基于變冪次對數(shù)趨近律的振動基機械臂快速魯棒控制

摘要： 針對一類安裝基座存在不確定隨機振動的機械臂系統(tǒng)，提出了一種基于變冪次對數(shù)趨近律的快速魯棒控制策略?；贓uler?Lagrange方程建立了系統(tǒng)的不確定動力學(xué)模型，并將模型中的基座振動項提取出來看作機械臂所受的不確定外部擾動力。提出了一種全新的變冪次對數(shù)函數(shù)趨近律，既能實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在遠離滑模面時的快速趨近，又能保證在接近滑模面后的抖振能夠被有效抑制。在此基礎(chǔ)之上，結(jié)合一種快速終端滑模面設(shè)計了系統(tǒng)的快速魯棒控制器，進一步提高了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了所設(shè)計控制器的有限時間收斂特性。搭建了實驗平臺，通過實驗進一步驗證所設(shè)計控制器的有效性。

關(guān)鍵詞： 振動基機械臂；"滑?？刂?；"有限時間控制；"趨近律

中圖分類號： TP241；"TB535 """文獻標(biāo)志碼： A """文章編號： 1004-4523（2024）08-1290-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.08.003

引""言

振動基機械臂是一類安裝基座存在不確定隨機振動的機械系統(tǒng)^［1］。許多機械臂可歸為這一范疇，如坦克彈藥傳輸機械臂，其安裝基座，即車體，在坦克行進中會受不平路面激勵產(chǎn)生劇烈振動^［2］。此類機械臂還包括太空漂浮機械臂、船舶起重機械臂、水下作業(yè)機械臂等^［3?5］。安裝基座的不確定隨機振動給機械臂本體帶來了強烈的非線性擾動影響，進而給其控制帶來很大的挑戰(zhàn)。如何抑制基座振動的影響，實現(xiàn)機械臂本體的快速、魯棒控制，是振動基機械臂領(lǐng)域的研究熱點和難點。

振動基機械臂的魯棒控制已經(jīng)吸引了許多學(xué)者的研究。如Toda^［6］針對海洋平臺作業(yè)機械臂，提出了一種基于H_∞控制和PD控制的魯棒跟蹤控制策略。褚明等^［7］基于粒子群優(yōu)化算法，實現(xiàn)了太空漂浮機械臂的魯棒鎮(zhèn)定控制。婁軍強等^［8］針對空間柔性基座機械臂，提出一種基于模糊自適應(yīng)的控制器。此外，滑?？刂谱鳛橐环N強魯棒控制策略，因?qū)Ρ豢貙ο竽Ｐ鸵蕾嚫?，也被廣泛應(yīng)用于振動基機械臂控制領(lǐng)域。如孫友剛等^［9］針對海上浮式起重機械臂在風(fēng)浪干擾下的位置跟蹤問題，提出了一種二階滑模軌跡跟蹤控制器。Guayasamín等^［10］基于Lyapunov理論和滑?？刂疲瑢崿F(xiàn)了無人機機械臂的魯棒軌跡跟蹤控制。萬凱歌等^［11］結(jié)合擴展?fàn)顟B(tài)觀測器與滑?？刂?，實現(xiàn)了三自由度空間機械臂軌跡跟蹤控制。但是上述研究并未考慮振動基機械臂的快速控制問題，系統(tǒng)狀態(tài)只能無限趨近平衡點，無法實現(xiàn)有限時間快速收斂。

