基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)研究

摘要： 應(yīng)用于移動載體上的磁懸浮轉(zhuǎn)子會受到基礎(chǔ)運(yùn)動的激勵(lì)作用產(chǎn)生振動，甚至?xí)斐赊D(zhuǎn)、定子碰摩與系統(tǒng)失穩(wěn)。為了探究基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)，進(jìn)行了數(shù)值仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證。考慮磁懸浮軸承的閉環(huán)控制，建立了基礎(chǔ)激勵(lì)下的磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，基礎(chǔ)激勵(lì)對轉(zhuǎn)子的作用以附加廣義力形式引入轉(zhuǎn)子運(yùn)動微分方程。通過數(shù)值仿真分析了基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)幅值和頻率、基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)加速度與脈寬、磁懸浮軸承控制參數(shù)對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響。進(jìn)行了基礎(chǔ)激勵(lì)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果吻合，驗(yàn)證了基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子模型的準(zhǔn)確性。結(jié)果表明，轉(zhuǎn)子簡諧響應(yīng)幅值與基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)頻率的平方和激勵(lì)幅值成正比，轉(zhuǎn)子沖擊響應(yīng)峰值與基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)的加速度成正比，適當(dāng)增大磁懸浮軸承控制器的比例系數(shù)和微分系數(shù)可以抑制基礎(chǔ)激勵(lì)引起的轉(zhuǎn)子振動。

關(guān)鍵詞： 磁懸浮轉(zhuǎn)子；"基礎(chǔ)激勵(lì)；"振動響應(yīng)；"試驗(yàn)研究

中圖分類號： O347.6；"TH133.3 """"文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A """文章編號： 1004-4523（2024）08-1281-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.08.002

引""言

主動磁懸浮軸承由于無摩擦、轉(zhuǎn)速高、可主動控制等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)中得到了越來越多的應(yīng)用。當(dāng)磁懸浮軸承應(yīng)用于車用飛輪^［1］、衛(wèi)星/空間站設(shè)備^［2］、船用推進(jìn)器^［3］、多電航空發(fā)動機(jī)^［4］中時(shí)，不可避免地會受到移動載體帶來的基礎(chǔ)運(yùn)動激勵(lì)。磁懸浮軸承相較于傳統(tǒng)機(jī)械軸承剛度和承載力較低，當(dāng)基礎(chǔ)運(yùn)動較為激烈時(shí)，會使轉(zhuǎn)子與磁懸浮軸承定子或保護(hù)軸承發(fā)生碰摩，引發(fā)失穩(wěn)，所以有必要對基礎(chǔ)激勵(lì)下的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測。

對于基礎(chǔ)運(yùn)動下滾動和滑動軸承等傳統(tǒng)機(jī)械軸承支承轉(zhuǎn)子的建模和動力學(xué)分析，已經(jīng)有了很多研究，可以為磁懸浮轉(zhuǎn)子提供一些參考。Dechemin等^［5］和Driot等^［6］通過Rayleigh?Ritz法研究了一個(gè)簡單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動激勵(lì)時(shí)的穩(wěn)定性和軸心軌跡。Dakel等^［7］通過穩(wěn)定性圖、坎貝爾圖、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和軸心軌跡分析了轉(zhuǎn)子受到基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動、平動和不平衡力共同作用時(shí)的動力學(xué)行為。Han等^［8］分析了柔性轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)在基礎(chǔ)周期角運(yùn)動下的參數(shù)不穩(wěn)定問題，討論了轉(zhuǎn)速、基礎(chǔ)運(yùn)動幅值等參數(shù)對不穩(wěn)定區(qū)域的影響。Chen等^［9］以航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象對飛機(jī)做俯仰、滾轉(zhuǎn)、偏航等動作時(shí)產(chǎn)生的基礎(chǔ)激勵(lì)進(jìn)行建模并作為附加剛度、阻尼矩陣引入轉(zhuǎn)子模型中進(jìn)行分析，結(jié)果表明不同機(jī)動飛行對轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性、臨界轉(zhuǎn)速、振幅大小都會產(chǎn)生影響。

