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    聯(lián)合激勵(lì)下分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的半解析方法

    2024-12-31 00:00:00孔凡廖海君韓仁杰張義洪旭
    振動(dòng)工程學(xué)報(bào) 2024年8期

    摘要: 確定性和隨機(jī)激勵(lì)聯(lián)合作用下的非線性動(dòng)力系統(tǒng)具有特殊的動(dòng)力響應(yīng)特征。本文提出一種用于計(jì)算聯(lián)合激勵(lì)下含分?jǐn)?shù)階阻尼的非線性系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的半解析方法。將系統(tǒng)響應(yīng)表示為確定性響應(yīng)和零均值隨機(jī)響應(yīng)之和,則原分?jǐn)?shù)階非線性運(yùn)動(dòng)微分方程可等效地化為分?jǐn)?shù)階確定性微分方程和隨機(jī)子微分方程的組合。利用時(shí)變諧波平衡法處理非線性確定性微分方程,利用統(tǒng)計(jì)線性化處理非線性隨機(jī)子微分方程。對(duì)于后者,結(jié)合Prony?SS算法和Laplace變換得到其分?jǐn)?shù)階等效線性方程的半解析解。聯(lián)立得到的相關(guān)耦合方程,通過(guò)數(shù)值算法迭代求解響應(yīng)未知量。蒙特卡羅模擬驗(yàn)證了此方法的適用性和精度。

    關(guān)鍵詞: 統(tǒng)計(jì)線性化; 時(shí)變諧波平衡法; 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù); 非線性系統(tǒng); Prony?SS算法

    中圖分類號(hào): O324; O322" " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼: A" " 文章編號(hào): 1004-4523(2024)08-1339-10

    DOI:10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.08.008

    引" 言

    分?jǐn)?shù)階微積分是微積分學(xué)的重要分支,距今已有300多年的歷史[1]。近幾十年來(lái),分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型在工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2]。土木或機(jī)械工程領(lǐng)域的許多情形下,都使用黏彈性阻尼器降低結(jié)構(gòu)振動(dòng),而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型描述黏彈性材料本構(gòu)關(guān)系具有較大優(yōu)勢(shì)。在這方面,Gemant[3]提出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型用以精確描述黏彈性材料的頻率依賴性; Slonimsky[4], Smit等[5]發(fā)現(xiàn)黏彈性介質(zhì)中的應(yīng)力與應(yīng)變之間存在分?jǐn)?shù)階微積分關(guān)系;Lewandowski等[6]提出黏彈性阻尼器的分?jǐn)?shù)Kelvin?Voigt模型和分?jǐn)?shù)Maxwell模型的參數(shù)辨識(shí)方法;Bagley等[7?8]通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析得出,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型可用于描述黏彈性材料的應(yīng)力松弛和蠕變現(xiàn)象,且模型簡(jiǎn)單、參數(shù)少??梢?jiàn),具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼的運(yùn)動(dòng)微分方程能很好地描述裝配有黏彈性減/隔振(震)阻尼器結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性[9]。因此,亟需發(fā)展求解分?jǐn)?shù)階運(yùn)動(dòng)微分方程的解析或數(shù)值方法。

    分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析較其確定性響應(yīng)分析更具挑戰(zhàn)。到目前為止,人們通過(guò)若干方法得到了線性系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng),例如:Pinnola[10]基于復(fù)譜矩的概念通過(guò)分?jǐn)?shù)階狀態(tài)方程的特征向量展開(kāi)和Melin變換得到了線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的二階矩解析解;文獻(xiàn)[11?12]通過(guò)Laplace變換和Prony?SS算法得到了分?jǐn)?shù)階線性單自由度系統(tǒng)響應(yīng)二階矩的半解析解;Di Paola等[13]基于分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和特征向量展開(kāi)得到了多自由度線性系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜密度數(shù)值解。然而,以上通過(guò)特征向量展開(kāi)或Laplace變換的方法均只適用于分?jǐn)?shù)階線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),而無(wú)法適用于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)。另外,工程隨機(jī)激勵(lì)(如地震激勵(lì))具有明顯的非平穩(wěn)特性,而只有基于Laplace變換的方法[11?12]可得到非平穩(wěn)(半)解析解。

