聯(lián)合激勵(lì)下分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的半解析方法

摘要： 確定性和隨機(jī)激勵(lì)聯(lián)合作用下的非線性動(dòng)力系統(tǒng)具有特殊的動(dòng)力響應(yīng)特征。本文提出一種用于計(jì)算聯(lián)合激勵(lì)下含分?jǐn)?shù)階阻尼的非線性系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的半解析方法。將系統(tǒng)響應(yīng)表示為確定性響應(yīng)和零均值隨機(jī)響應(yīng)之和，則原分?jǐn)?shù)階非線性運(yùn)動(dòng)微分方程可等效地化為分?jǐn)?shù)階確定性微分方程和隨機(jī)子微分方程的組合。利用時(shí)變諧波平衡法處理非線性確定性微分方程，利用統(tǒng)計(jì)線性化處理非線性隨機(jī)子微分方程。對(duì)于后者，結(jié)合Prony?SS算法和Laplace變換得到其分?jǐn)?shù)階等效線性方程的半解析解。聯(lián)立得到的相關(guān)耦合方程，通過(guò)數(shù)值算法迭代求解響應(yīng)未知量。蒙特卡羅模擬驗(yàn)證了此方法的適用性和精度。

關(guān)鍵詞： 統(tǒng)計(jì)線性化； 時(shí)變諧波平衡法； 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)； 非線性系統(tǒng)； Prony?SS算法

中圖分類號(hào)： O324； O322" " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" " 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）08-1339-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.08.008

引" 言

分?jǐn)?shù)階微積分是微積分學(xué)的重要分支，距今已有300多年的歷史［1］。近幾十年來(lái)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型在工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［2］。土木或機(jī)械工程領(lǐng)域的許多情形下，都使用黏彈性阻尼器降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)，而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型描述黏彈性材料本構(gòu)關(guān)系具有較大優(yōu)勢(shì)。在這方面，Gemant［3］提出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型用以精確描述黏彈性材料的頻率依賴性； Slonimsky［4］， Smit等［5］發(fā)現(xiàn)黏彈性介質(zhì)中的應(yīng)力與應(yīng)變之間存在分?jǐn)?shù)階微積分關(guān)系；Lewandowski等［6］提出黏彈性阻尼器的分?jǐn)?shù)Kelvin?Voigt模型和分?jǐn)?shù)Maxwell模型的參數(shù)辨識(shí)方法；Bagley等［7?8］通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析得出，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型可用于描述黏彈性材料的應(yīng)力松弛和蠕變現(xiàn)象，且模型簡(jiǎn)單、參數(shù)少?？梢?jiàn)，具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼的運(yùn)動(dòng)微分方程能很好地描述裝配有黏彈性減/隔振（震）阻尼器結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性［9］。因此，亟需發(fā)展求解分?jǐn)?shù)階運(yùn)動(dòng)微分方程的解析或數(shù)值方法。

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析較其確定性響應(yīng)分析更具挑戰(zhàn)。到目前為止，人們通過(guò)若干方法得到了線性系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)，例如：Pinnola［10］基于復(fù)譜矩的概念通過(guò)分?jǐn)?shù)階狀態(tài)方程的特征向量展開(kāi)和Melin變換得到了線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的二階矩解析解；文獻(xiàn)［11?12］通過(guò)Laplace變換和Prony?SS算法得到了分?jǐn)?shù)階線性單自由度系統(tǒng)響應(yīng)二階矩的半解析解；Di Paola等［13］基于分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和特征向量展開(kāi)得到了多自由度線性系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜密度數(shù)值解。然而，以上通過(guò)特征向量展開(kāi)或Laplace變換的方法均只適用于分?jǐn)?shù)階線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，而無(wú)法適用于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)。另外，工程隨機(jī)激勵(lì)（如地震激勵(lì)）具有明顯的非平穩(wěn)特性，而只有基于Laplace變換的方法［11?12］可得到非平穩(wěn)（半）解析解。

