基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下電磁軸承?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的加速度前饋振動(dòng)抑制

摘要： 旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)的擺動(dòng)會(huì)給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)帶來附加的陀螺力矩和慣性載荷，影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)及穩(wěn)定性，甚至影響轉(zhuǎn)子的正常運(yùn)行。為了有效控制電磁軸承?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)擺動(dòng)下的振動(dòng)，提出了一種基于基礎(chǔ)加速度的前饋補(bǔ)償控制方法。該方法基于柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型以及基礎(chǔ)擺動(dòng)的信息，可直接得到抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)所需的最佳補(bǔ)償電流，無需迭代和復(fù)雜的控制器結(jié)構(gòu)，因此具有較強(qiáng)的快速性和實(shí)用性。為了消除建模誤差對(duì)前饋補(bǔ)償控制性能的影響，給出了對(duì)補(bǔ)償電流進(jìn)行修正的方法。仿真分析了補(bǔ)償算法對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的抑制效果。在搭建的電磁軸承?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái)上，進(jìn)行了基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下轉(zhuǎn)子懸浮、恒速、加速運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)控制有效性試驗(yàn)。理論和試驗(yàn)結(jié)果一致，表明基礎(chǔ)擺動(dòng)產(chǎn)生的附加慣性載荷會(huì)使電磁軸承?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在垂直于擺動(dòng)方向上的振動(dòng)明顯增大，產(chǎn)生的附加陀螺力矩會(huì)使沿?cái)[動(dòng)方向的振動(dòng)有所增大，且增加的幅度隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的升高而增大。在包含一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，基礎(chǔ)加速度前饋補(bǔ)償控制對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下的轉(zhuǎn)子振動(dòng)均有顯著的抑制效果。

關(guān)鍵詞： 振動(dòng)抑制； 電磁軸承； 基礎(chǔ)擺動(dòng)； 前饋補(bǔ)償

中圖分類號(hào)： TB535； TH133.3" " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" " 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）08-1269-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.08.001

引" 言

電磁軸承（Active Magnetic Bearings， AMBs）是一種能夠?qū)D(zhuǎn)子的振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)控制的新型支承結(jié)構(gòu)，具有無摩擦、無潤滑、可高速運(yùn)行等特點(diǎn)，在地面旋轉(zhuǎn)機(jī)械中已得到了成功的應(yīng)用。與地面靜止條件不同，旋轉(zhuǎn)機(jī)械安裝在移動(dòng)載體上時(shí)，常常會(huì)受到基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的作用。與基礎(chǔ)平動(dòng)相比，基礎(chǔ)擺動(dòng)不僅會(huì)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的阻尼和剛度特性發(fā)生改變，還會(huì)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受附加的載荷，影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)及穩(wěn)定性［1?3］。過大的轉(zhuǎn)子振動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)、定子之間的碰磨，危害轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全運(yùn)行。因此，為了將AMBs應(yīng)用在基礎(chǔ)擺動(dòng)狀態(tài)下的各類旋轉(zhuǎn)機(jī)械上，就需要研究基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下AMBs的控制策略，以對(duì)AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行有效抑制。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)條件下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)已經(jīng)開展了大量研究，但大多集中于傳統(tǒng)機(jī)械軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)［4?5］。機(jī)械軸承的特性取決于初始的設(shè)計(jì)參數(shù)，無法根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)行工況進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，因此在設(shè)計(jì)之初就必須全面考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)行包線，設(shè)計(jì)出滿足轉(zhuǎn)子所有工況的支承參數(shù)，設(shè)計(jì)難度較大。此外，機(jī)械軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)抑制一般通過增大支承阻尼來實(shí)現(xiàn)，由于機(jī)械支承本身的阻尼有限，因此轉(zhuǎn)子的振動(dòng)抑制就必須依賴于外阻尼，例如擠壓油膜阻尼器等。在AMBs轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，AMBs的動(dòng)力特性不僅和自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，還與所采用的控制策略和控制參數(shù)有關(guān)。AMBs動(dòng)力特性的可控性可以很好地解決傳統(tǒng)軸承存在的動(dòng)力特性不匹配的問題?？刂破鞲鶕?jù)輸入和控制策略對(duì)AMBs的控制力進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的實(shí)時(shí)控制。

AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)抑制方法可分為兩類，一類與機(jī)械軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相同，即增大支承的阻尼，但不同的是AMBs通過合適的控制策略以及控制參數(shù)即可獲得較大的阻尼，例如文獻(xiàn)［6］的最優(yōu)阻尼算法。另一類是通過控制AMBs輸出的軸承力來動(dòng)態(tài)抑制外擾動(dòng)的影響。例如鞏磊等［7］采用自適應(yīng)陷波器濾除與轉(zhuǎn)速同頻的反饋信號(hào)，使AMBs不產(chǎn)生與不平衡激勵(lì)力同頻的軸承力，最終轉(zhuǎn)子繞自身的慣性軸旋轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的抑制。李翁衡等［8］設(shè)計(jì)自抗擾控制器對(duì)AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡振動(dòng)進(jìn)行了補(bǔ)償。