    實(shí)際工程中的結(jié)構(gòu)會(huì)同時(shí)受到確定性和隨機(jī)激勵(lì)聯(lián)合作用。例如,在隨機(jī)風(fēng)浪作用下運(yùn)行的風(fēng)力發(fā)電機(jī)[14]。在力學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域,確定性和隨機(jī)激勵(lì)作用下非線性系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)得到廣泛關(guān)注[15?20]。然而,工程結(jié)構(gòu)中隨機(jī)非平穩(wěn)響應(yīng)[21]、滯回特性[22]及多自由度系統(tǒng)[23]等問(wèn)題仍有待進(jìn)一步研究。

    文獻(xiàn)[24?25]發(fā)展了非線性系統(tǒng)在聯(lián)合激勵(lì)作用下非平穩(wěn)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法。該方法的關(guān)鍵在于將系統(tǒng)響應(yīng)分解為確定性和隨機(jī)響應(yīng)分量之和,從而得到兩組耦合的、分別以確定性和隨機(jī)響應(yīng)為未知量的子微分方程;再分別以確定性和隨機(jī)動(dòng)力方法求解從而得到總響應(yīng)。該方法已被推廣到分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析[26],其中,利用了Yuan?Agrawal(YA)的無(wú)記憶方法[27]將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)化為了整數(shù)階導(dǎo)數(shù)。然而,研究發(fā)現(xiàn):Yuan?Agrawal對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)整數(shù)化的處理存在局限,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)接近0或1時(shí)方法的精度下降。為此,本文提出使用文獻(xiàn)[11?12]提出的Laplace變換方法計(jì)算隨機(jī)等效線性方程的近似半解析解,再結(jié)合統(tǒng)計(jì)線性化方法依照聯(lián)合激勵(lì)下整數(shù)階非線性系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的思路求得分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的響應(yīng)。

    本文結(jié)構(gòu)如下:對(duì)分?jǐn)?shù)階非線性運(yùn)動(dòng)方程分解,得到等效確定性和隨機(jī)子微分方程;利用時(shí)變諧波平衡法求解確定性非線性子微分方程;利用統(tǒng)計(jì)線性化方法處理隨機(jī)非線性子微分方程,并通過(guò)Laplace變換和極點(diǎn)?留數(shù)方法得到其等效線性方程的半解析解;聯(lián)立相關(guān)方程并通過(guò)數(shù)值算法迭代求解響應(yīng)未知量。最后,通過(guò)大量的數(shù)值算例驗(yàn)證本文建議方法的精度和適用性。

    1 理論方法

    1.1 動(dòng)力學(xué)方程

    具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼的單自由度非線性系統(tǒng)在隨機(jī)與確定性調(diào)制諧波聯(lián)合激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為:

    式中" m,c和k分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、分?jǐn)?shù)階阻尼系數(shù)和剛度系數(shù);q為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù);,和分別為結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度;為關(guān)于結(jié)構(gòu)位移、速度和加速度的非線性函數(shù);為確定性諧波激勵(lì)的頻率,慢變時(shí)間調(diào)制函數(shù)為[28]:

    式中" 為諧波激勵(lì)的幅值;,為控制調(diào)制函數(shù)形狀的參數(shù)。

    為零均值非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,本文采用調(diào)制非平穩(wěn)過(guò)程模型,即

    式中" 表示功率譜密度為的白噪聲;為時(shí)間調(diào)制函數(shù),采用指數(shù)函數(shù)疊加的形式表示[11]:

    式中" 為指數(shù)分量的項(xiàng)數(shù);和為實(shí)數(shù)??梢?jiàn),式(2)所示調(diào)制函數(shù)為式(4)的特殊形式;通過(guò)調(diào)整函數(shù)的幅值和指數(shù)大小能方便地調(diào)整指數(shù)函數(shù)上升和下降段速率。

    式(1)中,表示階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),采用Caputo定義:

    為使分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)量綱與經(jīng)典阻尼項(xiàng)一致,取,其中為結(jié)構(gòu)的自振頻率,為系統(tǒng)阻尼比。

    將系統(tǒng)響應(yīng)分解為確定性諧波與零均值隨機(jī)分量之和,即[24?26]

