ChatGPT對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教育的重構(gòu)

在人工智能技術(shù)背景下，中學(xué)數(shù)學(xué)建模教育正遭遇前所未有的革新和挑戰(zhàn)．人工智能的迅猛發(fā)展，特別是生成式人工智能技術(shù)的興起，如ChatGPT的問世，已經(jīng)開始重塑數(shù)學(xué)建模的教育理念和方法．這種技術(shù)以其友好的交互性和強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力，不僅吸引了廣泛的社會(huì)關(guān)注，也在教育領(lǐng)域引發(fā)了深入的探討[1]．一些教育工作者已經(jīng)將ChatGPT應(yīng)用于材料科學(xué)[2]、職業(yè)英語[3]、臨床醫(yī)學(xué)[4]、計(jì)算機(jī)編程[5]、數(shù)學(xué)教育[7]等學(xué)科的教學(xué)，盡管對(duì)此技術(shù)的接受程度不盡相同，但是將人工智能技術(shù)應(yīng)用于學(xué)科教學(xué)往往被認(rèn)為是可行且有效的[7]．在數(shù)學(xué)建模教育中，ChatGPT等工具的應(yīng)用理應(yīng)成為一種創(chuàng)新的教學(xué)資源，能夠?yàn)閷W(xué)生提供更為直觀、互動(dòng)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)[9]．隨著這些技術(shù)在教育領(lǐng)域的深入應(yīng)用，預(yù)計(jì)將進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)建模教育的發(fā)展，帶來更加深刻和持久的教育變革．

近年來，在人工智能背景下的數(shù)學(xué)建模教育，特別是將人工智能技術(shù)融入數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，因其創(chuàng)新性和實(shí)用性受到越來越多教育工作者的重視[8，9]．然而，教師融合人工智能開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，常面臨如何有效整合人工智能技術(shù)和數(shù)學(xué)思想方法的挑戰(zhàn)．在這種背景下，考慮運(yùn)用ChatGPT等人工智能工具來輔助教學(xué)設(shè)計(jì)，探索其在提升教學(xué)效果上的潛力是一種有益的嘗試[10，11]．

本文選擇中學(xué)數(shù)學(xué)“鉛球投遠(yuǎn)”的數(shù)學(xué)建模問題作為嘗試對(duì)象，該問題涉及到物理學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和數(shù)學(xué)等多學(xué)科知識(shí)，是考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題能力的一個(gè)良好實(shí)例．通過“鉛球投遠(yuǎn)”的數(shù)學(xué)建模案例，可以發(fā)現(xiàn)一方面將ChatGPT應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模教學(xué)是可行的，它可以在數(shù)學(xué)建模的各個(gè)過程中為師生提供有用的參考，有效提高了建模的效率；另一方面完全依靠ChatGPT目前是不可能的，ChatGPT的建議經(jīng)常包含知識(shí)性錯(cuò)誤和推理錯(cuò)誤，而且不會(huì)就這些錯(cuò)誤信息提供提示，不過在不斷質(zhì)疑后ChatGPT通?？梢蕴峁┖侠淼慕獯穑纱丝梢?，在質(zhì)疑和批判中使用ChatGPT解題，可以培養(yǎng)師生的批判性思維和創(chuàng)新精神，最終實(shí)現(xiàn)“立德樹人”的教育目標(biāo)，推動(dòng)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方式的變革．

1 數(shù)學(xué)建模的教學(xué)流程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)建模對(duì)于培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有無法替代的重要作用，在中學(xué)階段創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)行教材同步的數(shù)學(xué)建模案例和實(shí)踐活動(dòng)是一個(gè)嶄新的教學(xué)研究課題．中國的課程教學(xué)改革強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，尤其是在解決實(shí)際問題、批判性思維、創(chuàng)新思維和終身學(xué)習(xí)能力方面．?dāng)?shù)學(xué)建模作為一種將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，對(duì)于培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要作用．

