(xué)或金融工程中，自1976年布萊克和斯科爾斯推導(dǎo)出期權(quán)定價(jià)公式之后，很多定價(jià)表達(dá)式在過(guò)去幾十年衍生出來(lái)，如1976年Merton在金融文獻(xiàn)中首次提出當(dāng)基礎(chǔ)資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)方程除漂移項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)（類似布朗運(yùn)動(dòng)）外，再加入沖擊項(xiàng)（遵從泊松分布）的情況下，可以給出看漲期權(quán)的定價(jià)公式，即Merton跳躍—擴(kuò)散模型；1993年Heston模型從一系列隨機(jī)波動(dòng)模型脫穎而出，該模型假定資產(chǎn)的波動(dòng)過(guò)程非負(fù)，符合市場(chǎng)可觀察數(shù)據(jù)具有的均值回復(fù)特性，模型同時(shí)設(shè)定了擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)具有波動(dòng)方程，其波動(dòng)方程的擾動(dòng)項(xiàng)與前述基礎(chǔ)資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)方程中的擾動(dòng)項(xiàng)之間存在相關(guān)系數(shù)，該模型可以給出期權(quán)的顯式解，為奇異期權(quán)提供了一個(gè)一致的定價(jià)框架。

近年來(lái)期權(quán)定價(jià)模型通常是基礎(chǔ)資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)方程具有帶跳（Jump）性質(zhì)或假設(shè)運(yùn)動(dòng)方程中的參數(shù)具有不確定性（Samuel and Martin， 2017），然后在此基礎(chǔ)上研究期權(quán)定價(jià)模型。以上期權(quán)定價(jià)都是以假設(shè)不同的基礎(chǔ)資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)方程為前提的推導(dǎo)，只是運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)復(fù)雜性或特點(diǎn)各不相同，但交易結(jié)構(gòu)往往是直接在基礎(chǔ)資產(chǎn)上嫁接期權(quán)，只有一層交易結(jié)構(gòu)。

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)兩層的交易結(jié)構(gòu)，期權(quán)以期貨為標(biāo)的，期貨以基礎(chǔ)實(shí)物或金融資產(chǎn)為標(biāo)的。下面將闡述基本交易結(jié)構(gòu)，然后在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，推導(dǎo)出四種情況下的定價(jià)表達(dá)式，并通過(guò)觀察定價(jià)表達(dá)式尋找它們之間的平價(jià)關(guān)系，最后推廣到一般情況。

二、交易結(jié)構(gòu)介紹

如圖1所示，設(shè)定t0為期權(quán)合同簽訂初始時(shí)點(diǎn)；t1為期權(quán)合同到期時(shí)點(diǎn)，KO為執(zhí)行價(jià)格，亦即期貨合同購(gòu)買價(jià)格；t2為期貨合同到期時(shí)點(diǎn)，Kf為對(duì)應(yīng)的標(biāo)的基礎(chǔ)資產(chǎn)交割價(jià)格；設(shè)定t0至t2整個(gè)時(shí)間段的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r。

仍然假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為帶有漂移項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)的經(jīng)典表達(dá)式，即，其中擾動(dòng)項(xiàng)為符合布朗運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立增量過(guò)程。運(yùn)用伊藤引理，可知（（楊真好、代維，2023）。此處需要強(qiáng)調(diào)的是，在推導(dǎo)經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式時(shí)，其對(duì)應(yīng)的偏微分方程是通過(guò)構(gòu)造投資組合與支付函數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系而得到的，Black—Scholes定價(jià)公式正是通過(guò)求解對(duì)應(yīng)偏微分方程而得到，而就偏微分的形式看，可知前述設(shè)定的運(yùn)動(dòng)方程的漂移項(xiàng)系數(shù)中的μ在構(gòu)造偏微分方程中被銷去，從而經(jīng)典期權(quán)定價(jià)公式與μ無(wú)關(guān)；本文的支付函數(shù)可以寫為類似等類似形式，構(gòu)造的對(duì)應(yīng)偏微分方程與經(jīng)典Black-Scholes模型是相同的，只是邊界條件變?yōu)椋▽?duì)應(yīng)下述第一種情況，后面三種情形的邊界條件類似，不再贅述），文中運(yùn)動(dòng)方程的漂移項(xiàng)系數(shù)μ仍然因?yàn)榭梢约s去而不在定價(jià)表達(dá)式中出現(xiàn)，所以仍然設(shè)定μ=r，從而資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?，可以免去后續(xù)求解時(shí)需要測(cè)度變換，后面的四個(gè)定價(jià)公式和定價(jià)公式的一般化形式均采用此處理方式。