    注意到,文獻(xiàn)[28]在處理零均值隨機(jī)激勵(lì)作用下非零點(diǎn)對(duì)稱(如平方)非線性振子時(shí)也采用了類似形式,表示響應(yīng)為非零均值隨機(jī)過(guò)程;有關(guān)該分解的合理性,見(jiàn)文獻(xiàn)[24?26]的評(píng)述。對(duì)式(6)兩邊求期望可得:

    由分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的線性性質(zhì)[1]可知:

    因此,聯(lián)合激勵(lì)下分?jǐn)?shù)階非線性運(yùn)動(dòng)方程式(1)可分解為確定性運(yùn)動(dòng)方程(11)和隨機(jī)運(yùn)動(dòng)方程(12)。由于式(11)包含隨機(jī)分量,式(12)包含確定性分量。因此,這兩組方程式相互耦合,須同時(shí)考慮才能求得系統(tǒng)響應(yīng)。

    1.2 確定性響應(yīng)的時(shí)變諧波平衡法

    1.3 隨機(jī)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法

    可見(jiàn),其與隨機(jī)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差和確定性響應(yīng)有關(guān)。的非平穩(wěn)性主要源于慢變的隨機(jī)激勵(lì)調(diào)制函數(shù);的時(shí)變性來(lái)源于慢變的諧波調(diào)制函數(shù)和快變的被調(diào)制諧波/。注意到,以上非平穩(wěn)性或時(shí)變性導(dǎo)致了等效線性剛度為時(shí)間的函數(shù)。將中的快變分量在一個(gè)周期內(nèi)平均,即

    上式中的依賴于等效線性剛度。綜上:式(17)和(18)給出了之間關(guān)系的兩個(gè)方程;式(43)給出了和之間關(guān)系的第三個(gè)方程;式(24)建立了和之間關(guān)系的第四個(gè)方程??赏ㄟ^(guò)數(shù)值方法求解以上四個(gè)非線性代數(shù)方程。

    1.4 求解流程

    (1) 確定諧波系數(shù)和的初值和隨機(jī)響應(yīng)分量的標(biāo)準(zhǔn)差的初值。令非線性強(qiáng)度系數(shù),則,通過(guò)式(17)和(18)求得諧波系數(shù)的初值和,通過(guò)式(43)求得隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差初值,設(shè)迭代步。

    (2) 將代入式(48)利用Newton迭代法更新諧波系數(shù)和;利用,和通過(guò)式(24)求得等效線性剛度系數(shù);根據(jù)式(43)求得更新后的標(biāo)準(zhǔn)差。

    (3) 判定收斂:如不收斂,,并回到第(2)步;如收斂,結(jié)束循環(huán)。

    值得注意的是,本節(jié)的方法同樣也適用于隨機(jī)激勵(lì)分量為調(diào)制色噪聲或/和確定性激勵(lì)具有多諧波分量的情形。相應(yīng)地,需要采用前置濾波器方法對(duì)式(12)擴(kuò)階或/和使用多諧波平衡法處理式(11)。

    2 數(shù)值算例

    2.1 典型響應(yīng)

    本文建議的方法計(jì)算得到的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差和均值與MCS的結(jié)果對(duì)比如圖1所示。其中,MCS中樣本激勵(lì)由譜表現(xiàn)方法生成,樣本數(shù)為10000個(gè)。由圖可見(jiàn),除確定性響應(yīng)起始部分外,建議方法得到的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差和均值與MCS估計(jì)的結(jié)果幾乎吻合,而且可以很好地體現(xiàn)響應(yīng)的非平穩(wěn)性。圖1(a)中,由兩種方法得到的響應(yīng)均值穩(wěn)態(tài)平均功率相差;圖1(b)中,兩種方法得到的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均則相差,驗(yàn)證了所建議方法具有較好的精度。

