2018—2023年高考理科數(shù)學(xué)全國卷概率與統(tǒng)計試題分析

摘 要：概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一條主線，也是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。2021年，高考數(shù)學(xué)試卷取消原新課標全國Ⅱ卷，并入Ⅰ卷，合稱全國乙卷；原新課標全國Ⅲ卷改稱全國甲卷，試題風格和難度均有改變。為對比試卷變革前后的差異，明確概率與統(tǒng)計高考試題的規(guī)律與特點，本文以2018—2020和2021—2023年高考理科數(shù)學(xué)全國卷15套試卷中的概率與統(tǒng)計試題為研究對象，從知識單元、情景設(shè)計、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及知識考察、綜合難度等視角出發(fā)對試題展開對比分析，發(fā)現(xiàn)2021—2023年高考概率與統(tǒng)計試題在更加注重對現(xiàn)實情境的考查，提高了試題的綜合性，并且更具有全面性，體現(xiàn)出高考試題遵循新課程標準的要求等特點。根據(jù)結(jié)論建議：關(guān)注社會熱點，提升人文素養(yǎng)；提高運算能力，強化基礎(chǔ)運算；培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，提升核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：概率與統(tǒng)計；綜合難度模型；試題分析

中圖分類號：G633.6" 文獻標識碼：A" 文章編號：1673-260X（2024）08-0113-06

概率論和統(tǒng)計學(xué)是數(shù)學(xué)中兩個重要的分支，概率論主要研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，而統(tǒng)計學(xué)則是利用數(shù)據(jù)來進行推斷和決策。在許多領(lǐng)域中，概率論和統(tǒng)計學(xué)都有著廣泛的應(yīng)用，如在金融、人工智能、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中都有重要的作用。學(xué)習(xí)概率可以幫助人們理解不確定性，培養(yǎng)邏輯思維和推理能力，為科學(xué)研究、實證分析、數(shù)據(jù)分析提供支持，對于學(xué)習(xí)者的綜合素養(yǎng)提升、未來發(fā)展都是非常重要的。因此，高中數(shù)學(xué)中的概率與統(tǒng)計內(nèi)容在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“2017年版課標”）中是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大主線，貫穿于選修課、必修課以及選擇性必修課。

高考作為考試招生制度的核心環(huán)節(jié)，負有選拔和培養(yǎng)人才的重要任務(wù)，影響著成千上萬考生的未來，牽扯到社會的公平公正以及國家的長遠發(fā)展[1]?？茖W(xué)、合理地分析試題有助于在高考改革過程中更好地體現(xiàn)其教育價值，發(fā)揮其對教學(xué)的引導(dǎo)作用。趙戌梅從數(shù)學(xué)能力、知識點、考查題型以及知識單元四個角度出發(fā)系統(tǒng)梳理了2013—2017年全國高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計試題[2]；李亞瓊等以2021年6套全國課標卷的概率與統(tǒng)計試題為研究樣本，從綜合難度、知識考查、情景設(shè)計、統(tǒng)計素養(yǎng)展開深層次調(diào)研[3]；廖藝捷等從情境領(lǐng)域、知識點、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、綜合難度等視角對2016—2020年高考概率與統(tǒng)計題目展開探究[4]。綜上，試卷分析普遍從知識點、知識單元、考查題型、數(shù)學(xué)能力、情境設(shè)置、統(tǒng)計素養(yǎng)和綜合難度等角度切入展開調(diào)研。

試題難度是指試題的難易程度，是衡量試題質(zhì)量的重要指標，對于評價考試的公平性和有效性至關(guān)重要[5]。2002年鮑建生首次指出數(shù)學(xué)課程綜合難度的概念并創(chuàng)建了綜合難度模型[6]。2018年武小鵬等人調(diào)整了模型的難度要素，轉(zhuǎn)變?yōu)槭欠窈瑓?、知識水平、背景因素、推理能力、運算水平、知識含量、思維方向[7]。2020年薛歡等人根據(jù)統(tǒng)計與概率知識單元的內(nèi)容特點，提出了一個包含9個因素的綜合難度模型[8]。