相比于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)條件下的振動(dòng)被動(dòng)控制，對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主動(dòng)控制的研究相對(duì)欠缺。Chen等［9］研究了PD控制下剛性轉(zhuǎn)子在軸向基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)條件下的響應(yīng)。Zhu等［10］進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下AMBs?剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)試驗(yàn)，試驗(yàn)中的轉(zhuǎn)子最高轉(zhuǎn)速為21000 r/min，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)PID控制器對(duì)AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)基礎(chǔ)橫向振動(dòng)的抑制能力非常有限。除了上述反饋控制外，一些學(xué)者研究了前饋控制在基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)條件下的應(yīng)用。例如Jarroux等［11］利用基礎(chǔ)加速度得到了抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)的前饋補(bǔ)償電流，但文中基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)頻率先驗(yàn)已知的假設(shè)使其不具有工程實(shí)用性。Suzuki［12］采用FIR濾波器和IIR濾波器，以基礎(chǔ)加速度為濾波器輸入，提出了一種前饋補(bǔ)償算法，在不影響主要控制性能指標(biāo)的前提下能對(duì)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)帶來的轉(zhuǎn)子振動(dòng)進(jìn)行抑制。蔣科堅(jiān)等［13］和陳潤田等［14］以基礎(chǔ)加速度作為FIR濾波器的輸入，采用LMS算法迭代濾波器的權(quán)重系數(shù)，對(duì)基礎(chǔ)平動(dòng)條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行抑制，雖然文中采用的LMS控制算法是一種不依賴于模型的迭代策略，對(duì)平穩(wěn)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)條件下的轉(zhuǎn)子振動(dòng)具有很好的抑制效果，但對(duì)于非平穩(wěn)的復(fù)雜基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)工況，控制效果有限。

基礎(chǔ)擺動(dòng)除了增大轉(zhuǎn)子振幅之外，還會(huì)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有特性發(fā)生變化，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。針對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究較為成熟，主要是基于Floquet理論。Brienda等［15］和Duchemin等［16］通過Floquet理論，發(fā)現(xiàn)當(dāng)基礎(chǔ)正弦擺動(dòng)的頻率接近基礎(chǔ)靜止時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，會(huì)引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)共振現(xiàn)象，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性急劇下降。此外，Han等［17］發(fā)現(xiàn)提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的阻尼有利于抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)共振現(xiàn)象，從而提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定裕度。由于AMB具有可控的支承阻尼，因此在基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下，AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通常具有較強(qiáng)的抵抗參數(shù)失穩(wěn)的能力。

基于以上文獻(xiàn)，尤其是文獻(xiàn)［10］，PID控制策略很難滿足基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)條件下AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)抑制需求，因此有必要采取其他控制策略，進(jìn)一步對(duì)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)帶來的轉(zhuǎn)子振動(dòng)進(jìn)行抑制。

1 基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

圖1為基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，多盤柔性轉(zhuǎn)子由兩端的電磁軸承AMB?A和AMB?B支承。假設(shè)基礎(chǔ)為剛體，為了便于描述轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)，使用3套坐標(biāo)系：

（1）坐標(biāo)系為相對(duì)于地面靜止的空間參考坐標(biāo)系，簡稱空間參照系，空間參照系是一個(gè)廣義的參照系，原點(diǎn)可位于空間的任意一點(diǎn)。

（2）坐標(biāo)系為固連于運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)的坐標(biāo)系，隨著基礎(chǔ)一同運(yùn)動(dòng)，簡稱基礎(chǔ)坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系原點(diǎn)位置與轉(zhuǎn)子靜態(tài)懸浮時(shí)AMB?A端的轉(zhuǎn)子截面軸心重合?？v軸沿轉(zhuǎn)子軸線方向由AMB?A指向AMB?B，立軸垂直基礎(chǔ)底面向上，橫軸方向符合右手定則。

（3）坐標(biāo)系為沿轉(zhuǎn)子軸線任意截面的局部固定坐標(biāo)系，坐標(biāo)系原點(diǎn)為所在截面軸心，各坐標(biāo)軸與坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸平行。轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，該坐標(biāo)系隨所在轉(zhuǎn)子截面軸心平動(dòng)，但不隨轉(zhuǎn)子所在截面轉(zhuǎn)動(dòng)。在對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行有限元離散化建模時(shí)，每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)所在截面都有一個(gè)局部固定坐標(biāo)系，因此坐標(biāo)系代表了一組坐標(biāo)系。