    為進(jìn)一步驗(yàn)證所建議方法在其他參數(shù)設(shè)置情況下的適用性,進(jìn)行以下參數(shù)分析。

    2.2 確定性諧波激勵(lì)頻率

    確定性諧波激勵(lì)頻率無(wú)疑會(huì)影響確定性響應(yīng)分量。定性而言,激勵(lì)頻率接近線性系統(tǒng)自振頻率時(shí)會(huì)增大的幅值。確定性激勵(lì)頻率如何影響隨機(jī)響應(yīng)分量,仍有待考察;同時(shí),需研究所建議方法在確定性激勵(lì)頻率變化時(shí)的適用性。為此,除使確定性諧波激勵(lì)頻率變化外,其他系統(tǒng)和激勵(lì)參數(shù)同2.1節(jié)。圖2和3所示為不同頻率引起的系統(tǒng)響應(yīng)變化曲線。由圖2,3可見(jiàn),諧波激勵(lì)頻率改變時(shí),對(duì)確定性響應(yīng)有較大影響。使確定性響應(yīng)包絡(luò)平均達(dá)到峰值的諧波激勵(lì)頻率大于自振頻率1.0 rad/s幅?頻響應(yīng)曲線向高頻傾斜,符合硬化系統(tǒng)的特征。此外,在確定性響應(yīng)的峰值頻率處,隨機(jī)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均達(dá)到最低??傮w而言,所建議方法準(zhǔn)確地捕捉了MCS結(jié)果顯示的上述響應(yīng)特征,且和后者預(yù)測(cè)結(jié)果的吻合性較好。值得注意的是,當(dāng)確定性激勵(lì)分量頻率處于1.1~1.2 rad/s之間(主外共振頻率)時(shí),方法對(duì)預(yù)測(cè)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均的適用性降低。

    2.3 確定性諧波激勵(lì)幅值

    確定性諧波激勵(lì)幅值同樣會(huì)影響系統(tǒng)確定性響應(yīng)分量。因此,需考察確定性諧波激勵(lì)幅值對(duì)隨機(jī)響應(yīng)的影響,同時(shí)研究在這種情況下所建議方法的適用性。同樣地,除使諧波激勵(lì)幅值變化外,其他系統(tǒng)和激勵(lì)參數(shù)同2.1節(jié)。考察與系統(tǒng)響應(yīng)之間的關(guān)系。如圖4和5所示分別為兩種方法得到的確定性響應(yīng)包絡(luò)平均和隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均與諧波激勵(lì)幅值之間的關(guān)系曲線??梢钥闯?,隨著諧波激勵(lì)幅值增大而增大,兩種方法之間的最大誤差僅為3.37%;反之,隨著諧波激勵(lì)幅值增大僅稍有下降,兩種方法之間的最大誤差約為-3.93%。

    2.4 隨機(jī)激勵(lì)譜強(qiáng)度

    考察隨機(jī)激勵(lì)譜強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。同樣地,除使變化外,其他系統(tǒng)和激勵(lì)參數(shù)同2.1節(jié)??疾祀S機(jī)激勵(lì)譜強(qiáng)度與系統(tǒng)響應(yīng)之間的關(guān)系。圖6和7所示分別為所建議方法和MCS得到的確定性響應(yīng)包絡(luò)平均和響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均與之間的關(guān)系曲線。可見(jiàn),隨譜強(qiáng)度的增大而增大,兩種方法獲得結(jié)果之間的最大誤差約為;隨的增大而減小,兩種方法所獲結(jié)果之間的最大誤差約為。

    2.5 系統(tǒng)非線性強(qiáng)度

    非線性強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響至關(guān)重要。考察系統(tǒng)非線性強(qiáng)度變化時(shí)所建議方法的適用性及非線性強(qiáng)度對(duì)響應(yīng)分量的影響。如圖8和9所示為建議方法和MCS得到的確定性響應(yīng)包絡(luò)平均和響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均隨非線性強(qiáng)度系數(shù)變化的曲線。由圖可見(jiàn),和都隨的增加而降低,其中以更為顯著。圖8中,所建議方法與MCS結(jié)果的最大誤差約為3.75%,而圖9中的最大誤差約為,均對(duì)應(yīng)??梢?jiàn),所建議方法得到的確定性和隨機(jī)響應(yīng)分量的計(jì)算精度均隨的增加而降低,但仍在一般統(tǒng)計(jì)線性化方法誤差的合理范圍內(nèi)[28]。