2021年，高考數(shù)學(xué)試卷取消原新課標全國Ⅱ卷，并入Ⅰ卷，合稱全國乙卷；原新課標全國Ⅲ卷改稱全國甲卷，試題風格和難度均有改變。為了深入分析概率與統(tǒng)計試題在高考改革前后的規(guī)律和特征，本文從數(shù)學(xué)綜合難度、知識考查、情景設(shè)置、知識單元以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)五個層面著手比較探究2018—2023年期間高考理科數(shù)學(xué)全國卷的15套試卷中的概率與統(tǒng)計題目，研究改革前（2018—2020年）和改革后（2021—2023年）的試題風格、難度、考查方向等的異同，通過對高考數(shù)學(xué)試題的難度和影響因素的研究，全面地分析和研究高考試題，可以更好地發(fā)揮高考的積極引導(dǎo)功能，更好地為學(xué)生和教師服務(wù)。

1 研究對象和研究方法

本研究對2018—2023年高考理科數(shù)學(xué)全國卷進行整理，得出15套試題中所有概率與統(tǒng)計試題共計43道，并以這些試題為研究對象，選用了定性與定量相結(jié)合的研究方法，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、知識單元、綜合難度、情景設(shè)置、知識考查等五個不同視角出發(fā)展開深層次調(diào)研，論述高考概率與統(tǒng)計題型的命題特征。

2 研究結(jié)果

2.1 情景設(shè)置

高中課程中概率與統(tǒng)計主題更具有情境性，要求結(jié)合具體實例運用知識解決實際問題。2017年版課標在“學(xué)業(yè)質(zhì)量水平”部分中提出“情境與問題”是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一個方面，由此試題需重視情境創(chuàng)設(shè)與問題提出，其中將情景劃分為現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境三個維度。

在情境類型方面，由表1可知，對現(xiàn)實情境的考查最多，科學(xué)情境的考查最少。2018—2020年試題對現(xiàn)實情境的考查分數(shù)比例分別為32/66、27/61、34/61，2021—2023年對現(xiàn)實情境的考查分數(shù)比例分別為34/44、27/44、27/44，總體上高考概率與統(tǒng)計試題加強了對現(xiàn)實情境的考查，此外，2021—2023年試題數(shù)目、分數(shù)也更加穩(wěn)定。在現(xiàn)實情境的設(shè)計上具有多元性，如垃圾分類、知識競賽、生態(tài)環(huán)境保護、產(chǎn)品檢驗等，由此可以反映出概率與統(tǒng)計試題背景重視與實際生活、科學(xué)技術(shù)相結(jié)合，致力于解決實際問題，體現(xiàn)其趣味性和科學(xué)性。

2.2 知識單元

在數(shù)學(xué)知識體系中，知識結(jié)構(gòu)包括三點，即知識單元、知識領(lǐng)域和知識點?！爸R單元”指的是具備相同特點的密切關(guān)聯(lián)的知識點的聚集，在教科書中一般都以章節(jié)的形式出現(xiàn)[3]。本文所說的知識單元包括概率、統(tǒng)計和計數(shù)原理三個方面。

43個試題在3類題型中的知識單元分布見表2，知識單元分布堆積條形圖見圖1和圖2，由于一個試題中可能涉及多個方面的知識，那么對這一試題進行多次的統(tǒng)計。

由表2可知，試卷中三個知識單元在三類題型分布上存在差別，且主要分布在選擇題和解答題中。2018—2023年中概率的考查次數(shù)最多，是選擇題和解答題的考查重點，其次數(shù)分別占概率總次數(shù)的47.4%和31.6%；統(tǒng)計是解答題的考查重點，其次數(shù)占統(tǒng)計總次數(shù)的62.5%；計數(shù)原理也是選擇題的考查重點，其次數(shù)占計數(shù)原理總次數(shù)的61.5%；而在填空題中缺少統(tǒng)計的考查，解答題中缺少計數(shù)原理的考查。由圖1和圖2可知，2021—2023年試題提高了概率在選擇題中的考查次數(shù)，對計數(shù)原理的考查有所降低，在選擇題中對概率與統(tǒng)計知識的考查比重較低。

