基于Matlab/Simscape的飛輪倒立擺仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)

摘 要 針對(duì)自動(dòng)控制原理硬件實(shí)驗(yàn)安全性低、實(shí)驗(yàn)成本高的問題，提出一種虛擬仿真實(shí)驗(yàn)的方法，利用Simscape和Solidworks聯(lián)合搭建一個(gè)飛輪倒立擺系統(tǒng)，并設(shè)計(jì)PID控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)飛輪倒立擺系統(tǒng)的控制，通過仿真可直接觀察飛輪倒立擺的運(yùn)動(dòng)情況。教學(xué)實(shí)踐表明，該虛擬仿真實(shí)驗(yàn)為學(xué)生提供了更好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，改善了自動(dòng)控制原理課程的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量具有重要意義。

關(guān)鍵詞 自動(dòng)控制原理；Matlab/Simscape；Solidworks；飛輪倒立擺系統(tǒng)；仿真實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：G642.423 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2024）20-0-05

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2024.20.125

0 引言

自動(dòng)控制原理課程的單純硬件實(shí)驗(yàn)因外部環(huán)境多變，使得結(jié)果偏差增加，同時(shí)受限于設(shè)備和實(shí)驗(yàn)材料的成本，部分學(xué)校對(duì)實(shí)驗(yàn)的完成度不高。這兩個(gè)因素的共同作用限制了該課程單純硬件實(shí)驗(yàn)的精度和多樣性[1-2]。

基于以上問題，在現(xiàn)代化、信息化的大背景下，為提高自動(dòng)控制原理課程單純硬件實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性和多樣性，國內(nèi)眾多高校開始探索基于Matlab/Simscape的虛擬仿真實(shí)驗(yàn)在教學(xué)中的應(yīng)用[3]。Simscape利用基于數(shù)學(xué)方程的仿真方法，使得仿真過程更加高效，通過數(shù)值計(jì)算，還可以獲得更加準(zhǔn)確的仿真結(jié)果，并以此評(píng)估系統(tǒng)的性能。Simscape與Solidworks的聯(lián)合仿真可以實(shí)現(xiàn)更全面的系統(tǒng)級(jí)仿真和設(shè)計(jì)。用戶在Solidworks中建立機(jī)械系統(tǒng)的三維模型，可通過Simscape Multibody Link插件將該三維模型直接導(dǎo)入Matlab/Simulink進(jìn)行仿真和控制設(shè)計(jì)，極大地提高了工作效率[4]。

飛輪倒立擺是一種由慣性飛輪作為驅(qū)動(dòng)裝置的一階倒立擺，其控制是一類經(jīng)典的非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制問題。在控制類課程中圍繞飛輪倒立擺開展教學(xué)實(shí)踐，有以下優(yōu)勢：

1）飛輪倒立擺常被用來驗(yàn)證控制算法的有效性和穩(wěn)定性，并且物理結(jié)構(gòu)簡單，易于仿真和物理實(shí)現(xiàn)，是理論指導(dǎo)實(shí)踐，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用較好的教學(xué)平臺(tái)；

2）飛輪倒立擺是一個(gè)具有明顯物理特征的實(shí)驗(yàn)對(duì)象，學(xué)生可以直接觀察其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和變化，有助于理解控制系統(tǒng)的工作原理。

本文基于Matlab/Simscape仿真平臺(tái)，聯(lián)合Solidworks搭建飛輪倒立擺實(shí)驗(yàn)教學(xué)仿真系統(tǒng)，同時(shí)開發(fā)PID控制器用以實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的仿真調(diào)控，仿真教學(xué)平臺(tái)可以為學(xué)生提供直觀的實(shí)驗(yàn)效果，從而提高教學(xué)質(zhì)量。設(shè)

1 飛輪倒立擺系統(tǒng)基本原理和

飛輪倒立擺系統(tǒng)是一種經(jīng)典的非線性控制系統(tǒng)，常用于教育和研究領(lǐng)域。它由一個(gè)豎直安裝的飛輪、一個(gè)連接在飛輪上的倒立擺桿、底盤三部分組成。在飛輪倒立擺系統(tǒng)中，飛輪通過一個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，可以高速旋轉(zhuǎn)。倒立擺桿通過一個(gè)鉸鏈連接在飛輪上，可在豎直方向上旋轉(zhuǎn)。飛輪倒立擺系統(tǒng)是一種不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其控制的基本原理是依靠角動(dòng)量守恒定律，通過調(diào)控高速旋轉(zhuǎn)的飛輪在豎直平面內(nèi)形成的反力矩可使擺桿最終穩(wěn)定在期望輸出位置，從而達(dá)到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)平衡。飛輪倒立擺系統(tǒng)實(shí)物圖如圖1所示。