在空間參照系中，轉(zhuǎn)子隨基礎(chǔ)一同運(yùn)動(dòng)?；A(chǔ)在各個(gè)時(shí)刻的姿態(tài)、空間位置以及位移在空間參照系中描述；使用原點(diǎn)位置的速度和加速度代表各個(gè)時(shí)刻基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)信息，運(yùn)動(dòng)信息在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中描述，轉(zhuǎn)子基礎(chǔ)繞，及的擺動(dòng)速度為，和。忽略轉(zhuǎn)子各個(gè)位置相對(duì)于基礎(chǔ)的軸向運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子各截面軸心相對(duì)于基礎(chǔ)的徑向平動(dòng)位移和速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中描述，轉(zhuǎn)子各截面軸心相對(duì)于基礎(chǔ)的徑向平動(dòng)相當(dāng)于局部固定坐標(biāo)系相對(duì)基礎(chǔ)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)；轉(zhuǎn)子各截面軸心相對(duì)于基礎(chǔ)的徑向轉(zhuǎn)動(dòng)位移和速度在局部固定坐標(biāo)系中描述。

將轉(zhuǎn)子離散為N個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含4個(gè)自由度，以第個(gè)截面的節(jié)點(diǎn)為例，節(jié)點(diǎn)所在截面軸心沿和的平動(dòng)自由度分別為和，節(jié)點(diǎn)所在截面軸心繞和的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度分別為和。轉(zhuǎn)子軸段使用考慮截面慣性及剪切效應(yīng)的Timoshenko梁單元進(jìn)行建模，圓盤采用具有等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛性圓盤單元建模，在AMBs位置節(jié)點(diǎn)處用對(duì)應(yīng)的廣義力來等效AMBs對(duì)轉(zhuǎn)子的作用。

1.1 AMBs的力向量

1.2 基礎(chǔ)擺動(dòng)載荷向量

可見，僅有基礎(chǔ)繞橫軸方向的擺動(dòng)時(shí)，擺動(dòng)產(chǎn)生的激勵(lì)載荷不僅與轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)相關(guān)，還與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、基礎(chǔ)擺動(dòng)角速度和基礎(chǔ)擺動(dòng)角加速度有關(guān)。

同理，可得僅有基礎(chǔ)繞立軸/縱軸方向擺動(dòng)時(shí)，擺動(dòng)產(chǎn)生的激勵(lì)載荷與轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、基礎(chǔ)擺動(dòng)角速度/及角加速度/有關(guān)。

1.3 擺動(dòng)軸線與基礎(chǔ)坐標(biāo)軸不重合時(shí)的等效

基礎(chǔ)擺動(dòng)時(shí)，擺動(dòng)軸線可能在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的任意空間位置，以基礎(chǔ)坐標(biāo)系原點(diǎn)代表整個(gè)基礎(chǔ)的剛體運(yùn)動(dòng)，如果擺動(dòng)軸線位置不同，則基礎(chǔ)的速度和加速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的描述也不同。為了統(tǒng)一基礎(chǔ)擺動(dòng)軸線在不同位置時(shí)對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)參數(shù)的描述，以圖2雙盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例，建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系和轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系。

基礎(chǔ)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置與懸浮時(shí)AMB?A端的轉(zhuǎn)子端點(diǎn)軸心重合；轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系原點(diǎn)在擺動(dòng)軸線上，各坐標(biāo)軸與基礎(chǔ)靜止時(shí)基礎(chǔ)坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸平行，且只隨基礎(chǔ)平動(dòng)，不隨基礎(chǔ)擺動(dòng)。為簡化分析，假設(shè)與共面。

假設(shè)和沿方向的距離為，沿方向的距離為，則基礎(chǔ)擺動(dòng)激勵(lì)在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的描述表示為：

根據(jù)圖2和式（9），只有轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系與靜止時(shí)的基礎(chǔ)坐標(biāo)系重合時(shí)，基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中為純擺動(dòng)，否則，基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)將為平動(dòng)和擺動(dòng)的組合。因此，為簡化分析，建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)使其坐標(biāo)軸盡量與轉(zhuǎn)子擺動(dòng)軸線重合。

2 基于基礎(chǔ)加速度的前饋補(bǔ)償控制

基礎(chǔ)擺動(dòng)引起的附加載荷會(huì)增大轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)［3］，不利于轉(zhuǎn)子的安全運(yùn)行。本文為了抑制基礎(chǔ)擺動(dòng)對(duì)AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的影響，提出一種基于基礎(chǔ)加速度的前饋補(bǔ)償控制。

2.1 基于基礎(chǔ)加速度的前饋補(bǔ)償控制算法

圖3為基于基礎(chǔ)加速度前饋補(bǔ)償?shù)腁MBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)控制框圖?；诨A(chǔ)加速度前饋補(bǔ)償?shù)腁MBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要包括兩部分：一部分是基于轉(zhuǎn)子位移的主控制器反饋回路，另一部分是基于基礎(chǔ)加速度前饋控制器的前饋通路。在主控制器的作用下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)保持穩(wěn)定，并具有一定的振動(dòng)抑制能力，但由于在主控制器的設(shè)計(jì)過程中未考慮基礎(chǔ)擺動(dòng)的作用，因此對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)引起的轉(zhuǎn)子振動(dòng)，其抑制能力有限。在原有的主控制器反饋回路的基礎(chǔ)上，增加前饋通路，在前饋控制器設(shè)計(jì)過程中重點(diǎn)考慮基礎(chǔ)擺動(dòng)的影響，以對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)引起的轉(zhuǎn)子振動(dòng)進(jìn)行更有效地抑制。