二、定價(jià)表達(dá)式推導(dǎo)

（一）嫁接在期貨合同買方的看漲期權(quán)定價(jià)表達(dá)式推導(dǎo)

首先，容易知道支付函數(shù)在t1時(shí)點(diǎn)的期望值大于等于期貨執(zhí)行價(jià)格Ko。

即，推導(dǎo)出。需要說(shuō)明的是上述推導(dǎo)中使用exp（-rt）作為對(duì)應(yīng)時(shí)間段的折現(xiàn)系數(shù)，因?yàn)閷?duì)應(yīng)單位時(shí)間的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率有，含義為設(shè)定某時(shí)間段的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，當(dāng)此期間無(wú)限細(xì)分時(shí)，其理論利率為exp（r），則對(duì)應(yīng)時(shí)間段t的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)系數(shù)可以表達(dá)為，e-rt后面三個(gè)推導(dǎo)亦沿用類似處理。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定義，看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為支付函數(shù)在時(shí)點(diǎn)折現(xiàn)值的期望值，即：

從該表達(dá)式可看出，該交易結(jié)構(gòu)中期貨變?yōu)楝F(xiàn)貨，即Kf=0，且d（t1，t2）=0時(shí)，表達(dá)式退化為經(jīng)典Black-Scholes看漲期權(quán)定價(jià)公式。

（二）嫁接在期貨合同賣方的看漲期權(quán)定價(jià)表達(dá)式推導(dǎo)

類似于前面敘述，這里直接給出嫁接在期貨合同賣方的看漲期權(quán)定價(jià)表達(dá)式：

（三）嫁接在期貨合同買方的看跌期權(quán)定價(jià)表達(dá)式推導(dǎo)

類似前述，直接給出如下表達(dá)式：

（四）嫁接在期貨合同賣方的看跌期權(quán)定價(jià)表達(dá)式推導(dǎo)

類似前面推導(dǎo)，直接給出下面的定價(jià)表達(dá)式：

在以上推導(dǎo)中，在不引起混淆情況下，我們交替使用σ和σ（t）。隱含假設(shè)期權(quán)為歐式期權(quán)，即到期方可執(zhí)行。

（五）看漲看跌期權(quán)平價(jià)公式評(píng)論

當(dāng)交易為一層結(jié)構(gòu)，交易標(biāo)的為現(xiàn)貨時(shí)，存在看漲看跌期權(quán)平價(jià)等式S+P=C+PV（k）。根據(jù)推導(dǎo)，可看出隨著交易結(jié)構(gòu)層級(jí)增加，定價(jià)公式變得更為復(fù)雜；基于上述推導(dǎo)出的期權(quán)定價(jià)公式，仍然可以發(fā)現(xiàn)較為簡(jiǎn)潔的二層交易結(jié)構(gòu)下看漲看跌期權(quán)平價(jià)表達(dá)式，即和，其中PV（Kf）和PV（Ko）分別表示期貨交易執(zhí)行時(shí)點(diǎn)t2的交易對(duì)價(jià)（交割價(jià)格）Kf對(duì)初始時(shí)點(diǎn)t0在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率條件下的折現(xiàn)值和歐式期權(quán)執(zhí)行時(shí)點(diǎn)t1的執(zhí)行價(jià)格Ko對(duì)初始時(shí)點(diǎn)t0的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)值。

三、期權(quán)定價(jià)公式的一般化

上述推導(dǎo)中期貨只有一次交割，若期貨的標(biāo)的資產(chǎn)到期交割之前有N次權(quán)利的交易，即期貨的買權(quán)或賣權(quán)換手共有N次，比照上述推導(dǎo)，嘗試得到N次交易情況下的定價(jià)公式。

為方便推導(dǎo)演繹，首先進(jìn)行符號(hào)的重新定義：設(shè)定前述期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為K0，后續(xù)的（N-1）次中的第i次期貨買權(quán)或賣權(quán)換手價(jià)格為Ki，第N次為期貨到期交割，交割價(jià)格為KN；時(shí)間軸重新刻畫如下：

其中tinitial為初始時(shí)點(diǎn)，t0為期權(quán)執(zhí)行時(shí)點(diǎn)，ti（i=1，2，...N-1）為以期貨合同買方或賣方權(quán)利為標(biāo)的的交割時(shí)點(diǎn)，tN為期貨底層基礎(chǔ)資產(chǎn)交割時(shí)點(diǎn)。

