一類附加斜彈簧支撐的懸臂梁碰撞系統(tǒng)的全局動力學

摘要： 本文研究了雙側非對稱剛性約束下附加斜彈簧支撐的懸臂梁碰撞系統(tǒng)的次諧分岔和混沌的全局動力學。由于斜彈簧支撐結構的剛度項為超越函數(shù)，給解析研究系統(tǒng)混沌和次諧分岔造成很大的困難。本文近似擬合了該系統(tǒng)的剛度項，并對比分析了近似系統(tǒng)和原系統(tǒng)的同宿軌道及其內部的次諧軌道。將Melnikov方法發(fā)展應用于非光滑的碰撞懸臂梁系統(tǒng)，給出了發(fā)生同宿混沌和次諧分岔的閥值條件。利用光滑流形的特征乘子結合碰撞函數(shù)分析了碰撞次諧軌道的穩(wěn)定性，并分析了次諧分岔與混沌的關系?；陂y值條件研究了阻尼、激勵頻率、激勵幅值以及碰撞恢復系數(shù)對混沌和次諧分岔的影響，進一步驗證了理論分析的正確性。

關鍵詞： 非線性振動； 碰撞懸臂梁； 同宿混沌； 次諧分岔； Melnikov方法

中圖分類號： O322" " 文獻標志碼： A" " 文章編號： 1004-4523（2024）08-1308-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.08.005

引" 言

碰撞振動系統(tǒng)廣泛存在于日常生活和工程應用中。反復持續(xù)碰撞的梁是一種典型的非光滑碰撞系統(tǒng)。碰撞的非光滑因素通常會導致系統(tǒng)產生復雜的動力學行為，這將對工程結構產生大的影響。因此，具有碰撞約束的系統(tǒng)受到了科學工作者的廣泛關注。Zhang等［1］基于KAM理論和Aubry?Mather理論證明了剛性約束倒立擺在小擾動下擬周期解以及大擾動下次諧解的存在性，并提出一種精確計算不連續(xù)不變流形的數(shù)值方法來研究該系統(tǒng)的同宿分岔。Lyu等［2］給出了一類兩自由度剛性碰撞振子極限環(huán)滑動分岔的四種情況，并計算了余維2分岔點。Li等［3］研究了彈性碰撞、剛性碰撞和干摩擦同時作用的非光滑系統(tǒng)中伴隨擦邊和滑動非光滑分岔出現(xiàn)的各種吸引子跨越的全局演化結構。Zhang等［4］利用路徑跟蹤法研究了具有多個非光滑約束碰撞系統(tǒng)的各種光滑分岔和擦邊非光滑分岔的復雜現(xiàn)象。Li等［5］利用李雅普諾夫指數(shù)和功率譜研究了一類擬周期激勵的非光滑齒輪傳動系統(tǒng)的非混沌特性，證明了該系統(tǒng)存在奇異非混沌吸引子。蔣貴榮等［6］研究了脈沖激勵下碰撞振子的周期解及其復雜的分岔行為。Yin等［7］通過推廣高階零時間不連續(xù)映射方法，研究了一類三自由度碰撞振動系統(tǒng)退化的擦邊分岔行為，結果表明，系統(tǒng)退化擦邊點附近不僅存在典型的鞍結分岔和倍化分岔，還存在Neimark?Sacker分岔的新現(xiàn)象。Feng等［8］研究了由碰撞振子周期軌線擦邊導致的混沌激變現(xiàn)象，并討論了一類有界噪聲激勵下碰撞系統(tǒng)分形邊界與混沌之間的關系。Zhang等［9］揭示了一類三自由度碰撞振動系統(tǒng)中多周期吸引子、多頻擬周期吸引子以及混沌吸引子共存的現(xiàn)象，并分析了導致這些吸引子共存的機理。

