基于跨學(xué)科學(xué)習(xí)的初三數(shù)學(xué)測量方案的探究性學(xué)習(xí)

1 我們應(yīng)該怎么跨學(xué)科

崔允漷教授指出，跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)是以素養(yǎng)培育為指向，整合兩種或兩種以上學(xué)科的知識、觀念、思維方式與方法等學(xué)習(xí)主題，考查與探究主題之下問題的一種兼具綜合性與探究性的學(xué)習(xí)方式．其既可以應(yīng)用在學(xué)科課程中以推進(jìn)對學(xué)科特定育人價(jià)值的實(shí)現(xiàn)，也可以應(yīng)用在綜合實(shí)踐活動課程或其他校本課程中推進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的發(fā)展，無論哪種形式，都要牢牢把握數(shù)學(xué)的核心知識結(jié)構(gòu)、關(guān)鍵能力形成以及學(xué)科思維發(fā)展．因此，筆者選擇以福建省2023年中考第23題為例，開展測量的跨學(xué)科探究性學(xué)習(xí)．具體開展過程如下：

1.1 設(shè)置問題驅(qū)動

古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯被國王提問：“你能測出金字塔的高度嗎？”在古希臘還沒有互聯(lián)網(wǎng)，也沒有精確的測量儀器，泰勒斯是如何測量的呢？在同學(xué)們的生活中，校園里的地標(biāo)建筑到底有多高呢？樹影的長短與方向能告訴我們一些什么？從古至今，人們一直在探索測量高度的方式，其實(shí)我們完全可以運(yùn)用自己現(xiàn)有的知識來尋找這些問題的答案．

設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)過學(xué)生對問題驅(qū)動的回答與交流，進(jìn)一步了解學(xué)生對于測量的知識儲備量，形成初步的知識結(jié)構(gòu)，及時(shí)了解和掌握學(xué)情，以及帶著問題思考如何進(jìn)行測量以及怎樣建立數(shù)學(xué)模型解決問題．

1.2 創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境

（2023年福建省中考·23改編）閱讀下列材料，回答問題：

任務(wù) 測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺，皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測量長度）；

思考 如果不能直接測量AB的長度，請問你可以設(shè)計(jì)出怎樣的測量方案求出AB的長度？

設(shè)計(jì)意圖 在跨學(xué)科探究性學(xué)習(xí)中，教師提供學(xué)生可供閱讀，旨在激發(fā)興趣，提升動力，以終為始的問題情境，創(chuàng)設(shè)符合探究發(fā)現(xiàn)，評價(jià)創(chuàng)新的問題情境，學(xué)生明確問題，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，合作探究．

1.3 引領(lǐng)合作探究

師 情境中的問題是什么？皮尺的功能是什么？

生 是間接測量兩點(diǎn)間的距離，而皮尺的功能只是測量．

師 你有什么方法可以進(jìn)行測量？模型是什么？核心知識是什么？

生1 可以根據(jù)線段相等的數(shù)量關(guān)系，模型是全等三角形，即構(gòu)造全等三角形ΔAOB≌ΔCOD（如圖3），即得AB=CD，可直接測出CD，完成任務(wù)——測量AB的長度；

生2 還可以根據(jù)線段之間的比值計(jì)算，構(gòu)造相似三角形ΔACB∽ΔMCN（如圖4），線段MN與線段AB成相似比，通過計(jì)算求出AB的長度．

設(shè)計(jì)意圖 在測量工具確定的情況下，分析明確工具的功能，然后再提問學(xué)生如果不能直接測量，那我們可以轉(zhuǎn)化為先測量什么？然后根據(jù)推理得到結(jié)論？學(xué)生根據(jù)所學(xué)，提取全等以及相似等相關(guān)知識點(diǎn)應(yīng)用于測量，并形成解決問題的活動經(jīng)驗(yàn)，不僅要確定問題的求解方向，還要提問測量的具體要求和步驟，并根據(jù)不同的幾何模型，畫出基本示意圖，并運(yùn)用線段相等或比值計(jì)算、推理進(jìn)行求解．既解決問題，又為后續(xù)內(nèi)容的探究打好基礎(chǔ)、做好鋪墊．教師提問兼顧對初中核心知識的梳理，即全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定，其目的不僅能夠?qū)⒊踔须A段有關(guān)的測量問題進(jìn)行串聯(lián)，還能鍛煉學(xué)生在設(shè)計(jì)方案、選擇方案、模型求解的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力．