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)流程應(yīng)該包括：

（1）提出問題．從實(shí)際問題和情景入手，激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心．

（2）建立模型．使用數(shù)學(xué)的方法和工具來表示問題，這一階段包括變量的選擇、假設(shè)的建立和方程的構(gòu)建．

（3）模型求解．應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)、結(jié)構(gòu)和技巧，求解數(shù)學(xué)模型，這可能包括符號(hào)計(jì)算、計(jì)算機(jī)編程、結(jié)果展示等方法．

（4）模型驗(yàn)證．將數(shù)學(xué)模型的結(jié)果應(yīng)用于建模問題或者實(shí)際生活中，衡量建模結(jié)果的有效性，必要時(shí)對(duì)模型的假設(shè)進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化．

（5）結(jié)果解釋．分析模型求解的結(jié)果，討論其在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以及模型的局限性和可能的改進(jìn)方向．

（6）形成報(bào)告．將建模工作形成科學(xué)規(guī)范的學(xué)術(shù)論文，包括模型建立、求解過程和結(jié)論，同時(shí)評(píng)價(jià)模型的優(yōu)缺點(diǎn)．

通過上述教學(xué)流程，數(shù)學(xué)建模不僅能夠深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用，還能有效地提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，為他們的終身學(xué)習(xí)和未來職業(yè)生涯奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

2 基于ChatGPT的數(shù)學(xué)建?！糟U球擲遠(yuǎn)為例

2.1 問題描述

鉛球擲遠(yuǎn)起源于14世紀(jì)歐洲炮兵推擲炮彈的游戲和比賽，早在1896年第1屆奧運(yùn)會(huì)上就被列為比賽項(xiàng)目．鉛球擲遠(yuǎn)可以看作是一個(gè)優(yōu)化問題，其目標(biāo)是最大化鉛球的飛行距離．需要考慮的主要因素包括投擲角度θ、鉛球的初速度v以及投擲者的出手高度h．重力加速度g等其他因素是固定的參數(shù)．為簡化模型，忽略在短暫的飛行中鉛球所受的阻力．顯然，投擲角度θ、鉛球的初速度v以及投擲者的出手高度h對(duì)鉛球的飛行軌跡和最終落點(diǎn)有顯著影響．運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球的初速度和出手高度短期很難改變，因此投擲距離可以看作是投擲角度的函數(shù)（）dθ．

2.2 數(shù)學(xué)建模

向ChatGPT提出“一個(gè)1.8米的人扔鉛球，出手角度要多大，才能使得鉛球扔得足夠遠(yuǎn)”的問題，得到如下回答：“扔鉛球的最遠(yuǎn)距離與出手角度有關(guān)，理論上，忽略空氣阻力和其他外部因素時(shí)，理想的出手角度通常認(rèn)為是45度．這是因?yàn)樵谶@個(gè)角度，鉛球的初始速度被均等地分配到了水平和垂直方向，從而最大化了鉛球的水平位移．”

進(jìn)一步追問：“忽略空氣阻力，如何證明45是最優(yōu)的？”ChatGPT給出了正確的解答：要得到拋體運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離公式，我們可以從基本的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，考慮到拋體運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向和垂直方向的兩個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)．以下是推導(dǎo)過程：

如圖1所示，斜拋運(yùn)動(dòng)的基本定律是

x=vtcosθ，y=h+vtsinθ-1/2gt2，其中cosvθ是出手速度的水平分速度，sinvθ是出手速度的豎直分速度．

水平運(yùn)動(dòng)：在沒有空氣阻力的理想情況下，水平方向的速度vx=vcosθ是恒定的；

垂直運(yùn)動(dòng)：垂直方向的運(yùn)動(dòng)受到重力的影響，可以使用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來描述．投擲物返回地面的時(shí)間t可以通過求解方程vt sinθ-gt2/2=0來獲得（不考慮初始高度），解得t=2vsinθ/g.