振動基機械臂的快速控制尚未引起足夠的關(guān)注。而各類振動基機械臂在實際作業(yè)時均需實現(xiàn)快速響應(yīng)，如坦克彈藥傳輸機械臂，其裝填速度直接決定火炮射速的高低。終端滑?？刂仆ㄟ^對滑模面再設(shè)計，可實現(xiàn)振動基機械臂的快速控制。如張建宇等^［12］采用非奇異終端滑?？刂疲瑢崿F(xiàn)了空間機械臂軌跡跟蹤誤差的快速收斂。姚來鵬等^［13］基于固定時間干擾觀測器和終端滑模控制，實現(xiàn)了坦克彈藥傳輸機械臂的快速魯棒控制。但是，上述滑模控制僅考慮了系統(tǒng)狀態(tài)在滑動階段的快速收斂，而通過對趨近律再設(shè)計，可進一步實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在到達階段的快速收斂。如Mozayan等^［14］通過在冪次趨近律中添加變增益項，在一定程度上提高了系統(tǒng)狀態(tài)在到達階段的收斂速度。李慧潔等^［15］設(shè)計了一種雙冪次趨近律的滑模控制方法，同樣實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的快速收斂。此外，Li等^［16］針對二階非線性系統(tǒng)，還提出了一種不受系統(tǒng)初始狀態(tài)影響的復(fù)合快速趨近律。但是，上述趨近律受滑模抖振問題影響，對收斂速度的提升較為有限。

1 模型描述

2 控制設(shè)計

2.1 快速終端滑模面

2.2 變冪次對數(shù)趨近律

滑模控制中，系統(tǒng)狀態(tài)在到達滑模面前（即趨近運動）的收斂性質(zhì)由趨近律類型決定。如前文所述，傳統(tǒng)快速趨近律如同指數(shù)趨近律、冪次趨近律等無法調(diào)和趨近速度和抖振抑制性能二者之間的矛盾。為此，本文提出了一種全新的變冪次對數(shù)函數(shù)趨近律，該趨近律借助了對數(shù)函數(shù)在原點附近曲線更加平緩、遠離定點時曲線更加陡峭的特點，并在此基礎(chǔ)上增加了一個變冪次項，該部分使系統(tǒng)狀態(tài)變量在遠離滑模面時快速趨近，在接近滑模面時降低趨近速度。同時實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)對滑模面的快速趨近和滑模抖振的有效抑制，使控制器具有更快的收斂速度和更好的抖振抑制性能。該趨近律表示為：

2.3 控制器設(shè)計

本文基于計算力矩法來設(shè)計振動基機械臂系統(tǒng)控制器。首先采用計算力矩法將耦合的二連桿機械臂系統(tǒng)解耦為二自由度的線性誤差系統(tǒng)，然后，分別以誤差系統(tǒng)的兩個自由度分量為對象，采用滑模面（6）和本文所提出的趨近律（17）進行控制器設(shè)計。

3 實驗分析

3.1 實驗平臺

為了驗證所設(shè)計控制器的有效性，搭建了如圖3所示的垂直振動基座?二連桿機械臂系統(tǒng)實驗平臺。該平臺的機械部分主要由機械臂桿1、機械臂桿2和振動基座系統(tǒng)組成。其中，兩個機械臂桿分別由各自的直流電機和減速器系統(tǒng)驅(qū)動，機械臂間和機械臂與基座間的連接結(jié)構(gòu)均為轉(zhuǎn)動鉸連接。機械臂電機選用瑞士Maxon公司的EC45型無刷直流電機（帶霍爾傳感器），其減速器為同公司的GP52C 型行星齒輪減速器，每個電機還配套了一個光電編碼器（HEDL5540型）和一個數(shù)字控制器（070/10 型"EPOS2）。

機械臂驅(qū)動系統(tǒng)的控制回路為主從式結(jié)構(gòu)，如圖4所示。上位機（PC）采用USB轉(zhuǎn)CAN的通訊協(xié)議，通過位置控制器、編碼器與兩電機進行數(shù)據(jù)交換。

基座系統(tǒng)通過電機驅(qū)動曲柄搖桿機構(gòu)來實現(xiàn)其在垂直方向的振動。電機選用盛達機械的DS?400.110/S555S型直流減速電機，該電機最高轉(zhuǎn)動頻率為2 Hz。在本實驗中，基座垂直振動位移通過激光位移傳感器測量，位移隨時間的變化曲線如圖5所示。