1.4 變式反思修改

（2023年福建省中考·23（1））工具：現(xiàn)在更換了一把皮尺（測量長度略小于AB），如圖5，其他要求不變；小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度AB，其測量過程如下：

（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)C，如圖6，測得AC= a（m），BC＝b（m）；

（ⅱ）分別在AC，BC，上測得CM=ａ／3（m），CN=b／3（m）；測得MN＝c（m），請求AB的長度．

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生審題過程中發(fā)現(xiàn)測量工具功能的變化，能夠類比學(xué)習(xí)選擇適當(dāng)?shù)姆桨福\(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判斷，設(shè)計(jì)對應(yīng)的模型進(jìn)行求解．并且在類比該測量方案的同時(shí)，完善具體的答題過程．每一個方案都包含核心知識，教師通過引領(lǐng)知識結(jié)構(gòu)化探究，啟智潤心增慧，培養(yǎng)理性思維和創(chuàng)新精神，在變式教學(xué)中，進(jìn)一步明確問題，猜測探求數(shù)學(xué)規(guī)律，解釋證明數(shù)學(xué)結(jié)論，促進(jìn)主動、探索、求真意味的實(shí)踐能力提升．

1.5 實(shí)施知識遷移

（2023年福建省中考·23（2））小明在任務(wù)2的工具上新增了工具測角儀，測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點(diǎn)O處，對其視線可及的P，Q兩點(diǎn)，可測得∠POQ的大小，如圖7～8．在任務(wù)2中小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得AB．請你同時(shí)利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在閱讀完知識遷移中的問題后，明確測角儀的工作原理，結(jié)合皮尺進(jìn)行測量方案的設(shè)計(jì)，感受到條件變化后帶來的核心知識的變換和測量方法的變化，又一次跨越學(xué)科知識，提升核心素養(yǎng)．教師通過學(xué)生的閱讀思考表達(dá)交流，洞見學(xué)生思維意思，引導(dǎo)分析、明理促悟、引發(fā)沖突，進(jìn)一步在概念迷失和求知若渴的狀態(tài)下開展探究新知活動．

1.6 聚焦成果展示

師 你有什么方法？

生1 畫圖，如圖10，在線段AB外任意找一點(diǎn)C得到三角形ABC，確定可以測量的量只有三角及兩邊，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°可以進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)際只需測量4個量（∠A=β，∠B=α，AC=b，BC=a）．

師 根據(jù)題意要求用字母表示數(shù)，你能夠?qū)懗鯝B的長度的表達(dá)式嗎？

生1 AB+=AD+BD=ACcosβ+BCcosα．

師 你居然發(fā)現(xiàn)了高中的射影定理，非常了不起哦！

還有更優(yōu)化的測量方法嗎？

生2 老師，我覺得可以在線段AB外任意找一點(diǎn)C構(gòu)成任意三角形，觀察能夠測量∠C的大小，以及再用皮尺測量AC，BC長度，就能求出AB的長度，因?yàn)樗先切稳鹊腟AS定理，確定三角形只需要三個要素，所以只需要3次測量就可以，即測量b，c和∠C=α，但是我不會表示AB的長度．

師 你回答得非常好，目前雖然不能求出線段AB的大小，但是你考上高中以后，就能用高中的知識解決了，……（一石激起千層浪，學(xué)生紛紛效仿其他可以求出AB的測量方案……）

生3 根據(jù)邊長與角度的關(guān)系，聯(lián)系銳角三角函數(shù)和勾股定理，只需測量3個量，即∠A=β，∠B=α，AC=b或AC=b，BC=a，∠A=β這兩種方案都可以計(jì)算出AB的長度．

設(shè)計(jì)意圖 通過活動的設(shè)計(jì)和實(shí)際的測量將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生用解直角三角形的知識來求解AB的長度．學(xué)生在實(shí)際操作過程中會有不一樣的想法，追問能否將條件進(jìn)行優(yōu)化，使得測量次數(shù)更少？課堂過程展示對比方案的不同，分析不同的優(yōu)勢，精心預(yù)設(shè)，精彩生成，使得該活動更能夠落實(shí)核心素養(yǎng)，達(dá)到活動育人的目標(biāo)．

學(xué)生經(jīng)過設(shè)計(jì)測量方案、模型建立、模型求解的過程后，展示對比優(yōu)化條件，歸納任意構(gòu)造的三角形，能夠已知3個確定的量即能求出所有的量，將初中的解直角三角形與高中的解三角形有效銜接，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)段式的跨學(xué)科，為高中的知識作鋪墊，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科課堂的創(chuàng)造性的育人價(jià)值．