對于磁懸浮軸承支承的轉(zhuǎn)子，Zhang^［10］建立了考慮基礎(chǔ)垂向運(yùn)動的五自由度剛性轉(zhuǎn)子耦合模型，但是沒有進(jìn)一步分析基礎(chǔ)運(yùn)動對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響。Xu等^［11］基于雙框架系統(tǒng)模型，開發(fā)了一種同時(shí)考慮基礎(chǔ)平動和轉(zhuǎn)動的磁懸浮剛性轉(zhuǎn)子模型，并仿真分析了激勵(lì)幅值和脈沖寬度對轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響，但是沒有進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。Kasarda等^［12］設(shè)計(jì)了一個(gè)安裝在振動臺上的單自由度磁懸浮軸承，研究不同頻率和幅值的基礎(chǔ)正弦激勵(lì)下磁懸浮軸承的支承能力和系統(tǒng)固有頻率，測試結(jié)果表明基礎(chǔ)正弦激勵(lì)下磁懸浮軸承的剛度、阻尼水平限制了其工作性能。Das等^［13?14］為了抑制滾動軸承支承的車載柔性轉(zhuǎn)子受基礎(chǔ)運(yùn)動引起的橫向振動，將一個(gè)類似磁懸浮軸承的電磁作動器安裝在轉(zhuǎn)子中間的適當(dāng)位置，在建模時(shí)將電磁力作為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)外部附加廣義力考慮，數(shù)值模擬表明磁懸浮軸承有效降低了轉(zhuǎn)子振動并提高了穩(wěn)定性。祝長生^［15］通過試驗(yàn)探究了簡諧激勵(lì)對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，結(jié)果表明磁懸浮軸承控制器的設(shè)計(jì)需要考慮基礎(chǔ)激勵(lì)的影響。楊紅進(jìn)等^［16］通過ADAMS和MATLAB的聯(lián)合仿真分析了基礎(chǔ)加速、減速、轉(zhuǎn)彎、爬坡，以及由于路面不平引起的基礎(chǔ)縱向、橫向、俯仰運(yùn)動對高速磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。吳妙妮等^［17］建立了基礎(chǔ)運(yùn)動下磁懸浮轉(zhuǎn)子安裝在移動載體的任意位置和任意軸向方向的動力學(xué)模型，飛機(jī)做爬升、俯沖、盤旋、橫滾等運(yùn)動時(shí)，安裝位置只會影響轉(zhuǎn)子受到附加外力的大小，而軸向方向還會影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身的剛度、阻尼矩陣。張鵬等^［18］建立了機(jī)動飛行條件下磁懸浮軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，利用廣義根軌跡法分析了機(jī)動參數(shù)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。結(jié)果表明，采用PID控制的磁懸浮轉(zhuǎn)子可以通過調(diào)節(jié)電流來消除穩(wěn)態(tài)機(jī)動載荷的影響。

盡管上述文獻(xiàn)已經(jīng)分析了基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的建模方法和動力學(xué)響應(yīng)，但鮮有通過基礎(chǔ)激勵(lì)試驗(yàn)進(jìn)行模型驗(yàn)證的相關(guān)工作。此外，對于基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)以及磁懸浮軸承控制參數(shù)對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響規(guī)律討論較少。

本文建立了基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的模型，進(jìn)行了基礎(chǔ)簡諧和沖擊激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)數(shù)值仿真，并將試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了磁懸浮轉(zhuǎn)子模型的準(zhǔn)確性，探究了基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)的頻率和幅值、基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)的加速度和脈寬、磁懸浮軸承控制參數(shù)對磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子建模

1.1 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)臺

磁懸浮軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)臺如圖1所示，試驗(yàn)臺主要由磁懸浮軸承、轉(zhuǎn)子、電機(jī)、電渦流位移傳感器、保護(hù)軸承和基座等組成。轉(zhuǎn)子重2.4 kg，由兩端的徑向和軸向磁懸浮軸承實(shí)現(xiàn)五自由度懸浮，由布置在轉(zhuǎn)子中間的感應(yīng)電機(jī)驅(qū)動轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，使用電渦流位移傳感器實(shí)時(shí)檢測轉(zhuǎn)子的位置，轉(zhuǎn)子兩側(cè)裝有保護(hù)軸承，用于防止轉(zhuǎn)子失穩(wěn)跌落時(shí)與磁懸浮軸承發(fā)生碰摩。磁懸浮軸承定子與基礎(chǔ)固連，使用振動臺對基礎(chǔ)施加激勵(lì)。