假設(shè)轉(zhuǎn)子僅受到基礎(chǔ)擺動(dòng)激勵(lì)，通過加速度傳感器可以獲得基礎(chǔ)擺動(dòng)的加速度，和，通過積分可獲得對(duì)應(yīng)的角速度項(xiàng)，通過鍵相傳感器可獲得轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。根據(jù)基礎(chǔ)擺動(dòng)角加速度、角速度、轉(zhuǎn)速和結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以求得各單元由基礎(chǔ)擺動(dòng)引起的附加載荷向量，經(jīng)過組裝，即可得到式（4）中基礎(chǔ)擺動(dòng)載荷向量。

基于基礎(chǔ)加速度前饋補(bǔ)償?shù)腁MBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)控制算法原理為：在各個(gè)采樣時(shí)刻，根據(jù)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型、基礎(chǔ)加速度、基礎(chǔ)速度以及轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，求解一個(gè)補(bǔ)償電流，從而使AMBs產(chǎn)生一個(gè)補(bǔ)償力來削弱時(shí)刻基礎(chǔ)擺動(dòng)載荷向量對(duì)轉(zhuǎn)子的影響。

2.2 補(bǔ)償電流誤差的修正

由式（19）可知，前饋補(bǔ)償電流的求解不僅與基礎(chǔ)擺動(dòng)載荷向量相關(guān)，還與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型有關(guān)。由于加工、裝配及測試誤差等原因，實(shí)際轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型可能與理論模型之間存在誤差，這就導(dǎo)致理論模型求解的前饋補(bǔ)償電流與實(shí)際的最佳補(bǔ)償電流之間存在差異，進(jìn)而影響補(bǔ)償效果。為了解決這個(gè)問題，引入修正系數(shù)矩陣，令：

3 仿真分析

為了驗(yàn)證基于基礎(chǔ)加速度的前饋補(bǔ)償控制對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的抑制能力，以圖2所示的雙盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真分析，仿真中基礎(chǔ)繞橫軸方向進(jìn)行正弦擺動(dòng)。為簡化書寫，定義轉(zhuǎn)子沿（）方向的響應(yīng)為X（Y）。

3.1 轉(zhuǎn)子模型驗(yàn)證

為了使轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)理論模型更貼近實(shí)際，對(duì)轉(zhuǎn)子在自由?自由狀態(tài)下的模態(tài)進(jìn)行錘擊測試，如圖4所示；測試時(shí)轉(zhuǎn)子兩端由橡皮繩懸掛，測得的FRF擬合曲線如圖5所示。

測試及仿真得到的自由?自由狀態(tài)下轉(zhuǎn)子前3階固有頻率如表1所示。基于試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行修正，修正后轉(zhuǎn)子的前3階固有頻率與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果幾乎一致，其中第2階固有頻率誤差最大，為3.4%，證明了理論模型的精度。

3.2 臨界轉(zhuǎn)速分析

假設(shè)AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主控制器采用PID控制，當(dāng)比例參數(shù)=3500，AMBs電流和位移剛度系數(shù)分別為120 N/A和2×105 N/m時(shí)，得到基礎(chǔ)靜止條件下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前3階無阻尼臨界轉(zhuǎn)速分別為1417 r/min（剛體平動(dòng)），1992 r/min（剛體錐動(dòng)）和5185 r/min（一階彎曲），對(duì)應(yīng)的振型如圖6所示。

與基礎(chǔ)平動(dòng)不同，根據(jù)式（4），基礎(chǔ)擺動(dòng)的角速度會(huì)影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度和阻尼，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。圖7給出了基礎(chǔ)繞橫軸擺動(dòng)角速度的正弦幅值對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的影響，由于實(shí)際的基礎(chǔ)擺動(dòng)通常為低頻［12，18］，本文假設(shè)基礎(chǔ)繞橫軸擺動(dòng)角速度的正弦頻率為5 Hz。不平衡響應(yīng)曲線上峰值位置的轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)了AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。為了保證響應(yīng)幅值的量級(jí)相同，分析過程中僅考慮基礎(chǔ)擺動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度和阻尼的影響，忽略對(duì)附加載荷向量的影響。