水平位移（距離）：水平位移可以通過水平速度vx乘以時(shí)間t得到：

這個(gè)公式表明，投擲距離d依賴于sin2θ．最大化d在2θ=90°時(shí)發(fā)生．因此，在理想情況下，45度的投擲角度會(huì)使得拋體達(dá)到最遠(yuǎn)距離．

ChatGPT給出如圖1所示情景的正確解答．這說明ChatGPT可以根據(jù)問題情景給出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型．此外，ChatGPT還可靈活處理求解一元二次方程、三角函數(shù)變換等基本數(shù)學(xué)運(yùn)算．ChatGPT這些能力減輕了人們尋找模型和符號(hào)計(jì)算的負(fù)擔(dān)，和這些能力相比，判斷模型的適用性顯得尤為重要，而這可能是ChatGPT目前還無法勝任的．

2.3 模型改進(jìn)

進(jìn)一步提出要求：“上述推導(dǎo)必須考慮扔鉛球的出手高度”，ChatGPT給出了如圖2所示的正確解答：

垂直運(yùn)動(dòng)考慮到出手高度h，垂直運(yùn)動(dòng)方程為h+vt sinθ-gt2/2=0，則

水平位移（距離） 水平位移可以通過水平速度vx乘以時(shí)間t得到：

這個(gè)公式比忽略出手高度時(shí)的公式更加復(fù)雜，因?yàn)樗顺跏几叨群统跏妓俣确较虻挠绊懀捎诎似椒礁?，這個(gè)公式不容易直接分析得出最優(yōu)角度．然而，可以通過數(shù)學(xué)軟件或編程方法來數(shù)值求解這個(gè)公式，找出在特定初始速度和出手高度下使距離最遠(yuǎn)的出手角度．如果需要，我可以幫助進(jìn)行這種數(shù)值求解，以找到在給定條件下的最優(yōu)角度．

ChatGPT給出了最優(yōu)投擲距離關(guān)于d（θ）的函數(shù)表達(dá)式，但是卻指出“公式不容易直接分析得出最優(yōu)角度”，轉(zhuǎn)而建議我們進(jìn)行數(shù)值求解．這說明ChatGPT的邏輯分析能力還略顯不足，而編寫程序解決問題是ChatGPT的強(qiáng)項(xiàng)．為了讓ChatGPT通過解析方法，而不是數(shù)值方法求出最優(yōu)角度，還需要進(jìn)一步與ChatGPT交互．

2.4 模型求解

提示ChatGPT“直接計(jì)算d（θ）關(guān)于θ的導(dǎo)數(shù)”，ChatGPT立刻理解了用戶的需求，即通過求解d（θ）的一階導(dǎo)數(shù)并令之為0，通過求解該方程來計(jì)算最優(yōu)出手角度．ChatGPT進(jìn)行了符號(hào)運(yùn)算，并且正確地計(jì)算了

它隨后指出：這個(gè)表達(dá)式包含了三角函數(shù)、平方根以及它們的組合，這使得方程d'（θ）=0的解非常復(fù)雜．為求解這個(gè)方程，可能需要借助數(shù)值方法．

考慮到d'（θ）中θ均以sinθ的形式出現(xiàn)，因此進(jìn)一步提示ChatGPT“如果以sinθ為未知數(shù)，能求出sinθ嗎？”ChatGPT能夠理解用戶的提示，詳細(xì)列出了求解的過程，最終得到

將這個(gè)結(jié)果代入d（θ）的表達(dá)式，并適當(dāng)提醒ChatGPT進(jìn)行化簡，最終ChatGPT給出了最優(yōu)的投擲距離

由此可見，ChatGPT在處理數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，只能采用機(jī)械的算法求解關(guān)于自變量的方程，并且更加傾向于利用具有現(xiàn)成模式的編程算法解決問題，未能根據(jù)方程的特殊之處，例如將某個(gè)關(guān)于自變量的表達(dá)式視為整體，隨機(jī)應(yīng)變地解答問題．而這種能力恰恰是人類最可貴的思維品質(zhì)．