觀察歷年試題數(shù)量的變化，可以發(fā)現(xiàn)概率方面的試題在整體試題中占有較高比例，在教學(xué)中應(yīng)予以重視。此外，2021—2023年試題在綜合性方面增強，更加注重對概率、統(tǒng)計和計數(shù)原理的綜合運用能力的考查，因此，在日常教學(xué)中應(yīng)當重視培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力。

2.3 知識考察

系統(tǒng)梳理概率與統(tǒng)計的知識點可以明確考查的方向，把握重點。參照2017年版課標，本文整合并概括了概率與統(tǒng)計相關(guān)知識，將其細分成一級和二級知識點，同時予以編碼。如A2指的是考查概率中的隨機事件的獨立性，具體內(nèi)容詳見表3。

通過統(tǒng)計，17個二級知識點都有考查到，2018—2020年試題中累計考查14個知識點，2021—2023年試題中累計考查12個知識點。其中有19個試題僅考查單一知識點，主要集中在2018—2020年的選擇題中，重視對基本概念、基本公式和基本定理的理解與運用，體現(xiàn)基礎(chǔ)性；24個試題所考查的知識點有兩個以上，多集中于2021—2023年試題中，其中2022年全國卷乙中第10題結(jié)合不等式、第19題結(jié)合函數(shù)進行了考查等，這體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)對概率與統(tǒng)計知識與其他學(xué)科知識聯(lián)系的重視，同時也反映了對數(shù)學(xué)核心概念和基本原理考查的強調(diào)，試題綜合性的特點加強，能夠更有效地檢驗學(xué)生所掌握的知識，促使學(xué)生構(gòu)建穩(wěn)固的知識基礎(chǔ)。

2.4 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標的集中體現(xiàn)，根據(jù)2017年版課標要求的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，涵蓋了數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)抽象，本文對試題所含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進行統(tǒng)計和分析。

在核心素養(yǎng)考查方面如圖3所示，高考概率與統(tǒng)計試題對不同的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進行綜合考查，以2023年高考概率與統(tǒng)計試題為例，其中涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算多方面的考查，彰顯出試題設(shè)計的綜合性特點。在2018—2023年高考全國卷43個試題中數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查達到42題，其次是邏輯推理素養(yǎng)的考查，說明求解概率需要學(xué)生具有扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和運算能力，此外學(xué)生對概率與統(tǒng)計試題的解答要能夠理解和應(yīng)用概率的基本概念和方法。

由圖4核心素養(yǎng)考查折線統(tǒng)計圖可知，對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查較為穩(wěn)定，幾乎歷年各試題中均有體現(xiàn)；對邏輯推理素養(yǎng)的考查整體上有上升的趨勢；2021—2023年試題對核心素養(yǎng)的考查更具有全面性，體現(xiàn)出高考試題遵循新課程標準的要求。

2.5 綜合難度

本研究基于薛歡等人高考試題綜合難度模型，具體界定見表4。鑒于各試卷中解答題存在多個小問，并且每個小問涉及考察的知識點各不相同，因此本研究將解答題下的每個小問都視為1道獨立的解答題。

表5展示了2018—2023年高考理科數(shù)學(xué)全國卷統(tǒng)計與概率試題的綜合難度系數(shù)數(shù)值，將每年的試卷各難度因素難度系數(shù)展開核算，計算獲得平均值，進而獲取2018—2020年與2021—2023年期間高考理科數(shù)學(xué)全國卷統(tǒng)計與概率試題綜合難度平均系數(shù)，繪制成雷達圖，如圖5和圖6，由此可以發(fā)現(xiàn)試題具有以下特點。