實(shí)際工程中的結(jié)構(gòu)會(huì)同時(shí)受到確定性和隨機(jī)激勵(lì)聯(lián)合作用。例如，在隨機(jī)風(fēng)浪作用下運(yùn)行的風(fēng)力發(fā)電機(jī)［14］。在力學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域，確定性和隨機(jī)激勵(lì)作用下非線性系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)得到廣泛關(guān)注［15?20］。然而，工程結(jié)構(gòu)中隨機(jī)非平穩(wěn)響應(yīng)［21］、滯回特性［22］及多自由度系統(tǒng)［23］等問(wèn)題仍有待進(jìn)一步研究。

文獻(xiàn)［24?25］發(fā)展了非線性系統(tǒng)在聯(lián)合激勵(lì)作用下非平穩(wěn)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法。該方法的關(guān)鍵在于將系統(tǒng)響應(yīng)分解為確定性和隨機(jī)響應(yīng)分量之和，從而得到兩組耦合的、分別以確定性和隨機(jī)響應(yīng)為未知量的子微分方程；再分別以確定性和隨機(jī)動(dòng)力方法求解從而得到總響應(yīng)。該方法已被推廣到分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析［26］，其中，利用了Yuan?Agrawal（YA）的無(wú)記憶方法［27］將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)化為了整數(shù)階導(dǎo)數(shù)。然而，研究發(fā)現(xiàn)：Yuan?Agrawal對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)整數(shù)化的處理存在局限，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)接近0或1時(shí)方法的精度下降。為此，本文提出使用文獻(xiàn)［11?12］提出的Laplace變換方法計(jì)算隨機(jī)等效線性方程的近似半解析解，再結(jié)合統(tǒng)計(jì)線性化方法依照聯(lián)合激勵(lì)下整數(shù)階非線性系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的思路求得分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的響應(yīng)。

本文結(jié)構(gòu)如下：對(duì)分?jǐn)?shù)階非線性運(yùn)動(dòng)方程分解，得到等效確定性和隨機(jī)子微分方程；利用時(shí)變諧波平衡法求解確定性非線性子微分方程；利用統(tǒng)計(jì)線性化方法處理隨機(jī)非線性子微分方程，并通過(guò)Laplace變換和極點(diǎn)?留數(shù)方法得到其等效線性方程的半解析解；聯(lián)立相關(guān)方程并通過(guò)數(shù)值算法迭代求解響應(yīng)未知量。最后，通過(guò)大量的數(shù)值算例驗(yàn)證本文建議方法的精度和適用性。

1 理論方法

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼的單自由度非線性系統(tǒng)在隨機(jī)與確定性調(diào)制諧波聯(lián)合激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中" m，c和k分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、分?jǐn)?shù)階阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)；q為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)；，和分別為結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度；為關(guān)于結(jié)構(gòu)位移、速度和加速度的非線性函數(shù)；為確定性諧波激勵(lì)的頻率，慢變時(shí)間調(diào)制函數(shù)為［28］：

式中" 為諧波激勵(lì)的幅值；，為控制調(diào)制函數(shù)形狀的參數(shù)。

為零均值非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，本文采用調(diào)制非平穩(wěn)過(guò)程模型，即

式中" 表示功率譜密度為的白噪聲；為時(shí)間調(diào)制函數(shù)，采用指數(shù)函數(shù)疊加的形式表示［11］：

式中" 為指數(shù)分量的項(xiàng)數(shù)；和為實(shí)數(shù)?？梢?jiàn)，式（2）所示調(diào)制函數(shù)為式（4）的特殊形式；通過(guò)調(diào)整函數(shù)的幅值和指數(shù)大小能方便地調(diào)整指數(shù)函數(shù)上升和下降段速率。

式（1）中，表示階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，采用Caputo定義：

為使分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)量綱與經(jīng)典阻尼項(xiàng)一致，取，其中為結(jié)構(gòu)的自振頻率，為系統(tǒng)阻尼比。

將系統(tǒng)響應(yīng)分解為確定性諧波與零均值隨機(jī)分量之和，即［24?26］

注意到，文獻(xiàn)［28］在處理零均值隨機(jī)激勵(lì)作用下非零點(diǎn)對(duì)稱（如平方）非線性振子時(shí)也采用了類似形式，表示響應(yīng)為非零均值隨機(jī)過(guò)程；有關(guān)該分解的合理性，見(jiàn)文獻(xiàn)［24?26］的評(píng)述。對(duì)式（6）兩邊求期望可得：