2 我們跨得如何

創(chuàng)設(shè)意境深遠(yuǎn)新穎的問題情境，設(shè)置與之相關(guān)聯(lián)的問題驅(qū)動，實(shí)施跨學(xué)科知識遷移，調(diào)取解決問題的主體核心知識，引領(lǐng)開展小組合作探究，求變反思證明實(shí)施方案，解釋證明探究結(jié)論，展示跨界探究成果等等是開展跨學(xué)科學(xué)習(xí)的實(shí)施策略，那么，本節(jié)課跨學(xué)科學(xué)習(xí)跨得怎么樣？以及體現(xiàn)了怎樣的跨學(xué)科學(xué)習(xí)特征呢？

2.1 深度理解數(shù)學(xué)知識，體現(xiàn)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的整合性

傳統(tǒng)的學(xué)科學(xué)習(xí)，專注于本學(xué)科知識點(diǎn)的歸納與整理，不重視不同學(xué)科之間的聯(lián)系，難以讓學(xué)生在創(chuàng)造性地解決問題過程中整合理解數(shù)學(xué)知識，因而，根據(jù)初三下學(xué)期學(xué)生的學(xué)情，創(chuàng)設(shè)以終為始的測量兩點(diǎn)間距離的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動，串聯(lián)初中階段較為常見的幾種測量方案，有助于復(fù)習(xí)全等三角形的性質(zhì)與判定，復(fù)習(xí)相似三角形的性質(zhì)與判定，復(fù)習(xí)線段與角度之間的邊角關(guān)系，并結(jié)合銳角三角函數(shù)或者勾股定理，系統(tǒng)復(fù)習(xí)有關(guān)解直角三角形的相關(guān)知識，還能夠通過優(yōu)化整合，加深學(xué)生對核心知識的理解與運(yùn)用，體現(xiàn)跨學(xué)科學(xué)習(xí)的價(jià)值．

2.2 綜合解決實(shí)際問題，體現(xiàn)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的實(shí)踐性

跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)要基于真實(shí)情境開展真實(shí)的實(shí)踐，獲得個性特征的活動經(jīng)驗(yàn)．本節(jié)經(jīng)過任務(wù)式的課堂活動，學(xué)生掌握了以上幾種測量方案的同時(shí)，學(xué)以致用于實(shí)際生活中處處存在需要解決的數(shù)學(xué)問題．運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定的方案，測量方案的次數(shù)5次，數(shù)值對應(yīng)相等；運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定的方案，測量方案的次數(shù)5次，但是測量的數(shù)據(jù)值進(jìn)行了優(yōu)化，數(shù)值變小；運(yùn)用銳角三角函數(shù)或者勾股定理，結(jié)合解直角三角形的知識，測量次數(shù)可以降為4次，優(yōu)化后只需3次．學(xué)生們在深刻理解本節(jié)課的內(nèi)容后，明確實(shí)際問題中的測量工具的功能及其使用，舉一反三，觸類旁通，將復(fù)習(xí)的知識應(yīng)用遷移到不同的實(shí)際問題當(dāng)中，提升綜合解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的實(shí)踐性．

2.3 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)跨學(xué)科學(xué)習(xí)的開放性

活動過程能夠培養(yǎng)學(xué)生通過合作，分析和比較不同解題方法的優(yōu)劣，進(jìn)而選擇合適的方法解決問題．教師在主題學(xué)習(xí)中，不斷調(diào)整設(shè)計(jì)與實(shí)施過程中的靈動資源，學(xué)生產(chǎn)生新的問題、提出新的方案．

這樣的學(xué)習(xí)能夠聯(lián)結(jié)其他學(xué)科或是促進(jìn)初高中學(xué)習(xí)的銜接．通過任務(wù)驅(qū)動的教學(xué)方法，學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中不僅能夠理解和鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，還能培養(yǎng)他們的問題解決能力、合作意識和創(chuàng)新思維．此外，跨學(xué)科探究性學(xué)習(xí)也能提升學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動力，有效地獲取知識與鞏固知識并形成結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)了跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)方式和育人方式的變革，體現(xiàn)跨學(xué)科學(xué)習(xí)的開放性．

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（本文系廈門市第二批名師工作室立項(xiàng)課題“基于核心素養(yǎng)落實(shí)的中學(xué)數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)實(shí)踐研究”（課題編號：XMMS2022031）的研究成果之一）