根據(jù)圖7，當(dāng)基礎(chǔ)繞橫軸正弦擺動(dòng)角速度的正弦幅值在0～30 rad/s變化時(shí)，雖然轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速隨幅值的增加呈減小趨勢，但數(shù)值變化不大。同樣的方法容易得出基礎(chǔ)擺動(dòng)幅值恒定時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速幾乎不隨基礎(chǔ)擺動(dòng)頻率發(fā)生變化。因此，為簡化分析，本文在分析基礎(chǔ)擺動(dòng)時(shí)，忽略基礎(chǔ)擺動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度、阻尼特性的影響。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速在5185 r/min以上時(shí)即認(rèn)為是柔性轉(zhuǎn)子。

3.3 誤差修正仿真驗(yàn)證

為了對(duì)補(bǔ)償誤差的影響以及修正系數(shù)的求解方法進(jìn)行驗(yàn)證，以電流剛度誤差為例引入補(bǔ)償誤差進(jìn)行仿真。令補(bǔ)償電流計(jì)算公式（19）中AMB?A和AMB?B的電流剛度系數(shù)分別為仿真中的0.5倍和1.5倍。假定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到基礎(chǔ)繞橫軸正弦擺動(dòng)的激勵(lì)，擺動(dòng)頻率為5 Hz、加速度幅值為4.5 rad/s2，在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速3000 r/min時(shí)，對(duì)補(bǔ)償系數(shù)迭代求解，迭代過程如圖8所示。

根據(jù)圖8，最終AMB?A和AMB?B各通道的修正系數(shù)分別為0.5和1.5。結(jié)合式（19），容易驗(yàn)證誤差修正算法的正確性。令A(yù)MB?A和AMB?B的電流剛度系數(shù)分別為仿真中的0.5倍和1.5倍，得到含誤差的電流剛度系數(shù)矩陣為：

式（28）表明，各個(gè)AMB通道的修正系數(shù)等于該通道對(duì)應(yīng)的誤差倍數(shù)。對(duì)比圖8的迭代結(jié)果，證明了修正算法的正確性。

為了研究基礎(chǔ)擺動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響，分析得到基礎(chǔ)靜止和擺動(dòng)條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以20 rad/s2加速率加速時(shí)的響應(yīng)如圖9所示。

對(duì)比基礎(chǔ)靜止和基礎(chǔ)擺動(dòng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)加速響應(yīng)，可知在包括一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，基礎(chǔ)擺動(dòng)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅增加，尤其是沿垂直于擺動(dòng)軸的Y向振幅顯著增加，如在AMB?B位置，增加了約0.1 mm，尤其在1000 r/min以內(nèi)的低轉(zhuǎn)速段，轉(zhuǎn)子振幅增加了近37倍。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)沿X向振幅的增加由基礎(chǔ)擺動(dòng)角速度與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速形成的附加陀螺力矩引起，因此隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的升高，轉(zhuǎn)子沿平行于擺動(dòng)軸的X向振幅的增加量也逐漸增大。根據(jù)上述結(jié)果，為了保證轉(zhuǎn)子的安全運(yùn)行，必須對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)帶來的轉(zhuǎn)子振動(dòng)進(jìn)行抑制。

為了驗(yàn)證模型誤差以及修正系數(shù)對(duì)補(bǔ)償效果的影響，對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)分別進(jìn)行了含建模誤差補(bǔ)償和修正建模誤差補(bǔ)償，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以20 rad/s2加速率加速時(shí)的響應(yīng)曲線如圖10所示。對(duì)比圖9中基礎(chǔ)擺動(dòng)結(jié)果和圖10中修正誤差補(bǔ)償結(jié)果可知，在包含一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，基于基礎(chǔ)加速度的前饋補(bǔ)償控制對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)引起的轉(zhuǎn)子振動(dòng)有很好的抑制作用。前饋補(bǔ)償后，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅幾乎和基礎(chǔ)靜止時(shí)的振幅相當(dāng)。

對(duì)比圖10中的結(jié)果可知，建模誤差會(huì)影響基礎(chǔ)加速度前饋補(bǔ)償?shù)男Ч?，具體表現(xiàn)為：補(bǔ)償后AMB?A位置處的轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值與基礎(chǔ)擺動(dòng)未補(bǔ)償時(shí)幾乎相同。根據(jù)圖11（a）中的放大圖可知，補(bǔ)償后轉(zhuǎn)子的振動(dòng)與未補(bǔ)償時(shí)的相位相反，此時(shí)對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)的抑制表現(xiàn)為“過補(bǔ)償”。補(bǔ)償后AMB?B位置處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值雖有明顯下降，但仍大于修正建模誤差后的補(bǔ)償結(jié)果。根據(jù)圖11（b）可知，補(bǔ)償后轉(zhuǎn)子的響應(yīng)與未補(bǔ)償時(shí)的相位相同，幅值減小，此時(shí)對(duì)基礎(chǔ)擺動(dòng)的抑制表現(xiàn)為“欠補(bǔ)償”。因此，在實(shí)際使用補(bǔ)償算法時(shí)，建模誤差會(huì)影響補(bǔ)償電流對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的抑制作用，因此為了保證補(bǔ)償效果，必須首先對(duì)補(bǔ)償電流進(jìn)行修正。

