一類圖形面積問題的解答策略

有關(guān)一條或幾條小路的圖形面積問題，是一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用中的重要問題，也是近年來中考的熱點(diǎn)，下面分類舉例說明解答這類問題的策略.

一、有關(guān)一條小路的圖形面積問題

例1 在一塊長(zhǎng)為a，寬為6的矩形草地上，有人設(shè)計(jì)了如圖1、圖2、圖3所示的三條不同的小路（陰影部分），但小路任何地方的水平寬度都是m．在這三個(gè)設(shè)計(jì)方案中，哪個(gè)草地部分的面積最大？

解析：利用平移的方法可以把不規(guī)則的圖形拆分或拼湊為簡(jiǎn)單的規(guī)則圖形．

本題中，將三個(gè)設(shè)計(jì)方案中的矩形的空白部分相對(duì)平移，正好分別組成一個(gè)新的矩形，這些新的矩形的寬均為b，長(zhǎng)均為a-m．

三個(gè)設(shè)計(jì)方案中的草地部分的面積都是b（a-m），而且圖1、圖2、圖3中這些陰影部分面積相等．

點(diǎn)撥：將上述情形進(jìn)行拓展，如圖4、圖5、圖6，這條小路有斜的，也有彎曲的，但在相同條件下得到的結(jié)論也一樣．

圖7中雖然小路為橫向，卻適用同樣的方法．圖8中將空白部分平移后拼不成新的矩形，所以不適用同樣的方法．

二、有關(guān)多條小路的圖形面積問題

例2 如圖9．某農(nóng)場(chǎng)有一塊長(zhǎng)40 m．寬32 m的矩形空地，為方便管理，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向各修建一條等寬的小路，其余部分用來種植，要使種植面積為1 140 m2，求小路的寬.

解析：將小路平移后可拼成一個(gè)如圖10的矩形種植地．設(shè)小路的寬為xm，則矩形種植地的長(zhǎng)為（40-x）m，寬為（32-x）m．根據(jù)矩形面積公式列方程（40-x）（32-x）=1 140，解得x=2或x=70（不合題意，舍去），故小路的寬是2 m．

變式1 改變小路寬度

例3 某校園有一塊正方形的空地，按如下頁圖11所示劃分區(qū)域種花，已知中間互相垂直的兩條小路（分別平行于正方形的兩邊）的寬分別為1m、2m．且四個(gè)種花區(qū)域的面積相同，均為10 m2.設(shè)原正方形空地的邊長(zhǎng)為xm，則可列方程____．

解析：原正方形空地的邊長(zhǎng)為xm，則除去小路部分剩余的空地長(zhǎng)為（x-1）m，寬為（x-2）m．根據(jù)矩形的面積公式可列出方程（x-）（x-2）=4xl0．化簡(jiǎn)得x2-3x-38=0.

變式2 改變小路數(shù)量

例4 如圖12，某小區(qū)計(jì)劃在一個(gè)長(zhǎng)BC為16m．寬AB為9m的矩形場(chǎng)地ABCD上，修建若干條同樣寬的小路，豎直方向的小路與AB平行，水平方向的小路與AD平行，其余部分種草．已知草坪部分的總面積為112 m2，設(shè)小路寬為xm，根據(jù)圖12（1）一圖12（4）各能列出什么樣的方程？

解析：圖12（1）為“2橫1縱型”，可列方程（16-x）（9-2x）=112.

圖12 （2）為“1橫2縱型”，可列方程（16-2x）（9-x）=112.

圖12 （3）為“1橫3縱型”，可列方程（16-3x）（9-x）=112.

圖12 （4）為“2橫2縱型”，可列方程（16-2x）（9-2x）=112.

點(diǎn)撥：本題中根據(jù)縱、橫幾條小路，決定長(zhǎng)、寬各減去幾個(gè)x，本題圖形若為“m橫n縱型”，則可列方程（16-nx）（9-mx）=112.本題也可以改變條件的說法，如“已知草坪部分的總面積為112 m2”可改為“已知草坪部分的面積占場(chǎng)地總面積的7/9”，本題還可以改變小路數(shù)量，但只要小路都是縱、橫兩個(gè)方向的，小路寬度相同，解答時(shí)都可以參考上述思路．

例5 某學(xué)校計(jì)劃用一片空地建一個(gè)形狀為矩形的勞動(dòng)教育場(chǎng)地，其中一邊靠墻（墻可利用的最大長(zhǎng)度為12 m），另外三邊用木柵欄，計(jì)劃建造的矩形場(chǎng)地面積為80 m2，已知現(xiàn)有的木柵欄材料總長(zhǎng)為26 m．

（1）為了方便學(xué)生出行，學(xué)校決定在與墻平行的一邊開寬為2m的門，則矩形場(chǎng)地的各邊長(zhǎng)分別為多少？

（2）在（1）條件下，修三條等寬的硬化小路便于師生通行，如圖13，小路的占用面積為26 m2．則修建的小路寬為多少？

解析：（1）設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm，則與墻平行的一邊長(zhǎng)為（26-2x+2）m．

根據(jù)題意得x（28-2x）=80，解得x=4或x=10.

當(dāng)x=4時(shí)，28-2x=20gt;12，不合題意，故x=4舍去．

當(dāng)x=10時(shí)，28-2x=8＜12，符合題意．

∴矩形場(chǎng)地的與墻垂直的一邊長(zhǎng)為10 m，與墻平行的一邊長(zhǎng)為8 m．

（2）設(shè)小路寬為am，根據(jù)題意得（8-2a）·（10-a）=80-26，解得a=13（不合題意，舍去），或a=1，故小路的寬為1 m．

點(diǎn)撥：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)相關(guān)描述語找到等量關(guān)系，準(zhǔn)確列出方程是解決問題的關(guān)鍵．解答此類題目，要根據(jù)問題的實(shí)際意義舍去不符合題意的根.