實驗物理樣機的控制框架，是基于驅(qū)動系統(tǒng)自帶的三環(huán)控制回路（電流環(huán)?速度環(huán)?位置環(huán)）進行的開發(fā)，其具體原理如圖6所示。其中，電流環(huán)仍采用原有的PI控制策略，其控制參數(shù)由系統(tǒng)自整定產(chǎn)生。速度?位置環(huán)采用本文所提出的基于變冪次對數(shù)趨近律的滑?？刂撇呗?。電流環(huán)與速度?位置環(huán)之間通過電機轉(zhuǎn)矩常數(shù)連接。此外，控制程序是基于LabVIEW環(huán)境編譯的。

最后，基于上述實驗平臺開展了實驗研究。本研究共完成了三組實驗，如表1所示。在組一中，并未考慮基座振動。此組實驗的目的是初步比較，凸顯本文所設(shè)計控制器相較傳統(tǒng)滑?？刂破鞯膬?yōu)勢。故選取了如下式所示的傳統(tǒng)滑?？刂谱鳛閷φ眨?/p>

在此組實驗中，還發(fā)現(xiàn)并解決了復(fù)雜滑?？刂瞥绦虻捻憫?yīng)延時問題。在組二中，驗證了所設(shè)計控制器對于基座振動帶來不確定擾動的魯棒性。同樣，該組也進行了傳統(tǒng)滑?？刂破鞯膶φ諏嶒灐Ｔ诮M三中，進一步驗證了所設(shè)計控制器對于基座振動及負(fù)載不確定的魯棒性。負(fù)載不確定通過在機械臂桿2上添加質(zhì)量塊來實現(xiàn)。

3.2 實驗結(jié)果與分析

組一的機械臂響應(yīng)結(jié)果如圖7所示，其中圖7（a），（b）為機械臂1與機械臂2的角位移跟蹤曲線，圖7（c），（d）為兩個機械臂的角速度曲線，圖7（e），（f）為兩個機械臂的電流曲線，圖7（g），（h）為兩個機械臂的角位移跟蹤誤差曲線。實驗過程中快速魯棒控制器對系統(tǒng)的控制出現(xiàn)了響應(yīng)延時現(xiàn)象。如圖7 （a）和（b）所示，控制程序在啟動時存在2.52 s的響應(yīng)延時，不符合實驗預(yù)期。經(jīng)過分析排查，是由于控制程序中的冪次運算延長了LabVIEW程序的響應(yīng)時間。為了解決該問題，在原有控制程序基礎(chǔ)上做出了改進，將LabVIEW所提供的冪函數(shù)模塊替代控制程序中部分冪函數(shù)計算，有效消除了控制程序的啟動延時。

由圖7（a），（b）可知，本文所設(shè)計的快速魯棒控制器具有良好的軌跡跟蹤控制效果。機械臂1和機械臂2分別經(jīng)過1.285和1.179 s實現(xiàn)了有效軌跡跟蹤，根據(jù)圖7（g），（h）所示的跟蹤誤差，兩個機械臂的軌跡跟蹤誤差都在0.01 rad以內(nèi)，跟蹤效果良好。而普通滑?？刂破骺刂频臋C械臂在趨近期望軌跡時趨近速度明顯降低，跟蹤軌跡與期望軌跡存在最大0.124 rad的穩(wěn)態(tài)誤差。根據(jù)圖7（c），（d）"，（e）"，（f）顯示，快速魯棒控制器對機械臂關(guān)節(jié)角速度控制和電流響應(yīng)跟蹤的穩(wěn)定性較好，機械臂未出現(xiàn)強烈抖振，軌跡跟蹤過程平穩(wěn)。

組二的機械臂響應(yīng)結(jié)果如圖8所示，其中圖8（a），（b）為機械臂1與機械臂2的角位移跟蹤曲線，圖8（c），（d）為兩個機械臂的角速度曲線，圖8（e），（f）為兩個機械臂的電流曲線。由圖8（a），（b）可知，在增加垂直振動干擾后，機械臂依然可實現(xiàn)有效的軌跡跟蹤，通過速度與電流曲線可知軌跡跟蹤的穩(wěn)定性表現(xiàn)良好，軌跡跟蹤過程平穩(wěn)。而普通滑?？刂破鞯目刂菩Ч芑駝佑绊?，機械臂1的跟蹤軌跡在8.961和21.610 s出現(xiàn)了偏移期望軌跡的現(xiàn)象，整體軌跡跟蹤出現(xiàn)多處抖振。機械臂2跟蹤軌跡也出現(xiàn)了多處不同幅度的振蕩。通過普通滑?？刂破鞯乃俣惹€和電流曲線可以看出，普通滑?？刂破鞯乃俣雀櫯c電流跟蹤均產(chǎn)生了較大幅度的抖振，無法實現(xiàn)平穩(wěn)的軌跡跟蹤。