3.4 軸心軌跡仿真

為了研究基礎(chǔ)擺動(dòng)及補(bǔ)償算法對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同轉(zhuǎn)速下軸心運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，圖12為轉(zhuǎn)子在懸浮非旋轉(zhuǎn)、3000 r/min亞臨界及6000 r/min超臨界工況下，兩個(gè)AMBs位置處轉(zhuǎn)子的軸心運(yùn)動(dòng)軌跡。

懸浮非旋轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)，在施加前饋補(bǔ)償控制前，轉(zhuǎn)子僅承受基礎(chǔ)正弦擺動(dòng)加速度引起的載荷，基礎(chǔ)擺動(dòng)使轉(zhuǎn)子軸心運(yùn)動(dòng)軌跡變?yōu)檠卮怪庇跀[動(dòng)軸方向（Y向）的直線，且直線的長度正比于基礎(chǔ)擺動(dòng)的加速度幅值。施加前饋補(bǔ)償控制后，軸心運(yùn)動(dòng)軌跡恢復(fù)為一個(gè)點(diǎn)。

無論是在亞臨界還是超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，施加前饋補(bǔ)償控制前，基礎(chǔ)正弦擺動(dòng)使轉(zhuǎn)子的軸心運(yùn)動(dòng)軌跡由標(biāo)準(zhǔn)的圓形變?yōu)橐幌盗袛M圓形，軸心運(yùn)動(dòng)軌跡沿垂直擺動(dòng)軸線的Y方向顯著移動(dòng)，沿平行擺動(dòng)軸線的X向略有擴(kuò)散。前饋補(bǔ)償控制后，軸心運(yùn)動(dòng)軌跡又恢復(fù)到與基礎(chǔ)靜止時(shí)近似的圓形，基礎(chǔ)擺動(dòng)激勵(lì)的影響被大幅度抑制。

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

在圖13所示的試驗(yàn)平臺(tái)上，進(jìn)行基礎(chǔ)加速度前饋補(bǔ)償?shù)腁MBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)控制試驗(yàn)。

試驗(yàn)轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)如圖2所示，轉(zhuǎn)子由電機(jī)拖動(dòng)，電機(jī)與轉(zhuǎn)子之間用柔性連軸器連接，電機(jī)的轉(zhuǎn)速通過變頻器進(jìn)行控制。安裝在軸承座側(cè)面端蓋上的電渦流傳感器用來測量AMBs處轉(zhuǎn)子的位移。由于電渦流傳感器非?？拷麬MBs，可近似等效為同位系統(tǒng)。AMBs的控制系統(tǒng)包括功率放大器及dSPACE測控平臺(tái)。AMBs及驅(qū)動(dòng)電機(jī)等都固定在剛性的基礎(chǔ)平板上。

為了實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)激勵(lì)，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛性基礎(chǔ)平板由4個(gè)彈簧懸掛在鋁合金框架上，使整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)平臺(tái)懸空。基礎(chǔ)平板下方固定有激振器，通過傳力桿與基礎(chǔ)平板固連，以實(shí)現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)的激振。激振器的驅(qū)動(dòng)電流由獨(dú)立的功率放大器提供，驅(qū)動(dòng)信號(hào)由信號(hào)發(fā)生器輸入到功率放大器。在2個(gè)軸承座位置的基礎(chǔ)平板上安裝加速度傳感器，剛性基礎(chǔ)擺動(dòng)的角加速度由下式求解：

基礎(chǔ)擺動(dòng)的角速度由角加速度積分得到，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速由鍵相傳感器測得。采集的基礎(chǔ)角加速度、角速度以及轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速實(shí)時(shí)傳輸?shù)絛SPACE，以實(shí)現(xiàn)前饋補(bǔ)償控制。

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)懸空狀態(tài)下，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)基礎(chǔ)平板的模態(tài)進(jìn)行測試，得到基礎(chǔ)沿豎直方向的剛體平動(dòng)振型的頻率為5 Hz，繞基礎(chǔ)橫向剛體俯仰振型的頻率為5.7 Hz。圖14為測量得到的基礎(chǔ)平板剛體模態(tài)振型。

為了實(shí)現(xiàn)AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)基礎(chǔ)的擺動(dòng)，讓激振器激發(fā)基礎(chǔ)繞橫軸的純模態(tài)振動(dòng)。為了避免共振使基礎(chǔ)振幅變得很大，進(jìn)而破壞試驗(yàn)臺(tái)，讓激振頻率偏離5.7 Hz一定距離。經(jīng)現(xiàn)場調(diào)試，當(dāng)激振頻率為5.4 Hz時(shí)，2個(gè)加速度傳感器測得的加速度如圖15（a）所示，基礎(chǔ)擺動(dòng)角加速度如圖15（b）所示。此時(shí)基礎(chǔ)擺動(dòng)的軸線與理論模型的基礎(chǔ)坐標(biāo)軸重合，可認(rèn)為基礎(chǔ)做純擺動(dòng)。因此，本文試驗(yàn)在激振頻率為5.4 Hz的條件下進(jìn)行。