磁懸浮軸承的工作原理是：電渦流位移傳感器檢測轉(zhuǎn)子的位移，并將位移信號以電壓信號形式輸入控制器，控制器經(jīng)過計(jì)算得到控制信號，以控制電壓形式傳遞給功率放大器，功率放大器將控制電壓轉(zhuǎn)化成線圈控制電流，由磁懸浮軸承線圈生成可控電磁力，使轉(zhuǎn)子懸浮在磁懸浮軸承中心。試驗(yàn)臺中磁懸浮軸承為八磁極C型結(jié)構(gòu)，傾斜45°布置，以提高磁懸浮軸承的承載能力，充分發(fā)揮磁懸浮軸承的性能。試驗(yàn)臺中使用的徑向磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

22.5

1.2 基礎(chǔ)激勵(lì)下的磁懸浮轉(zhuǎn)子模型

由于轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)低于彎曲臨界轉(zhuǎn)速，可以把轉(zhuǎn)子視為剛體進(jìn)行建模。磁懸浮軸承的電磁力具備剛度阻尼的特性，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可以等效為一個(gè)質(zhì)量?剛度?阻尼系統(tǒng)，如圖2所示。此時(shí)運(yùn)動微分方程可以寫為：

該式表明在基礎(chǔ)平動激勵(lì)下，轉(zhuǎn)子相對于基礎(chǔ)的運(yùn)動可以等效成一個(gè)單自由度由質(zhì)量?剛度?阻尼組成的強(qiáng)迫振動系統(tǒng)，而強(qiáng)迫振動激勵(lì)取決于基礎(chǔ)振動加速度，等效后模型如圖3所示。

同時(shí)需要注意的是，當(dāng)基礎(chǔ)垂向振動時(shí)，產(chǎn)生的等效力由磁懸浮軸承w，v方向的兩對電磁鐵共同承擔(dān)，磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

式中""轉(zhuǎn)子質(zhì)心廣義坐標(biāo)q_c=［w v α"β］^T，w和v分別為轉(zhuǎn)子質(zhì)心平動的位移，α和β分別是轉(zhuǎn)子繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角度；Ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；M為質(zhì)量矩陣；G為轉(zhuǎn)子陀螺力矩矩陣；F_u為轉(zhuǎn)子受到的不平衡力；F_b為基礎(chǔ)激勵(lì)對轉(zhuǎn)子的附加廣義力；F_amb為磁懸浮軸承對轉(zhuǎn)子的電磁力；B為電磁力轉(zhuǎn)換矩陣。各矩陣如下所示：

當(dāng)帶寬足夠時(shí)，功率放大器和位移傳感器環(huán)節(jié)可以簡化為比例增益k_a和k_s，那么當(dāng)磁懸浮軸承控制器采用PID控制時(shí)，控制電流可以表示為：

選取左磁懸浮軸承w方向進(jìn)行仿真和試驗(yàn)研究，同時(shí)，不平衡力與基礎(chǔ)激勵(lì)是線性疊加的，所以在接下來的仿真和試驗(yàn)中，轉(zhuǎn)子只靜態(tài)懸浮而不旋轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)和磁懸浮軸承控制系統(tǒng)參數(shù)如表2和3所示。

2 基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)仿真研究

2.1 基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)

設(shè)基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)的形式為u=Asin（ωt+φ），其中A為激勵(lì)幅值，ω為激勵(lì)頻率，φ為初始相位。對應(yīng)的等效基礎(chǔ)外力為-mAω²sin（ωt+φ），由此可知影響轉(zhuǎn)子振動位移響應(yīng)的基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)參數(shù)主要有兩個(gè)，分別為激勵(lì)幅值A與激勵(lì)頻率ω。

圖6為固定基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)頻率為10 Hz，激勵(lì)幅值分別為1，2，3 mm時(shí)的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)，仿真時(shí)間為1 s。從圖6中可以看出，基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)下，磁懸浮轉(zhuǎn)子振動位移呈現(xiàn)良好的正弦性，同時(shí)間接說明等效外力推導(dǎo)的正確性，從轉(zhuǎn)子振動位移幅值可以看出，轉(zhuǎn)子振動隨著基礎(chǔ)激勵(lì)振動幅值的增大而增大，近似呈線性增加關(guān)系，這是由于基礎(chǔ)等效外力與激勵(lì)幅值呈線性關(guān)系，同時(shí)磁懸浮軸承工作在線性區(qū)，轉(zhuǎn)子振動幅值也近似呈線性關(guān)系。

圖7為固定基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)幅值為2 mm，激勵(lì)頻率分別為5，10，15 Hz時(shí)的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)。從圖7中可以看出，磁懸浮轉(zhuǎn)子振動幅值隨著基礎(chǔ)激勵(lì)頻率的增加而增加，但不呈線性關(guān)系。從等效力公式中也可以看出，基礎(chǔ)激勵(lì)頻率ω線性增大，等效外力呈二次方增加，振動位移響應(yīng)也近似呈二次關(guān)系。