組三的機械臂響應(yīng)結(jié)果如圖9所示，其中圖9（a），（b）為機械臂1與機械臂2的角位移跟蹤曲線，圖9（c），（d）為兩個機械臂的角速度曲線，圖9（e），（f）為兩個機械臂的電流曲線。在添加負(fù)載后，由圖9（a），（b）顯示的角位移軌跡跟蹤結(jié)果可知，快速魯棒控制器控制的機械臂1在1.466 s實現(xiàn)了有效軌跡跟蹤，機械臂2在1.302 s實現(xiàn)了有效軌跡跟蹤。兩個機械臂的有效跟蹤時間分別增加了0.181和0.123 s，但是跟蹤速度和跟蹤電流依然表現(xiàn)出較為平穩(wěn)的效果，這表明了該控制器對于外界負(fù)載擾動具有良好的魯棒性。同時，三組試驗結(jié)果均顯示機械臂1實現(xiàn)有效跟蹤的時間要略高于機械臂2，推測為實驗過程中兩個機械臂實際負(fù)載不同的原因。由于實驗臺結(jié)構(gòu)關(guān)系，機械臂1需要承載機械臂2與其驅(qū)動電機的質(zhì)量，而機械臂2無需承載系統(tǒng)質(zhì)量，因此實驗中機械臂1的實際負(fù)載大于機械臂2，導(dǎo)致機械臂1的有效軌跡跟蹤時間略長。

4 結(jié)""論

（1）本文所設(shè)計的控制器具有較好的有限時間快速收斂特性。分別基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和實驗研究驗證了該控制器的這一特性。

（2）本文所設(shè)計的控制器具有較強的魯棒性。在基座垂直振動激勵影響下，其仍可以實現(xiàn)機械臂系統(tǒng)的精確平穩(wěn)軌跡跟蹤。

（3）"本文所設(shè)計的控制器在考慮負(fù)載不確定情況下，也能實現(xiàn)振動基礎(chǔ)機械臂的有效軌跡跟蹤控制，響應(yīng)時間相較無負(fù)載情況略有增加，但是軌跡跟蹤效果保持良好。

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Fast robust control of oscillatory base manipulators based on variable power log-reaching law

CHEN Hao GUO Yu-fei XU Sheng-yue WANG Zhi-gang HAO Zhi-qiang

（1. Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Control Technology of Ministry of Education，Wuhan University of Science and Technology，"Wuhan 430081，"China；"2. Institute of Robotics and Intelligent Systems，Wuhan University of Science and Technology，"Wuhan 430081，"China）

Abstract： A fast robust control strategy based on variable power log-reaching law is proposed for a class of manipulator systems with uncertain random oscillations in the mounting base. The uncertain dynamic model of the system is established based on Euler-Lagrange equation，"and the oscillation term of the base in the model is regarded as the uncertain external disturbance force of the manipulator system. A new approach law of variable power logarithm function is proposed，"which can realize the rapid approach of the system state far away from the sliding mode surface，"and ensure the effective chattering suppression after approaching the sliding mode surface. On this basis，"combined with a fast terminal sliding surface，"a fast robust controller is designed，"which can further improve the state convergence rate of the system. The finite-time convergence of the controller is proved based on Lyapunov stability theory. An experimental platform is built to further verify the effectiveness of the controller.

Key words： oscillatory base manipulator；"sliding mode control；"finite time control；"reaching law

作者簡介： 諶""豪（1998—），男，碩士研究生。"E-mail：huatchenhao@163.com。

通訊作者： 郭宇飛（1985—），男，博士，副教授。"E-mail：guoyufei_1985@163.com。