試驗(yàn)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為3000 r/min時(shí)，迭代得到AMB?A和AMB?B的X（Y）向補(bǔ)償電流修正系數(shù)分別為0.7（0.9）和1.0（0.9）。

4.1 懸浮不旋轉(zhuǎn)及恒定轉(zhuǎn)速條件下的試驗(yàn)

轉(zhuǎn)子懸浮不旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，使基礎(chǔ)進(jìn)行如圖15所示的正弦擺動(dòng)，測量得到基礎(chǔ)擺動(dòng)前、后以及前饋補(bǔ)償前、后沿垂直于擺動(dòng)軸方向（Y向）的轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)曲線如圖16所示?；A(chǔ)擺動(dòng)前，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)很小，約為0.005 mm，主要為噪聲信號(hào)；基礎(chǔ)擺動(dòng)后，AMB?A和AMB?B位置轉(zhuǎn)子的振幅分別增大到0.06和0.13 mm，分別增大了12倍及26倍。開啟前饋補(bǔ)償控制后， AMB?A和AMB?B處轉(zhuǎn)子的振幅迅速減小至0.017和0.02 mm，分別降低了72%和85%。表明轉(zhuǎn)子懸浮不旋轉(zhuǎn)時(shí)，基礎(chǔ)擺動(dòng)會(huì)明顯地增大轉(zhuǎn)子在垂直于擺動(dòng)方向（Y向）上的振動(dòng)，基礎(chǔ)加速度前饋補(bǔ)償控制能夠有效抑制基礎(chǔ)擺動(dòng)引起的振動(dòng)。

圖17為轉(zhuǎn)子懸浮、亞臨界（2000 r/min）和超臨界（6000 r/min）工況下AMBs處的軸心運(yùn)動(dòng)軌跡。圖中的圓為轉(zhuǎn)子與保護(hù)軸承間的間隙圓。

圖17中轉(zhuǎn)子軸心運(yùn)動(dòng)軌跡的變化規(guī)律與圖12中的理論分析結(jié)論一致，即基礎(chǔ)擺動(dòng)激勵(lì)使懸浮轉(zhuǎn)子的軸心運(yùn)動(dòng)軌跡在垂直于擺動(dòng)軸的方向上由點(diǎn)變?yōu)榫€；采用了基于加速度的前饋補(bǔ)償算法后，轉(zhuǎn)子的軸心運(yùn)動(dòng)軌跡又近似恢復(fù)為一個(gè)點(diǎn)。無論是在亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)還是在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，基礎(chǔ)擺動(dòng)使轉(zhuǎn)子軸心運(yùn)動(dòng)軌跡由圓形變?yōu)橐幌盗袌A心沿垂直于擺動(dòng)軸方向移動(dòng)的擬圓形，振動(dòng)的幅值沿垂直于擺動(dòng)軸的Y向劇烈增加，但在平行于擺動(dòng)軸的X向變化不太明顯。前饋補(bǔ)償控制后，軸心運(yùn)動(dòng)軌跡幾乎又恢復(fù)至與基礎(chǔ)靜止時(shí)相同的狀態(tài)，基礎(chǔ)擺動(dòng)的影響被大幅度抑制。

4.2 轉(zhuǎn)子加速響應(yīng)試驗(yàn)

為了研究基礎(chǔ)擺動(dòng)對(duì)加速運(yùn)行過程中AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的影響，以及本文前饋補(bǔ)償算法對(duì)加速運(yùn)行過程中轉(zhuǎn)子振動(dòng)的抑制效果，分別進(jìn)行了基礎(chǔ)靜止、基礎(chǔ)擺動(dòng)未補(bǔ)償和基礎(chǔ)擺動(dòng)補(bǔ)償三種工況下的轉(zhuǎn)子加速運(yùn)行試驗(yàn)。

在補(bǔ)償前、后的2次轉(zhuǎn)子加速運(yùn)行試驗(yàn)中，基礎(chǔ)角加速度的時(shí)間歷程如圖18所示?？梢姡诨A(chǔ)擺動(dòng)補(bǔ)償前、后的2次試驗(yàn)中，雖然基礎(chǔ)加速度略有差異，但其幅值在整體上基本相同，因此可近似認(rèn)為補(bǔ)償前、后的2次試驗(yàn)是在同一基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下進(jìn)行的。