磁懸浮軸承具有主動可控的優(yōu)點(diǎn)，可以進(jìn)行剛度和阻尼的主動調(diào)節(jié)。對于PID控制的磁懸浮軸承來說，可以調(diào)節(jié)的控制參數(shù)有比例、積分、微分系數(shù)，其中，積分環(huán)節(jié)用來消除懸浮穩(wěn)態(tài)誤差，主要作用于靜態(tài)載荷，對于基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的影響不大；比例系數(shù)k_P主要影響磁懸浮軸承的剛度；微分系數(shù)k_D主要影響磁懸浮軸承的阻尼。接下來分析比例系數(shù)和微分系數(shù)的改變對基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響，需要注意的是，比例和微分系數(shù)通常需要一起調(diào)節(jié)以滿足系統(tǒng)性能和穩(wěn)定性的要求，文中單獨(dú)調(diào)節(jié)某一參數(shù)只是為了探究影響規(guī)律?；A(chǔ)簡諧激勵(lì)設(shè)置為頻率10 Hz，幅值2 mm。

圖8為比例系數(shù)分別為1.8，2.2和2.6時(shí)的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)對比。從圖中可以看出，隨著k_P的增大，轉(zhuǎn)子振動幅值逐漸減小，這是因?yàn)樵龃?em>k_P可以提高磁懸浮軸承的剛度，有效抑制基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)引起的轉(zhuǎn)子振動。

圖9為微分系數(shù)分別為0.0008，0.0015和0.002時(shí)的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)對比。從圖中可以看出，對于10 Hz的基礎(chǔ)激勵(lì)，k_D的變化對磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)幾乎沒有影響。這是因?yàn)榭刂破魑⒎汁h(huán)節(jié)的作用是根據(jù)轉(zhuǎn)子實(shí)際位置與設(shè)定位置之間誤差的變化率控制輸出，在基礎(chǔ)激勵(lì)頻率比較低時(shí)，微分環(huán)節(jié)產(chǎn)生的作用遠(yuǎn)小于比例環(huán)節(jié)的作用，所以改變磁懸浮軸承微分系數(shù)對轉(zhuǎn)子振動的影響很小。為了分析簡諧激勵(lì)頻率達(dá)到多少時(shí)可以通過增加微分系數(shù)抑制轉(zhuǎn)子振動，在仿真模型中施加固定加速度1g、頻率為1～200 Hz的掃頻信號，微分系數(shù)分別為0.0015和0.002時(shí)磁懸浮轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)如圖10所示，激勵(lì)頻率高于50 Hz時(shí)，增大微分系數(shù)對減小轉(zhuǎn)子振動的效果明顯。

綜上所述，對于頻率較低的基礎(chǔ)激勵(lì)，可以通過適當(dāng)增大比例系數(shù)k_P的方法進(jìn)行振動抑制。

2.2 基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)

磁懸浮轉(zhuǎn)子受到的基礎(chǔ)沖擊是持續(xù)一段時(shí)間的瞬時(shí)激勵(lì)，常用半正弦沖擊進(jìn)行表征，基礎(chǔ)半正弦沖擊激勵(lì)的形式為：

式中""A為沖擊加速度幅值，通常用重力加速度g進(jìn)行衡量；T為基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)的脈寬；t₀為沖擊的起始時(shí)間。

圖11為固定沖擊加速度幅值為1g，沖擊脈寬分別為2，5，8和11 ms時(shí)的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)。當(dāng)沖擊加速度幅值不變時(shí)，沖擊脈寬越大意味著沖擊能量輸入越高，沖擊激勵(lì)作用越強(qiáng)，轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)隨著基礎(chǔ)沖擊脈寬的增大而增大。

圖12為沖擊脈寬為5 ms，沖擊加速度幅值分別為1g，1.5g，2g，2.5g時(shí)的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)。從圖中可以看出，當(dāng)沖擊脈寬不變時(shí)，轉(zhuǎn)子響應(yīng)振蕩周期不變，幅值隨著沖擊加速度幅值的變化而線性變化。

接下來討論磁懸浮軸承比例系數(shù)與微分系數(shù)對基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)作用下磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響。設(shè)置基礎(chǔ)半正弦沖擊激勵(lì)的加速度幅值為1.5g，脈寬為5 ms。圖13為基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下比例系數(shù)分別為1.8，2.2，2.6時(shí)的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)對比。k_P的增大可以降低轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)峰值，但是轉(zhuǎn)子振動的振蕩時(shí)間幾乎沒有變化。