類似前述表述：對(duì)于只有一次交割的期貨期權(quán)，tN：=t1，即t1時(shí)點(diǎn)期貨到期交割，交割價(jià)格為K1，嫁接在期貨上的期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為K0，則若將此情形擴(kuò)展到中間經(jīng)歷N次換手，則有，縮略表達(dá)為，即；從而該情況下的看漲期權(quán)價(jià)值（表示為CN1）仍為支付函數(shù)的折現(xiàn)值，即：

類似上述演繹推導(dǎo)，我們可以得到另外三種情況下的期權(quán)定價(jià)表達(dá)式。并且，通過(guò)觀察四種推廣情況下的期權(quán)定價(jià)表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)它們之間的平價(jià)關(guān)系表達(dá)為：和，其中PV（ ）表示期貨（期權(quán)）交割（執(zhí)行）時(shí)點(diǎn)對(duì)初始時(shí)點(diǎn)的折現(xiàn)。

四、評(píng)論

雖然在假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)方程不同形式的條件下，過(guò)去幾十年衍生出很多種不同的期權(quán)定價(jià)表達(dá)式，但嫁接在期貨合同上的期權(quán)定價(jià)表達(dá)式推導(dǎo)是本文的增量貢獻(xiàn)，還在兩層交易結(jié)構(gòu)下探討了看漲看跌權(quán)平價(jià)公式的存在性，給出了新的平價(jià)表達(dá)式，并推廣到一般情形，同時(shí)推導(dǎo)出一般情形下的平價(jià)表達(dá)式。本文中的基礎(chǔ)資產(chǎn)亦可被置換為衍生金融工具，乃至跨期工具，前提是可以寫出它們的支付函數(shù)表達(dá)式，所以兩層交易結(jié)構(gòu)可以衍生成多層交易結(jié)構(gòu)，甚至跨期多層交易結(jié)構(gòu)?；A(chǔ)資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)方程越復(fù)雜，用到的數(shù)學(xué)工具越復(fù)雜，則期權(quán)定價(jià)表達(dá)式越復(fù)雜，可以作為今后的研究方向。

本文不足之處是設(shè)計(jì)的交易結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，實(shí)操中不容易為普通投資者接受；作為純規(guī)范分析，沒有從實(shí)證角度給出數(shù)據(jù)驗(yàn)證，這依賴于投資者教育和金融市場(chǎng)的逐步發(fā)展，在獲得實(shí)際交易數(shù)據(jù)后方可使前述定價(jià)表達(dá)式得到驗(yàn)證，同時(shí)定價(jià)表達(dá)式的成立也嚴(yán)格依賴于市場(chǎng)的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1]Yang Zhenhao amp; DAI Wei， European Barrier Range Accrual Option Pricing Formula Deduction and the Corresponding American Range Option Numerical Value Simulation， Journal of Mathematics Research; Vol. 15， No. 3; Canadian Center of Science and Education， June 2023.

[2]Jonathan E. Ingersoll， Jr.， Theory of Financial Decision Making[M]，中國(guó)人民大學(xué)出版社， 1986.

[3]Robert L.Kosowski and Salih N.Neftci， Principles of Financial Egineering[M]，Academic Press，2004.

[4]David Romer，Advanced Macroeconomics（高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)）（第二版）[M]，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社、麥格勞-希爾教育出版集團(tuán)，2001.11

[5] Samuel N.Cohen， David Siska， et al. Frontiers in Stochastic Analysis-BSDEs， SPDEs and their Applications[M]， ，Selected， Revised and Extended Contributions， Springer Proceedings in Mathematics amp; Statistics ，Edinburgh， July 2017.

[6] Vivek S.Borkar， Probability Theory An ADVANCED COURSE[M]， Springer（1991）.

[7] Samuel N.Cohen and Martin Tegner， European Option Pricing with Stochastic Volatility Models Under Parameter Uncertainty， Frontiers in Stochastic Analysis-BSDEs， SPDEs and their applications[M]， Edinburgh， Selected， Revised and Extended Contributions， Springer， July 2017.

作者簡(jiǎn)介：代維（1980），男，湖北省荊門市人，碩士，會(huì)計(jì)師，研究方向?yàn)橘Y產(chǎn)定價(jià)、或有權(quán)益定價(jià)。