具有負剛度的系統(tǒng)能展示出多穩(wěn)態(tài)的屬性，負剛度的引入通常會使系統(tǒng)產生同異宿軌道，這將引發(fā)復雜的混沌運動和次諧分岔。這些特性使得此類系統(tǒng)受到廣泛關注。Molyneux［10］最早將兩個橫向彈簧元件與豎向剛度元件組合構造了具有負剛度結構的高靜低動隔振器。Cao等［11］提出了光滑不連續(xù)振子，即SD振子，該振子不僅具有由光滑向不連續(xù)轉遷的性質，還具有多屈曲和多負剛度的特性。Ding等［12］基于負剛度設計了準零剛度隔振器并將其應用于預壓梁，實現(xiàn)了良好的減/隔振目標。Zhou等［13］提出了凸輪曲面滾子的負剛度設計模型，并將其用于扭轉振動隔振器的設計。Yang等［14］利用負剛度技術定量分析了能量采集器的動力學行為，發(fā)現(xiàn)參數(shù)的調整不僅可以使勢阱之間的跳躍更容易，而且可以提高小振幅激勵下的能量收集效率。Zhu等［15］提出了一種基于SD振子的兩自由度抗震系統(tǒng)，通過斜彈簧提供的負剛度獲得了良好的隔振性能。Lu等［16］設計了一種負剛度非線性隔振系統(tǒng)，通過解析推導和動態(tài)實驗驗證了該隔振器優(yōu)異的隔振效率。Valeev等［17］將碟簧負剛度部件應用到準零剛度隔振機構中，對隔振裝置進行了理論研究和實驗驗證。

具有負剛度系統(tǒng)的次諧波解和混沌的參數(shù)區(qū)域通常比較小，這給運用數(shù)值方法求解次諧波共振和混沌的閥值帶來了困難。為了克服數(shù)值方法的局限性，有必要使用解析的理論來確定系統(tǒng)的混沌和諧波解的閾值。Melnikov理論是分析系統(tǒng)混沌和次諧解的經典方法。許多學者針對不同的系統(tǒng)不斷改進Melnikov方法。Kuku?ka［18］推廣了經典Melnikov方法，并導出了平面非光滑系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)。Cao等［19］提出了分段線性近似，并基于該近似方法通過發(fā)展Melnikov方法研究了具有兩穩(wěn)態(tài)的SD振子的混沌。Tian等［20］通過發(fā)展Melnikov方法研究了具有多個脈沖作用下的非光滑系統(tǒng)的混沌。Li等［21?22］給出了具有四個切換流形的同異宿混沌Melnikov方法的詳細推導過程，并通過實例驗證了理論推導的有效性。Zhou等［23］改進了曹慶杰提出的分段線性逼近方法，研究雙穩(wěn)態(tài)隔振系統(tǒng)的次諧共振和混沌。張思進等［24］將Melnikov方法應用于碰振準哈密頓系統(tǒng)，通過推導局部亞諧軌道的Melnikov函數(shù)，揭示了碰振準哈密頓系統(tǒng)的眾多動力學特性。

本文研究了雙側非對稱剛性約束下附加斜彈簧支撐的懸臂梁的混沌和次諧分岔。第1節(jié)給出了懸臂梁碰撞系統(tǒng)的動力學方程，近似擬合了系統(tǒng)的剛度項，并對比分析了近似系統(tǒng)和原系統(tǒng)的同宿軌道及其內部的亞諧軌道；第2節(jié)通過非光滑的Melnikov方法給出了碰撞懸臂梁發(fā)生同宿混沌的條件；第3節(jié)通過非光滑的Melnikov方法給出了碰撞懸臂梁發(fā)生次諧分岔的條件，并討論了碰撞次諧解的穩(wěn)定性以及次諧分岔與混沌的關系；第4節(jié)基于理論分析結果通過數(shù)值仿真研究了阻尼、激勵頻率、激勵幅值以及碰撞恢復系數(shù)對系統(tǒng)混沌和次諧分岔的影響。