圖14為基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下微分系數(shù)分別為0.0008，0.0015，0.002時(shí)的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)對比。可以看出，k_D的增大也可以降低轉(zhuǎn)子振幅，與k_P的影響不同的是，正向和反向振動位移都得到了抑制。在較低的微分系數(shù)下，磁懸浮轉(zhuǎn)子的振蕩時(shí)間較長。控制器參數(shù)中，微分系數(shù)對基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)響應(yīng)的影響更明顯，但微分系數(shù)也不能過大，否則會放大系統(tǒng)中的高頻噪聲，降低磁懸浮軸承性能。

3 基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)臺介紹

為了對基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子建模與振動響應(yīng)仿真結(jié)果的正確性進(jìn)行分析，進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。如圖15所示，試驗(yàn)使用蘇試DC?300?3電磁振動臺，由RC?2000數(shù)字式振動控制儀控制，通過兩個(gè)電荷式加速度傳感器提供控制、反饋信號，振動臺可以提供垂向的激勵(lì)，包括簡諧和沖擊形式。磁懸浮轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺固連于振動臺上，由磁懸浮軸承自帶的電渦流位移傳感器檢測轉(zhuǎn)子振動，截止頻率為3.5 kHz。轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)位移信號采集與磁懸浮軸承控制由dSPACE1202半實(shí)物仿真平臺實(shí)現(xiàn)，采樣頻率為10 kHz。

3.2 基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)

設(shè)定基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)頻率為10 Hz，激勵(lì)幅值分別為1，2，3 mm，磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)如圖16（a）所示，仿真與試驗(yàn)中轉(zhuǎn)子振幅隨激勵(lì)幅值的變化規(guī)律如圖16（b）所示?？梢钥闯?，試驗(yàn)與仿真結(jié)果吻合得很好，在數(shù)值上相近，并且試驗(yàn)中轉(zhuǎn)子振動位移變化與激勵(lì)幅值近似呈線性關(guān)系，這與理論和仿真結(jié)果也是一致的。

設(shè)定基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)幅值為1 mm，激勵(lì)頻率分別為5，10，15 Hz，磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)如圖17（a）所示。仿真與試驗(yàn)中轉(zhuǎn)子振幅與激勵(lì)頻率之間的變化規(guī)律如圖17（b）所示?？梢钥闯觯囼?yàn)同樣驗(yàn)證了數(shù)值仿真的準(zhǔn)確性，試驗(yàn)中轉(zhuǎn)子振動位移變化與激勵(lì)頻率之間近似呈二次方關(guān)系。

磁懸浮轉(zhuǎn)子受到的等效基礎(chǔ)外力為-mAω²·sin（ωt+φ），也就是說振動幅值與簡諧激勵(lì)頻率的平方成正比，與激勵(lì)幅值成正比，與基礎(chǔ)激勵(lì)加速度成正比。為了進(jìn)一步驗(yàn)證這一關(guān)系，保持磁懸浮轉(zhuǎn)子靜浮，由振動臺提供固定加速度為1g的基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)，振動頻率從8 Hz到20 Hz線性增加，試驗(yàn)結(jié)果如圖18所示，即使基礎(chǔ)激勵(lì)頻率在不斷變化，磁懸浮轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)幅值幾乎保持不變，隨著頻率的升高轉(zhuǎn)子振幅稍有增大，這是由磁懸浮軸承不同頻率的支承特性略微不同和振動臺誤差引起的。圖19為基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)幅值為1 mm，頻率從4 Hz到20 Hz線性增加時(shí)磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了轉(zhuǎn)子振幅與激勵(lì)頻率的平方成正比的關(guān)系。

3.3 基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)

設(shè)定基礎(chǔ)沖擊脈寬為5 ms，沖擊加速度幅值分別為1g，1.5g，2g和2.5g，磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)如圖20（a）所示，仿真與試驗(yàn)中轉(zhuǎn)子響應(yīng)峰值與沖擊加速度之間的變化規(guī)律如圖20（b）所示?？梢钥闯觯S著沖擊加速度幅值的增大，轉(zhuǎn)子振動最大值響應(yīng)幅值峰值也線性增加，這與仿真分析的規(guī)律是一致的，試驗(yàn)中轉(zhuǎn)子響應(yīng)峰值與仿真結(jié)果接近，最大誤差為3.33 μm，相對誤差分別為9.55%，6.12%，4.47%和1.8%，主要是由于振動臺施加沖擊激勵(lì)誤差引起的。在試驗(yàn)中，受到基礎(chǔ)沖擊后轉(zhuǎn)子的反向位移比仿真要大，這是因?yàn)檎駝优_提供的沖擊并不是一個(gè)理想的半正弦形式，為了沖擊后振動臺回歸原位，需要進(jìn)行補(bǔ)償，即沖擊結(jié)束后振動臺會產(chǎn)生一個(gè)反向激勵(lì)。