    2.6 系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階大小

    根據(jù)Singh等[30]的研究,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型以較少的模型參數(shù)就能逼近標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型(Standard Linear Solid model, SLS, 即多個(gè)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼和剛度單元串并聯(lián))才能模擬的儲(chǔ)能或耗能模量的頻率依賴行為。定性而言,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)增加時(shí),模型阻尼成分增加、剛度成分減??;反之,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)減小時(shí),模型剛度成分增加、阻尼成分減小。本文提出采用Laplace變換方法計(jì)算隨機(jī)等效線性系統(tǒng)響應(yīng),相比Yuan?Agrawal的無(wú)記憶方法,適用于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)()較大或較小的情況。因此,有必要考察分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不同時(shí)所建議方法的適用性,以及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)大小對(duì)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均和確定性響應(yīng)包絡(luò)平均的影響。如圖10和11所示分別為和隨分?jǐn)?shù)階變化的曲線,其中給出了所建議方法和MCS得到的結(jié)果對(duì)比。由圖可見(jiàn),和均隨增加而逐漸下降,在處達(dá)到最大值和最大誤差,均值響應(yīng)誤差約為,隨機(jī)響應(yīng)誤差約為。

    3 結(jié)" 論

    本文提出了一種求解分?jǐn)?shù)階非線性振子在確定性調(diào)制諧波激勵(lì)和調(diào)制白噪聲作用下非平穩(wěn)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法。首先,系統(tǒng)響應(yīng)表示為確定性調(diào)制諧波響應(yīng)和零均值響應(yīng)之和,將原方程等效地分解為耦合的確定性和隨機(jī)子微分方程。采用時(shí)變諧波平衡和統(tǒng)計(jì)線性化方法分別處理了確定性和隨機(jī)子微分方程,得到了響應(yīng)未知量之間的非線性代數(shù)關(guān)系;其中,基于Laplace變換和極點(diǎn)?留數(shù)方法建立了隨機(jī)等效線性系統(tǒng)響應(yīng)方差和等效線性參數(shù)之間的關(guān)系。最后,利用迭代方法求解了未知量之間耦合的非線性方程。通過(guò)蒙特卡羅模擬對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證和參數(shù)分析。

    結(jié)果表明:該方法繼承了統(tǒng)計(jì)線性化方法在處理非線性隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題方面的普遍適用性,基于Laplace變換的分?jǐn)?shù)階等效線性系統(tǒng)響應(yīng)的半解析解精度高、適用于分?jǐn)?shù)階的所有情況。注意到,線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)具有顯式解析表達(dá),采用它而非由頻率響應(yīng)函數(shù)逆變換而來(lái)的數(shù)值表達(dá)(式(29)),可進(jìn)一步得到線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的解析解。本文所建議的方法也可拓展至滯回非線性系統(tǒng)和多自由度非線性系統(tǒng)等情況。

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    A semi?analytical method for non?stationary response determination of nonlinear systems subjected to combined excitation

    KONG Fan LIAO Hai?jun HAN Ren?jie ZHANG Yi HONG Xu

    (1.School of Civil Engineering amp; Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China; 2.College of Civil Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 3.College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 4.China Construction Third Bureau First Engineering Co., Ltd., Wuhan 430040, China)

    Abstract: The nonlinear dynamic systems exhibit particular behaviors when subjected to combined deterministic and stochastic excitation. A semi-analytical method for calculating the nonstationary response of a fractional nonlinear oscillator subjected to combined excitation is proposed. Representing the system response as a sum of a deterministic component and zero-mean stochastic component leads to two equivalent sub-equations for the differential equation of motion. The time-varying harmonic balance method is used for the nonstationary solution of the deterministic differential sub-equation, while the statistical linearization method is utilized for obtaining an equivalent linear substitution for the stochastic sub-equation. A semi-analytical solution of the equivalent linear equation is obtained by the Prony-SS and Laplace transform technique. The unknown deterministic/stochastic response components are obtained by solving the derived nonlinear algebraic equations simultaneously. Monte Carlo simulations demonstrate the applicability and accuracy of this method.

    Key words: statistical linearization; time-varying harmonic balance; fractional derivative; nonlinear system; Prony-SS algorithm

    作者簡(jiǎn)介: 孔" 凡(1984―),男,博士,教授。 E?mail: kongfan@hfut.edu.cn。

    通訊作者: 洪" 旭(1993—),男,博士,講師。 E?mail: xhong@hfut.edu.cn。

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