2 飛輪倒立擺的數(shù)學(xué)建模

為簡化數(shù)學(xué)模型，忽略飛輪倒立擺系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中的空氣阻力，視擺桿為質(zhì)量均勻的細(xì)長桿，飛輪為質(zhì)量集中于邊緣的圓環(huán)，擺桿、飛輪均為剛體，且兩者在同一平面內(nèi)。如圖2所示，在豎直平面上取直角坐標(biāo)系O-XY。飛輪的質(zhì)量為m1，重心為O1，位置坐標(biāo)為（a1，b1），飛輪的旋轉(zhuǎn)角度為φ，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，飛輪繞質(zhì)心O1點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為P1。擺桿的質(zhì)量為m2，重心為O2，其位置坐標(biāo)為（a2，b2），擺桿可繞原點(diǎn)O進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為P2。擺桿與水平方向夾角為θ[5-6]，原點(diǎn)O到原點(diǎn)O2的距離為x1，原點(diǎn)O2到原點(diǎn)O1的距離為x2。

利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[7-8]：

（1）

其中L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為系統(tǒng)的勢能。

系統(tǒng)的總動(dòng)能：

T=TO1+TO2 （2）

式中TO1和TO2分別為擺桿和飛輪的動(dòng)能。

飛輪的動(dòng)能：

（3）

擺桿的動(dòng)能：

（4）

飛輪的勢能：

VO1=m1g（x1+x2）cos θ （5）

擺桿的勢能：

VO2=m2gx1cos θ （6）

最終得出飛輪倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：

（7）

其中：a=m1x1+4m2x12+P2，b=（m1+2m2）gx1，c1為飛輪繞轉(zhuǎn)軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)的摩擦阻力矩系數(shù)，c2為擺桿繞轉(zhuǎn)軸O2轉(zhuǎn)動(dòng)的摩擦阻力矩系數(shù)。

3 基于Matlab/Simscape的物理仿真模型

建立

Solidworks與Simscape的聯(lián)合仿真：首先在

Solidworks中對(duì)飛輪倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行三維建模，接

著在Solidworks中通過插件Simscape Multibody Link將飛輪倒立擺系統(tǒng)的三維模型導(dǎo)入Simscape，

建立物理仿真模型如圖3所示。

圖中RIGID模塊是一個(gè)用于剛體動(dòng)力學(xué)仿真的軟件模塊，可以模擬剛體在力的作用下的運(yùn)動(dòng)和相互作用。RIGID模塊可以用于模擬各種物理系統(tǒng)，如機(jī)械系統(tǒng)、車輛運(yùn)動(dòng)、物體碰撞等。通過對(duì)剛體的運(yùn)動(dòng)和相互作用進(jìn)行建模和仿真，可以幫助學(xué)生更好地理解和預(yù)測物體的行為。

Revolute模塊是一個(gè)用于模擬旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的軟件模塊，可以模擬旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)和力學(xué)特性，以及與其他物體的相互作用。通過該模塊，可以對(duì)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行建模和仿真，以便更好地理解和預(yù)測機(jī)械系統(tǒng)的行為。Revolute模塊通常用于機(jī)械工程、機(jī)器人學(xué)和物理仿真等領(lǐng)域。

圖3中，x1_RIGID模塊、x1_RIGID1模塊、x2_RIGID模塊分別代表飛輪倒立擺系統(tǒng)的底座、擺桿、飛輪三部分，它們之間分別通過鉸鏈模塊Revolute1、Revolute連接。

模塊Mechanism Configuration表示飛輪倒立擺機(jī)構(gòu)配置僅受均勻引力，設(shè)置重力加速度為g=9.806 65 m/s2。

通過Simscape導(dǎo)入Solidworks制作的三維模型后生成的可視化仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示，該模型可以動(dòng)態(tài)顯示倒立擺的姿態(tài)和飛輪的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，并可與外界信號(hào)進(jìn)行交聯(lián)。