設(shè)定基礎(chǔ)沖擊加速度幅值為1g，沖擊脈寬分別為2，5，8和11 ms，磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)如圖21（a）所示，仿真與試驗(yàn)中轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)峰值與沖擊脈寬之間的變化規(guī)律如圖21（b）所示。可以看出，轉(zhuǎn)子響應(yīng)峰值隨基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)脈寬的增大而提高，但趨勢逐步平緩，這與仿真結(jié)果也是吻合的。隨著脈寬的增大，試驗(yàn)和仿真之間的相對誤差分別為18.42%，9.55%，2.18%和-0.41%，其中較大的誤差出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子振動幅值較小時(shí)，是由于此時(shí)振動臺產(chǎn)生的沖擊激勵(lì)誤差較大。

4 結(jié)""論

本文從理論建模、仿真分析、試驗(yàn)研究三方面探究了基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)變化規(guī)律，試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果吻合，驗(yàn)證了對磁懸浮轉(zhuǎn)子建模的準(zhǔn)確性。結(jié)論如下：

（1）"對于基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)，磁懸浮轉(zhuǎn)子振動幅值與基礎(chǔ)激勵(lì)幅值、頻率的平方成正比；對于基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)，磁懸浮轉(zhuǎn)子響應(yīng)峰值隨沖擊加速度幅值增加呈線性變化，隨沖擊脈寬增加而增加，但趨勢逐步平緩。

（2）"磁懸浮軸承具有可以主動控制的優(yōu)點(diǎn)，可以通過調(diào)節(jié)控制器參數(shù)或使用特定的控制算法抑制基礎(chǔ)激勵(lì)引起的轉(zhuǎn)子振動。對于采用PID控制的磁懸浮軸承，適當(dāng)增加比例系數(shù)可以提高軸承剛度以抑制轉(zhuǎn)子振幅；增加微分系數(shù)對基礎(chǔ)正弦激勵(lì)影響不大，但可以抑制基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下的轉(zhuǎn)子振幅，并減小振動振蕩時(shí)間。

本文探究了單一基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)和磁懸浮軸承控制參數(shù)對轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響，但對于影響因素之間的耦合作用、實(shí)際基礎(chǔ)激勵(lì)工況下的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)還需要進(jìn)一步研究。

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Investigation on the vibration response of the magnetically suspended rotor under base excitation

ZHANG Yue，"ZHOU Jin，"SHEN Quan，"ZHANG Yi-bo

（College of Mechanical amp; Electrical Engineering，"Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，"China）

Abstract： The magnetically suspended rotor applied to the moving carrier may be subject to the base motion excitation，"causing the rotor vibration，"and even cause friction and system instability. To explore the vibration response of the magnetically suspended rotor under the base excitation，"the numerical simulation and experimental verification are conducted. The effect of the base excitation on the rotor is introduced into the differential equation of the rotor motion in the form of an additional generalized force. Considering the closed-loop control of the magnetic bearing，"the dynamic model of the magnetically suspended rotor under base excitation is established. The influence of the excitation amplitude and frequency，"the acceleration and shock width on the vibration response of the rotor is analyzed by numerical simulation. Finally，"the base excitation experiments were conducted. The experimental results verify the accuracy of the magnetically suspended rotor model under the base excitation. The results show that the rotor vibration amplitude is proportional to the amplitude and square of frequency of the base harmonic excitation，"the rotor vibration maximum is proportional to the base shock excitation acceleration. The proportional coefficient and differential coefficient of the magnetic bearing controller can suppress the rotor vibration brought by the base excitation.

Key words： magnetically suspended rotor；"base excitation；"vibration response；"experiment study

作者簡介： 張""越（1995―），男，博士，助理研究員。E-mail："zhangyue08@nuaa.edu.cn。

通訊作者： 周""瑾（1972―），女，博士，教授。E-mail："zhj@nuaa.edu.cn。