（1）2021—2023年試題內(nèi)容更具有情境性。通過表5可知，2018—2023年統(tǒng)計與概率試題在背景因素方面的綜合難度系數(shù)均在1.5以上；結(jié)合表1可知，概率與統(tǒng)計試題對于背景因素的考查廣泛，以生活情境和科學(xué)情境為主；由圖5與圖6可知，2021—2023年試題內(nèi)容比2018—2020年試題在背景因素的綜合難度系數(shù)更高，具有情境性的試題可以幫助學(xué)生將抽象的概念與實際問題聯(lián)系起來，提高學(xué)生問題解決能力。

（2）2021—2023年試題更重視運算水平。表5中可以看出，運算水平因素的綜合難度系數(shù)最高達到3.00；圖5與圖6中可以得出，2018—2020年概率與統(tǒng)計試題在運算水平因素的難度系數(shù)更高，而2021—2023年試題在運算水平因素的難度系數(shù)更穩(wěn)定。高考中概率與統(tǒng)計試題對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析和處理要求較高，需要學(xué)生在情境中把問題轉(zhuǎn)化運算問題，掌握運算法則，明確運算方向，借助已有數(shù)據(jù)，選擇運算方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

（3）2021—2023年試題更加注重數(shù)學(xué)認知，且試題具有運用性。在表5可以得到，2018—2023年統(tǒng)計與概率試題認知水平因素的綜合難度系數(shù)較高，在圖5與圖6中可知，2021—2023年較2018—2020年知識含量因素的綜合難度系數(shù)略高，試題更加注重考查考生的綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維能力，考查學(xué)生在不同情境構(gòu)造的情況下對某一知識點的應(yīng)用，而萬變不離其宗，雖然試題千變?nèi)f化，但試題仍緊扣教科書，考查概率與統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本原理。

（4）題目信息量大，注重數(shù)學(xué)閱讀。從雷達圖中可以看出條件含量和閱讀量兩個因素的難度系數(shù)較高。高考概率與統(tǒng)計試題中的表述具有明顯的特征，即題目字數(shù)較多，其中包括文字語言和符號語言，同時試題的條件含量較大，這也導(dǎo)致了題目的閱讀量增加，使得試題難度加大。

3 結(jié)論

高考改革前后，概率與統(tǒng)計內(nèi)容在高考試題中考查突出，其試題風格和難度均有改變，因此，教師在教學(xué)中需要關(guān)注社會熱點，提升學(xué)生人文素養(yǎng)；著重提升學(xué)生的運算能力，加強基礎(chǔ)運算技能；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，以提升核心素養(yǎng)。通過對2018—2023年概率與統(tǒng)計試題的分析，可以得到以下結(jié)論：（1）情景設(shè)置方面，在情境的設(shè)計上具有多元性，2021—2023年高考概率與統(tǒng)計試題更加注重對現(xiàn)實情境的考查。（2）知識單元方面，總體上對概率的考查數(shù)量所占比例較大，且2021—2023年試題提高了概率在選擇題中的考查次數(shù)，減少了對計數(shù)原理知識的考查，在選擇題中對概率與統(tǒng)計知識的考查比重較低。（3）知識考查方面，單個試題所考查的知識點有兩個以上的多集中于2021—2023年，且與其他領(lǐng)域知識的聯(lián)系，加強了試題的綜合性特點。（4）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面，2021—2023年試題對核心素養(yǎng)的考查更具有全面性，體現(xiàn)出高考試題遵循新課程標準的要求。（5）綜合難度方面，2021—2023年試題內(nèi)容加強了對情境、運算水平、數(shù)學(xué)認知的重視。

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