3 人工智能對(duì)數(shù)學(xué)建模教育的影響

綜上，類似ChatGPT這樣的人工智能工具在數(shù)學(xué)建模過程中能夠?yàn)閷W(xué)習(xí)者提供較大幫助，但存在較大的局限性．對(duì)此，我們需要注意：第一，在反思中選擇ChatGPT提供的解題框架．面對(duì)海量的互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)，學(xué)習(xí)者往往難以迅速找到與解題相關(guān)的模型，而ChatGPT擁有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)庫使得它能快速為學(xué)習(xí)者提供恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停畬W(xué)習(xí)者可以根據(jù)ChatGPT給出的解答，系統(tǒng)閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，進(jìn)而根據(jù)自己的理解，指導(dǎo)ChatGPT提供更加準(zhǔn)確的模型．第二，在批判中改進(jìn)ChatGPT的解答．ChatGPT可以高效地提供解答，但也存在形式機(jī)械、缺少個(gè)性化等問題．因此，教師在利用ChatGPT解答時(shí)，應(yīng)該發(fā)揮個(gè)人的主觀能動(dòng)性，根據(jù)題目的特殊性加入個(gè)人的理解，為ChatGPT提供可行的解題路徑．

教育的本質(zhì)是創(chuàng)新，教師與ChatGPT最大的區(qū)別正在于創(chuàng)新．ChatGPT可以成為學(xué)習(xí)者開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的好幫手，幫助學(xué)習(xí)者更快地搜索已有的研究材料，確定解題路徑．學(xué)習(xí)者則應(yīng)該將精力集中在路徑創(chuàng)新和思維突破，重構(gòu)式地設(shè)計(jì)建模過程，最終與ChatGPT形成合力，完美完成數(shù)學(xué)建模過程．

參考文獻(xiàn)

[1]梁迎麗，張夢(mèng)夢(mèng)．AI大模型推動(dòng)教育發(fā)展的理論訴求與實(shí)踐路徑[J]．南京郵電大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2024，26（2）：1-6

[2]李長泰，韓旭，蔣若輝等．大模型及其在材料科學(xué)中的應(yīng)用與展望[J]．工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2024，46（02）：290-305

[3]周童，吳曉亮．人工智能賦能民航英語教學(xué)：轉(zhuǎn)型策略與挑戰(zhàn)[J]．民航學(xué)報(bào)，2024，8（02）：140-143，108．

[4]劉暉，任曼，寇麗圓等．ChatGPT對(duì)醫(yī)學(xué)臨床實(shí)踐教學(xué)的影響與思考[J]．中國醫(yī)學(xué)教育技術(shù)，2024，38（4）：389-393，400.

[5]孫丹，朱城聰，許作棟等．基于生成式人工智能的大學(xué)生編程學(xué)習(xí)行為分析研究[J]．電化教育研究，2024，45（03）：113-120．

[6]劉夢(mèng)哲，孔雯晴，汪曉勤．ChatGPT輔助設(shè)計(jì)HPM課例：嘗試與感悟[J]．教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2023（09）：14-20

[7]吳砥，郭慶，鄭旭東．智能技術(shù)進(jìn)步如何促進(jìn)學(xué)生發(fā)展[J]．教育研究，2024，45（01）：121-132

[8]楊昔陽，孫偉婧．基于MATLAB的數(shù)學(xué)課堂信息化實(shí)踐[J]．高中數(shù)理化，2020（08）：25-27

[9]焦建利．ChatGPT：學(xué)校教育的朋友還是敵人？[J]．現(xiàn)代教育技術(shù)，2023（4）：5-15

[10]李政濤．ChatGPT/生成式人工智能對(duì)基礎(chǔ)教育之“基礎(chǔ)”的顛覆與重置[J]．華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2023（7）：47-55

[11]夏立新，楊宗凱，黃榮懷等．教育數(shù)字化與新時(shí)代教育變革（筆談）[J]．華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)（人文社會(huì)科學(xué)版），2023，62（05）：1-22

（本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“協(xié)同創(chuàng)新”專項(xiàng)課題“基于多學(xué)科融合和四位一體的師范生數(shù)學(xué)建模課程體系建設(shè)”（課題編號(hào)：Fjxczx23-376） 、2023年本科高校教育教學(xué)研究項(xiàng)目（課題編號(hào)：FBJY20230201）、泉州師范學(xué)院國家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目資助（課題編號(hào)：202310399004）和高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心項(xiàng)目（課題編號(hào)：CMC20240622）的研究成果之一）