由分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的線性性質(zhì)［1］可知：

因此，聯(lián)合激勵(lì)下分?jǐn)?shù)階非線性運(yùn)動(dòng)方程式（1）可分解為確定性運(yùn)動(dòng)方程（11）和隨機(jī)運(yùn)動(dòng)方程（12）。由于式（11）包含隨機(jī)分量，式（12）包含確定性分量。因此，這兩組方程式相互耦合，須同時(shí)考慮才能求得系統(tǒng)響應(yīng)。

1.2 確定性響應(yīng)的時(shí)變諧波平衡法

1.3 隨機(jī)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法

可見(jiàn)，其與隨機(jī)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差和確定性響應(yīng)有關(guān)。的非平穩(wěn)性主要源于慢變的隨機(jī)激勵(lì)調(diào)制函數(shù)；的時(shí)變性來(lái)源于慢變的諧波調(diào)制函數(shù)和快變的被調(diào)制諧波/。注意到，以上非平穩(wěn)性或時(shí)變性導(dǎo)致了等效線性剛度為時(shí)間的函數(shù)。將中的快變分量在一個(gè)周期內(nèi)平均，即

上式中的依賴于等效線性剛度。綜上：式（17）和（18）給出了之間關(guān)系的兩個(gè)方程；式（43）給出了和之間關(guān)系的第三個(gè)方程；式（24）建立了和之間關(guān)系的第四個(gè)方程?？赏ㄟ^(guò)數(shù)值方法求解以上四個(gè)非線性代數(shù)方程。

1.4 求解流程

（1） 確定諧波系數(shù)和的初值和隨機(jī)響應(yīng)分量的標(biāo)準(zhǔn)差的初值。令非線性強(qiáng)度系數(shù)，則，通過(guò)式（17）和（18）求得諧波系數(shù)的初值和，通過(guò)式（43）求得隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差初值，設(shè)迭代步。

（2） 將代入式（48）利用Newton迭代法更新諧波系數(shù)和；利用，和通過(guò)式（24）求得等效線性剛度系數(shù)；根據(jù)式（43）求得更新后的標(biāo)準(zhǔn)差。

（3） 判定收斂：如不收斂，，并回到第（2）步；如收斂，結(jié)束循環(huán)。

值得注意的是，本節(jié)的方法同樣也適用于隨機(jī)激勵(lì)分量為調(diào)制色噪聲或/和確定性激勵(lì)具有多諧波分量的情形。相應(yīng)地，需要采用前置濾波器方法對(duì)式（12）擴(kuò)階或/和使用多諧波平衡法處理式（11）。

2 數(shù)值算例

2.1 典型響應(yīng)

本文建議的方法計(jì)算得到的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差和均值與MCS的結(jié)果對(duì)比如圖1所示。其中，MCS中樣本激勵(lì)由譜表現(xiàn)方法生成，樣本數(shù)為10000個(gè)。由圖可見(jiàn)，除確定性響應(yīng)起始部分外，建議方法得到的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差和均值與MCS估計(jì)的結(jié)果幾乎吻合，而且可以很好地體現(xiàn)響應(yīng)的非平穩(wěn)性。圖1（a）中，由兩種方法得到的響應(yīng)均值穩(wěn)態(tài)平均功率相差；圖1（b）中，兩種方法得到的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均則相差，驗(yàn)證了所建議方法具有較好的精度。