4 PID控制仿真實(shí)驗(yàn)

比例—積分—微分（PID）控制是一種經(jīng)典的自動(dòng)控制算法。PID控制理論簡單、穩(wěn)定性好、精確性高[9]，它通過對(duì)系統(tǒng)的誤差信號(hào)進(jìn)行比例（P）、積分（I）和微分（D）的運(yùn)算，產(chǎn)生相應(yīng)的輸出，達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。在PID控制中，比例項(xiàng)可以提供快速的響應(yīng)和較小的超調(diào)量，積分項(xiàng)能夠消除靜態(tài)誤差并增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，微分項(xiàng)則能夠抑制系統(tǒng)的振蕩并提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。PID控制器的輸出公式為：

（8）

其中：Kp是比例增益，Ki是積分增益，Kd是微分增益。e（t）是期望值與實(shí)際值之間的差異。

合理地調(diào)節(jié)Kp、Ki、Kd這三個(gè)參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的優(yōu)化，使得系統(tǒng)更好地滿足控制要求。在Matlab/Simulink環(huán)境下，搭建飛輪倒立擺系統(tǒng)PID平衡控制仿真模塊如圖5所示。

PID控制器根據(jù)系統(tǒng)的輸出值與期望值之間的誤差信號(hào)，使用比例、積分和微分運(yùn)算產(chǎn)生控制輸出，作用于飛輪倒立擺系統(tǒng)，進(jìn)而影響系統(tǒng)的行為，使系統(tǒng)的輸出角度逼近期望值。令飛輪倒立擺系統(tǒng)的輸出角度為δ，當(dāng)δ=90°時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖6所示。

當(dāng)δ=95°時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖7所示。

由以上仿真結(jié)果可知，基于PID控制能很好地實(shí)現(xiàn)飛輪倒立擺系統(tǒng)的平衡。且飛輪倒立擺輸出角度δ=95°相比于δ=90°，擺桿在迅速向平衡位置靠攏的過程中，最大超調(diào)量更小，峰值時(shí)間更短，即系統(tǒng)的響應(yīng)更加平穩(wěn)和快速。

PID控制器的設(shè)計(jì)和參數(shù)整定在自動(dòng)化類課程中一直是知識(shí)的重難點(diǎn)。通過本仿真系統(tǒng)，學(xué)生可以自行調(diào)整控制參數(shù)，并實(shí)時(shí)看到實(shí)際的控制效

果[10]。同時(shí)，對(duì)于線性系統(tǒng)來說，需要輸入指令在小角度下才能滿足線性化要求，當(dāng)輸入指令超出可線性化范圍后，系統(tǒng)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，因此該系統(tǒng)還能借助物理可視化效果幫助學(xué)生對(duì)線性系統(tǒng)產(chǎn)生直觀認(rèn)識(shí)。不同輸入指令下，飛輪倒立擺系統(tǒng)控制案例可視化效果如圖8所示。

5 結(jié)束語

為了提高自動(dòng)控制原理課程的教學(xué)質(zhì)量，將基于Matlab/Simscape的自動(dòng)控制虛擬實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐，利用Solidworks與Simscape的聯(lián)合仿真建立飛輪倒立擺物理仿真模型并向?qū)W生展示基于PID控制器的飛輪倒立擺系統(tǒng)在不同輸入指令下的實(shí)際控制效果。相比于傳統(tǒng)的圖解法，這種教學(xué)方式的可視化效果更好，學(xué)生可以直觀地觀察擺桿、飛輪的運(yùn)動(dòng)狀況，還可以改變仿真參數(shù)得到不同的運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化，有利于學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的理解和

掌握。

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*項(xiàng)目來源：內(nèi)蒙古科技大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目“‘一核兩課四融合’驅(qū)動(dòng)的機(jī)械類項(xiàng)目案例式‘結(jié)點(diǎn)課程’課程思政育人新范式研究”（JY2023020）；第三期廣州中望龍騰軟件有限公司供需對(duì)接就業(yè)育人項(xiàng)目（2024010594552）；內(nèi)蒙古自治區(qū)教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃課題（NGJGH2022373）；教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目“工程教育和新工科建設(shè)背景下機(jī)電液一體化教師能力培養(yǎng)計(jì)劃”（230803122172127）。

作者簡介：孫國鑫，博士，副教授。