1 力學模型及動力學方程

圖1為雙側剛性約束下附加斜彈簧支撐的懸臂梁系統(tǒng)。系統(tǒng)的質量主要集中在懸臂梁的自由端，用質量為m的圓形質塊M來表示，懸臂梁的長度為l，EI為抗彎剛度，取質塊M靜平衡位置為坐標原點，質塊M受到斜彈簧結構的支撐作用，支撐結構中l(wèi)0為彈簧原長；lH為預加載后彈簧的長度；kH為彈簧剛度；Cv為阻尼系數(shù)。并在簡諧激振力的作用下做豎直方向的運動，振動位移為x。上、下約束與質塊M靜平衡位置存在的間隙分別為，。當質塊M到達約束面時，將與上下約束面發(fā)生碰撞，碰撞過程由碰撞恢復系數(shù)來確定。

隨著和的變化，剛度函數(shù)（4）會呈現(xiàn)出負剛度的特性。不失一般性，取根據(jù)式（4）和（5）可得到如圖2所示的剛度曲線。從圖2中可以看出，曲線中間段出現(xiàn)了負剛度，而且近似剛度函數(shù)（5）和原剛度函數(shù)（4）差別很小，說明在一定范圍內可以用近似剛度函數(shù)來代替原剛度函數(shù)。

不失一般性，仍然基于參數(shù)，計算可得和，基于表達式（9）和（10）得到如圖3所示的勢函數(shù)。從圖3中可以看出，系統(tǒng)（2）有1個鞍點（0，0）以及2個中心點和，表明系統(tǒng)是具有兩穩(wěn)態(tài)的結構。

將函數(shù)（11）對應的哈密頓方程和函數(shù)（12）對應的哈密頓方程=E在不同能量值下的相圖放到同一個圖中，如圖4所示。圖4中，紅色虛線是原系統(tǒng)的同宿軌道及其內側的周期軌道；黑色實線是近似系統(tǒng)同宿軌道及其內側的周期軌道，近似系統(tǒng)（7）同宿軌道以及其內部周期軌道的詳細表達式見附錄。從圖4中可以看出，近似系統(tǒng)（7）和原系統(tǒng)（2）的哈密頓系統(tǒng)的相圖吻合很好，因此可利用系統(tǒng)（7）來分析原系統(tǒng)的混沌和次諧分岔。

2 懸臂梁碰撞系統(tǒng)的混沌

本節(jié)將基于文獻［26］通過推導非光滑的函數(shù)來分析非對稱約束懸臂梁碰撞系統(tǒng)的混沌行為。首先，將系統(tǒng)（7）寫為如下形式：

條件（H1）：時的未擾系統(tǒng)是哈密頓函數(shù)，且具有連接在鞍點的同宿軌道，下標h表示質量塊M靜平衡位置與上、下約束面間的間隙；

條件（H2）：函數(shù)足夠光滑且有界，是具有周期T的函數(shù)。

由理論可知，對于足夠小的擾動參數(shù)，擾動系統(tǒng)有唯一的雙曲周期軌道。令為擾動系統(tǒng)的唯一軌道，其位于穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形之間，示意圖如圖5所示，是對應鞍點（0，0）的不穩(wěn)定流形，是對應鞍點（0，0）的穩(wěn)定流形，為Poincare截面。為了推導同宿混沌的函數(shù)，將軌道展開為：

對于非對稱約束系統(tǒng)（7），需要分別計算左右兩個同宿軌的函數(shù)，然后通過取交集來確定潛在的混沌區(qū)域。根據(jù)式（27），系統(tǒng)（7）上側約束同宿軌的函數(shù)可以表示為：

3 懸臂梁碰撞系統(tǒng)的次諧分岔

3.1 次諧函數(shù)

對于未擾系統(tǒng)（39），引入如下假設［27］：

條件（D1）：存在同宿軌把鞍點的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形連接在一起；

條件（D2）：同宿軌道內存在一個中心，并存在圍繞中心的周期軌道，其中為橢圓模量。

假設擾動系統(tǒng)的次諧軌道是，其中是初始時間或初相位。為推導函數(shù)，將軌道對展開，可得：

3.2 次諧解的穩(wěn)定性以及次諧解與混沌的關系

由于系統(tǒng)（7）為碰撞系統(tǒng)，所以需要利用未發(fā)生碰撞時方程的線性化系統(tǒng)與碰撞恢復函數(shù)復合后的線性化矩陣的特征值來判斷其穩(wěn)定性，其中和為未發(fā)生碰撞時的方程的基解矩陣，為發(fā)生碰撞時的矩陣且。