為進(jìn)一步驗(yàn)證所建議方法在其他參數(shù)設(shè)置情況下的適用性，進(jìn)行以下參數(shù)分析。

2.2 確定性諧波激勵(lì)頻率

確定性諧波激勵(lì)頻率無(wú)疑會(huì)影響確定性響應(yīng)分量。定性而言，激勵(lì)頻率接近線性系統(tǒng)自振頻率時(shí)會(huì)增大的幅值。確定性激勵(lì)頻率如何影響隨機(jī)響應(yīng)分量，仍有待考察；同時(shí)，需研究所建議方法在確定性激勵(lì)頻率變化時(shí)的適用性。為此，除使確定性諧波激勵(lì)頻率變化外，其他系統(tǒng)和激勵(lì)參數(shù)同2.1節(jié)。圖2和3所示為不同頻率引起的系統(tǒng)響應(yīng)變化曲線。由圖2，3可見(jiàn)，諧波激勵(lì)頻率改變時(shí)，對(duì)確定性響應(yīng)有較大影響。使確定性響應(yīng)包絡(luò)平均達(dá)到峰值的諧波激勵(lì)頻率大于自振頻率1.0 rad/s幅?頻響應(yīng)曲線向高頻傾斜，符合硬化系統(tǒng)的特征。此外，在確定性響應(yīng)的峰值頻率處，隨機(jī)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均達(dá)到最低?？傮w而言，所建議方法準(zhǔn)確地捕捉了MCS結(jié)果顯示的上述響應(yīng)特征，且和后者預(yù)測(cè)結(jié)果的吻合性較好。值得注意的是，當(dāng)確定性激勵(lì)分量頻率處于1.1～1.2 rad/s之間（主外共振頻率）時(shí)，方法對(duì)預(yù)測(cè)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均的適用性降低。

2.3 確定性諧波激勵(lì)幅值

確定性諧波激勵(lì)幅值同樣會(huì)影響系統(tǒng)確定性響應(yīng)分量。因此，需考察確定性諧波激勵(lì)幅值對(duì)隨機(jī)響應(yīng)的影響，同時(shí)研究在這種情況下所建議方法的適用性。同樣地，除使諧波激勵(lì)幅值變化外，其他系統(tǒng)和激勵(lì)參數(shù)同2.1節(jié)。考察與系統(tǒng)響應(yīng)之間的關(guān)系。如圖4和5所示分別為兩種方法得到的確定性響應(yīng)包絡(luò)平均和隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均與諧波激勵(lì)幅值之間的關(guān)系曲線?？梢钥闯?，隨著諧波激勵(lì)幅值增大而增大，兩種方法之間的最大誤差僅為3.37%；反之，隨著諧波激勵(lì)幅值增大僅稍有下降，兩種方法之間的最大誤差約為-3.93%。

2.4 隨機(jī)激勵(lì)譜強(qiáng)度

考察隨機(jī)激勵(lì)譜強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。同樣地，除使變化外，其他系統(tǒng)和激勵(lì)參數(shù)同2.1節(jié)?？疾祀S機(jī)激勵(lì)譜強(qiáng)度與系統(tǒng)響應(yīng)之間的關(guān)系。圖6和7所示分別為所建議方法和MCS得到的確定性響應(yīng)包絡(luò)平均和響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均與之間的關(guān)系曲線。可見(jiàn)，隨譜強(qiáng)度的增大而增大，兩種方法獲得結(jié)果之間的最大誤差約為；隨的增大而減小，兩種方法所獲結(jié)果之間的最大誤差約為。

2.5 系統(tǒng)非線性強(qiáng)度

非線性強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響至關(guān)重要。考察系統(tǒng)非線性強(qiáng)度變化時(shí)所建議方法的適用性及非線性強(qiáng)度對(duì)響應(yīng)分量的影響。如圖8和9所示為建議方法和MCS得到的確定性響應(yīng)包絡(luò)平均和響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均隨非線性強(qiáng)度系數(shù)變化的曲線。由圖可見(jiàn)，和都隨的增加而降低，其中以更為顯著。圖8中，所建議方法與MCS結(jié)果的最大誤差約為3.75%，而圖9中的最大誤差約為，均對(duì)應(yīng)?？梢?jiàn)，所建議方法得到的確定性和隨機(jī)響應(yīng)分量的計(jì)算精度均隨的增加而降低，但仍在一般統(tǒng)計(jì)線性化方法誤差的合理范圍內(nèi)［28］。