圖19為轉(zhuǎn)子AMBs位置沿平行于基礎(chǔ)擺動(dòng)軸方向（X向）的加速響應(yīng)曲線。

可見，基礎(chǔ)擺動(dòng)條件下，AMB?A及AMB?B處轉(zhuǎn)子振幅增加量隨轉(zhuǎn)速的升高而逐漸增大。這與圖9中的仿真結(jié)論相吻合，即基礎(chǔ)繞橫向擺動(dòng)時(shí)，附加陀螺力矩造成轉(zhuǎn)子沿平行于擺動(dòng)軸方向上的振動(dòng)增加，轉(zhuǎn)速越高則附加陀螺力矩越大，振動(dòng)增大就越明顯。施加前饋補(bǔ)償后，轉(zhuǎn)子X向振動(dòng)減小至與基礎(chǔ)靜止時(shí)相近的狀態(tài)。

由于擺動(dòng)速度引起的附加陀螺力矩較小，而擺動(dòng)加速度引起的附加慣性載荷相對(duì)較大，因此試驗(yàn)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)主要集中在垂直于擺動(dòng)軸方向（Y向）。圖20為轉(zhuǎn)子豎直方向的加速響應(yīng)曲線?？梢?，在基礎(chǔ)擺動(dòng)作用下，AMB?A、AMB?B、盤A和盤B位置處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值在全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)均明顯增大，分別增加了約0.052，0.127，0.064和0.091 mm。其中在最大振動(dòng)幅值轉(zhuǎn)速處，各位置的幅值相對(duì)增加了64%，126%，78%和103%。施加前饋補(bǔ)償控制后，轉(zhuǎn)子各位置的振動(dòng)均得到了有效控制，振幅與基礎(chǔ)靜止時(shí)接近，驗(yàn)證了基礎(chǔ)加速度前饋補(bǔ)償算法的有效性。

5 結(jié)" 論

（1）基礎(chǔ)擺動(dòng)產(chǎn)生的附加陀螺力矩使沿?cái)[動(dòng)方向的轉(zhuǎn)子振動(dòng)有所增大，產(chǎn)生的附加慣性載荷使垂直于擺動(dòng)方向的轉(zhuǎn)子振動(dòng)劇烈增大。懸浮不旋轉(zhuǎn)時(shí)，基礎(chǔ)擺動(dòng)使轉(zhuǎn)子軸心運(yùn)動(dòng)軌跡由點(diǎn)變?yōu)榫€；旋轉(zhuǎn)時(shí)，基礎(chǔ)擺動(dòng)使轉(zhuǎn)子軸心由中心在原點(diǎn)的封閉軌跡變?yōu)橐幌盗兄行难卮怪庇跀[動(dòng)方向移動(dòng)的軌跡，轉(zhuǎn)子在該方向上的振動(dòng)急劇增大。

（2）基于基礎(chǔ)加速度的前饋補(bǔ)償控制依賴于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，建模誤差會(huì)使算法的補(bǔ)償效果減弱。因此在實(shí)際使用中，為了保證補(bǔ)償算法的有效性，必須首先對(duì)補(bǔ)償電流進(jìn)行修正。

（3） 在基礎(chǔ)正弦擺動(dòng)條件下，本文的前饋補(bǔ)償算法能在包括轉(zhuǎn)子一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)大幅度抑制基礎(chǔ)擺動(dòng)對(duì)AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，驗(yàn)證了本文補(bǔ)償算法的有效性。

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Vibration suppression of active magnetic bearing?flexible rotor system based on acceleration feedforward under base swing

ZHANG Peng， ZHU Chang-sheng

（College of Electrical Engineering， Zhejiang University， Hangzhou 310027，China）

Abstract： Base swing will bring additional gyroscopic moment and inertia load to the rotating machinery， affecting the vibration and stability of the rotor system and even endangering the rotor operation. In order to effectively control the vibration of the active magnetic bearing （AMB）-flexible rotor system under the base swing， a base acceleration feedforward algorithm is proposed in this paper. With the dynamic model and the parameters of the base swing， the optimal compensation current to suppress the vibration can be directly obtained by the proposed algorithm. Because of no iteration and simple structure， the algorithm has strong rapidity and practicality. Furtherly， to eliminate the influence of modeling error on the compensation performance， a method to correct compensating current is suggested. After that， the influence of the proposed algorithm on the rotor vibration in the spin speed range including the first bending critical speed is simulated. Finally， on the test platform， the effectiveness of the algorithm was verified when rotor in suspension without spin， constant speed and acceleration under the base swing. The theoretical and experimental results agree that the vibration perpendicular to the swing axis increases obviously due to the inertia load. The additional gyroscopic moment increases the vibration along the swing axis， and the rising amplitude grows along with the increase of the rotor spin speed. The algorithm proposed can efficiently suppress the rotor vibration under the base swing in the spin speed range including the first bending critical speed.

Key words： vibration suppression； active magnetic bearing； base swing； feedforward compensation

作者簡介： 張" 鵬（1992―），男，博士研究生。E-mail： zhang_peng@zju.edu.cn。

通訊作者： 祝長生（1963―），男，博士，教授。E-mail： zhu_zhang@zju.edu.cn。