給定為未擾系統(tǒng)（8）的諧振軌道（即在周期下的非平凡周期解），這里的滿足為鄰域內的系統(tǒng)（7）的次諧解。類似于文獻［28］，給定相同意義下的，考慮處的線性化方程，可得：

4 數(shù)值模擬

首先分析系統(tǒng)（2）的混沌，選取系統(tǒng)的一組參數(shù)，根據(jù)命題1得到如圖7所示的混沌閥值，該閥值用來預測原系統(tǒng)（2）的混沌。從圖7中可以看出，當落在曲面圍成的上側區(qū)域時，原系統(tǒng)（2）將產生混沌。此外，圖7還表明隨著激振頻率的減小，混沌區(qū)域逐漸增大。不失一般性，以圖7中為例探討原系統(tǒng)（2）的混沌。取截面。在混沌區(qū)域取一點（4，3，8），得到如圖8和9所示的混沌。

下面分析阻尼、碰撞恢復系數(shù)和激勵幅值對混沌的影響。將圖7的混沌閥值投影到平面，得到隨碰撞恢復系數(shù)變化的混沌閥值，如圖10所示。從圖10中可以看出，隨著碰撞恢復系數(shù)的增大（即的減小），混沌區(qū)域增大，這表明增大碰撞恢復系數(shù)更容易誘發(fā)混沌。

將圖7的混沌閥值投影到平面，得到隨阻尼變化的混沌閥值，如圖11所示。從圖11中可以看出，隨著阻尼的減小，混沌區(qū)域增大，這表明減小阻尼更容易誘發(fā)混沌。

將圖7的混沌閥值投影到平面，得到隨激勵振幅變化的混沌閥值，如圖12所示。從圖12中可以看出，隨著激勵振幅增大，混沌區(qū)域增大，這表明增大激勵振幅更容易誘發(fā)混沌。

接下來分析系統(tǒng)（2）的次諧分岔，選取系統(tǒng)的另一組參數(shù)，根據(jù)命題2得到如圖13所示的次諧分岔閥值，該閥值用來預測原系統(tǒng)（2）的次諧解。從圖13中可以看出，當落在曲面的上側區(qū)域時，原系統(tǒng)（2）將產生次諧解；此外，隨著激振頻率的增加，次諧解的區(qū)域逐漸增大。不失一般性，以圖13中為例探討原系統(tǒng)（2）的次諧解。在次諧解區(qū)域取兩點（4.3，4.3，5.9）和（5，5，6.6），得到如圖14～17所示的次諧相圖和龐加萊截面圖。對比圖14和15以及圖16和17可以看出，原系統(tǒng)和近似系統(tǒng)的次諧解吻合很好，這進一步說明了基于近似系統(tǒng)分析原系統(tǒng)的次諧解的有效性。為了方便表示系統(tǒng)的碰撞次諧解，用表示其不同周期的狀態(tài)，這里表示激勵次數(shù)，表示與右邊界碰撞次數(shù)。

下面分析阻尼、碰撞恢復系數(shù)和激勵幅值對次諧分岔的影響。將圖13的次諧分岔閥值投影到平面，得到隨碰撞恢復系數(shù)R變化的次諧分岔閥值，如圖18所示。從圖18中可以看出，隨著碰撞恢復系數(shù)的減小，次諧解區(qū)域減小，這表明增大碰撞恢復系數(shù)更容易誘發(fā)次諧分岔。

將圖13的次諧分岔閥值投影到平面，得到隨激勵振幅q變化的次諧分岔閥值，如圖19所示。從圖19中可以看出，隨著激勵振幅的增大，次諧解區(qū)域增大，這表明增大激勵振幅更容易誘發(fā)次諧分岔。