2.6 系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階大小

根據(jù)Singh等［30］的研究，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型以較少的模型參數(shù)就能逼近標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型（Standard Linear Solid model， SLS， 即多個(gè)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼和剛度單元串并聯(lián)）才能模擬的儲(chǔ)能或耗能模量的頻率依賴行為。定性而言，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)增加時(shí)，模型阻尼成分增加、剛度成分減??；反之，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)減小時(shí)，模型剛度成分增加、阻尼成分減小。本文提出采用Laplace變換方法計(jì)算隨機(jī)等效線性系統(tǒng)響應(yīng)，相比Yuan?Agrawal的無(wú)記憶方法，適用于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)（）較大或較小的情況。因此，有必要考察分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不同時(shí)所建議方法的適用性，以及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)大小對(duì)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均和確定性響應(yīng)包絡(luò)平均的影響。如圖10和11所示分別為和隨分?jǐn)?shù)階變化的曲線，其中給出了所建議方法和MCS得到的結(jié)果對(duì)比。由圖可見(jiàn)，和均隨增加而逐漸下降，在處達(dá)到最大值和最大誤差，均值響應(yīng)誤差約為，隨機(jī)響應(yīng)誤差約為。

3 結(jié)" 論

本文提出了一種求解分?jǐn)?shù)階非線性振子在確定性調(diào)制諧波激勵(lì)和調(diào)制白噪聲作用下非平穩(wěn)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法。首先，系統(tǒng)響應(yīng)表示為確定性調(diào)制諧波響應(yīng)和零均值響應(yīng)之和，將原方程等效地分解為耦合的確定性和隨機(jī)子微分方程。采用時(shí)變諧波平衡和統(tǒng)計(jì)線性化方法分別處理了確定性和隨機(jī)子微分方程，得到了響應(yīng)未知量之間的非線性代數(shù)關(guān)系；其中，基于Laplace變換和極點(diǎn)?留數(shù)方法建立了隨機(jī)等效線性系統(tǒng)響應(yīng)方差和等效線性參數(shù)之間的關(guān)系。最后，利用迭代方法求解了未知量之間耦合的非線性方程。通過(guò)蒙特卡羅模擬對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證和參數(shù)分析。

結(jié)果表明：該方法繼承了統(tǒng)計(jì)線性化方法在處理非線性隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題方面的普遍適用性，基于Laplace變換的分?jǐn)?shù)階等效線性系統(tǒng)響應(yīng)的半解析解精度高、適用于分?jǐn)?shù)階的所有情況。注意到，線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)具有顯式解析表達(dá)，采用它而非由頻率響應(yīng)函數(shù)逆變換而來(lái)的數(shù)值表達(dá)（式（29）），可進(jìn)一步得到線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的解析解。本文所建議的方法也可拓展至滯回非線性系統(tǒng)和多自由度非線性系統(tǒng)等情況。

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A semi?analytical method for non?stationary response determination of nonlinear systems subjected to combined excitation

KONG Fan LIAO Hai?jun HAN Ren?jie ZHANG Yi HONG Xu

（1.School of Civil Engineering amp; Architecture， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China； 2.College of Civil Engineering， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China； 3.College of Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China； 4.China Construction Third Bureau First Engineering Co.， Ltd.， Wuhan 430040， China）

Abstract： The nonlinear dynamic systems exhibit particular behaviors when subjected to combined deterministic and stochastic excitation. A semi-analytical method for calculating the nonstationary response of a fractional nonlinear oscillator subjected to combined excitation is proposed. Representing the system response as a sum of a deterministic component and zero-mean stochastic component leads to two equivalent sub-equations for the differential equation of motion. The time-varying harmonic balance method is used for the nonstationary solution of the deterministic differential sub-equation， while the statistical linearization method is utilized for obtaining an equivalent linear substitution for the stochastic sub-equation. A semi-analytical solution of the equivalent linear equation is obtained by the Prony-SS and Laplace transform technique. The unknown deterministic/stochastic response components are obtained by solving the derived nonlinear algebraic equations simultaneously. Monte Carlo simulations demonstrate the applicability and accuracy of this method.

Key words： statistical linearization； time-varying harmonic balance； fractional derivative； nonlinear system； Prony-SS algorithm

作者簡(jiǎn)介： 孔" 凡（1984―），男，博士，教授。 E?mail： kongfan@hfut.edu.cn。

通訊作者： 洪" 旭（1993—），男，博士，講師。 E?mail： xhong@hfut.edu.cn。