將圖13的次諧分岔閥值投影到平面，得到隨阻尼p變化的次諧分岔閥值，如圖20所示。從圖20中可以看出，隨著阻尼的減小，次諧解區(qū)域增大，這表明減小阻尼更容易誘發(fā)次諧分岔。

接下來選取系統(tǒng)的一組參數(shù)m=1，ω=1，，根據(jù)命題3來分析次諧解的穩(wěn)定性。從圖21中可以看到，有兩個簡單解，這里，也就是說系統(tǒng)（7）有兩對次諧解。顯然是系統(tǒng)（7）的非穩(wěn)定次諧解；是系統(tǒng)（7）的穩(wěn)定次諧解。

接下來，取，分別給出和的次諧閾值面以及混沌閾值面，如圖22所示。從圖22中可以看出，隨著的增大，次諧閾值面不斷接近混沌閾值面。給定初值（1，-0.1），上、下間隙分別取為-1.1，1，在次諧閾值面和混沌閾值面之間取點A（4.6，4.6，5.75），B（4.6，4.6，5.79）和C（4.6，4.6，5.815），并在混沌閥值面的上面取點D（4.6，4.6，6.2），得到如圖23所示的次諧解和混沌。從圖23中可以看出，隨著參數(shù)激勵振幅的增大，系統(tǒng)逐漸由周期解倍化導向混沌，數(shù)值結果間接驗證了式（70）的正確性。

5 結" 論

本文研究了雙側非對稱剛性約束下附加斜彈簧支撐的懸臂梁碰撞系統(tǒng)的混沌和次諧分岔。確立了碰撞系統(tǒng)發(fā)生同宿混沌和次諧分岔的條件。討論了阻尼、激勵頻率、激勵幅值以及碰撞恢復系數(shù)對混沌和次諧分岔的影響。結果表明：減小阻尼、增大碰撞恢復系數(shù)、增大激勵頻率和振幅更容易誘發(fā)混沌和次諧分岔。而且近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)的混沌和次諧分岔分析結果具有較好的一致性，說明近似系統(tǒng)用于分析懸臂梁碰撞系統(tǒng)的混沌和次諧分岔是有效的。此外，給出了碰撞次諧軌道的穩(wěn)定性條件，并揭示了次諧分岔通向混沌的路徑。

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Global dynamics for an impacting system of cantilever beam supported by oblique springs

ZHANG Yi?feng XU Hui?dong ZHANG Jian?wen

（1. College of Mathematics， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China； 2. College of Mechanical and Vehicle Engineering， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China）

Abstract： In this paper， the global dynamics of chaos and subharmonic bifurcation of an impacting system of cantilever beam supported by oblique springs under bilateral asymmetric rigid constraints are studied. It is difficult to study analytically the chaos and subharmonic bifurcation of the system because the stiffness term of the oblique spring support structure is a transcendental function. To do this， the stiffness term of the system is fitted by the approximation method， and the homoclinic orbit and its internal orbits of the approximate system are compared with the orbits of the original system. The threshold conditions for homoclinic chaos and subharmonic bifurcation are presented by applying the Melnikov method to the non-smooth impacting cantilever beam system. Moreover， the stability of the impacting subharmonic orbit is analyzed by combining characteristic multipliers of smooth manifolds with impact function， and the relationship between subharmonic bifurcation and chaos is analyzed. The effects of damping， excitation frequency， excitation amplitude and impact coefficient of restitution on chaos and subharmonic bifurcation are studied based on threshold conditions， which further verify the theoretical analysis.

Key words： nonlinear vibration； cantilever beam with impact； homoclinic chaos； subharmonic bifurcation； Melnikov method

作者簡介： 張繹灃（1999―），男，碩士研究生。E?mail：zyfzyf0119@163.com。

通訊作者： 徐慧東（1978―），男，博士，副教授。E?mail：xhd0931@126.com。