三角形周長最小值問題解答策略探究

［摘 要］三角形周長的最小值問題常作為壓軸題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)試卷中，具有一定的區(qū)分度。文章結(jié)合例題，從三個(gè)方面探究三角形周長最小值問題的解答策略，以幫助學(xué)生突破解題難點(diǎn)，提升學(xué)生的思維能力和解題能力。

［關(guān)鍵詞］三角形；周長；最小值；解答策略

［中圖分類號(hào)］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）23-0025-03

線段和的最小值問題是中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，三角形周長的最小值問題更是常見的題型，其中幾何類綜合題及函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，常作為壓軸題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)試卷中，具有一定的區(qū)分度。但是，學(xué)生只要熟練掌握相應(yīng)的解題思路與方法，破解此類問題不是難事。本文闡述三種三角形周長最小值問題的解答策略。

一、三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中，有兩個(gè)點(diǎn)是固定點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)是在定直線上的動(dòng)點(diǎn)

［模型1］如圖1，已知點(diǎn)[A]、[B]是直線[l]同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)[P]在直線[l]上，問點(diǎn)[P]在何處時(shí)，才能使[△APB]的周長最小？

策略：如圖2，以直線[l]為對稱軸作點(diǎn)[A]的對稱點(diǎn)[A′]，連接[A′B]，交直線[l]于點(diǎn)[P]，則點(diǎn)[P]為滿足條件的點(diǎn)，連接[AB]、[AP]，此時(shí)[△APB]的周長最小。證明：因?yàn)閇AB]的長度一定，要使[△APB]周長最小，只需[AP+PB]最小即可，如圖2，在直線[l]上任取另一點(diǎn)[Q]，連接[AQ]、[QB]、[A′Q]?！唿c(diǎn)[A]與[A′]關(guān)于直線[l]成軸對稱，點(diǎn)[P]、[Q]在直線[l]上，∴[PA=PA′]，[AQ=A′Q]。在[△A′BQ]中，由三角形的三邊關(guān)系得[A′Q+QBgt;A′B]，∴[AQ+QBgt;A′B]，即[AQ+QBgt;A′P+BP]，∴[AQ+QBgt;AP+BP]，∴[PA+PB]最小，∴[△APB]的周長最小。

［例1］如圖3，已知在平行四邊形[ABCD]中，點(diǎn)[E]是[AD]邊上一點(diǎn)，連接[BE]、[CE]，[BE=CE]，[BE⊥CE]，點(diǎn)[F]是[EC]上一動(dòng)點(diǎn)，連接[BF]。

（1）如圖4，當(dāng)[BF⊥AB]時(shí)，連接[DF]，延長[BE]、[CD]交于點(diǎn)[K]，求證：[EF=EK]。

（2）如圖5，以[BF]為直角邊作等腰Rt[△FBG]，[∠FBG=90°]，連接[GE]，若[DE=2]，[CD=5]，當(dāng)點(diǎn)[F]在運(yùn)動(dòng)過程中，求[△BEG]周長的最小值。

分析：（1）證明[△CEK ]≌[△BEF]即可得出[EF=EK]；（2）作[BK⊥BE]，[GK⊥BK]于點(diǎn)[K]，延長[KG]交射線[CE]于點(diǎn)[P]，先證明點(diǎn)[F]在[CE]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)[G]在[PK]上運(yùn)動(dòng)，再延長[EP]到點(diǎn)[Q]，使[PQ=PE]，連接[BQ]交[PK]于點(diǎn)[G]，此時(shí)[△BEG]的周長最小，求出此時(shí)[GE+GB+BE]的值即可。

解：（1）∵四邊形[ABCD]是平行四邊形，∴[AB]∥[CD]，[AD]∥[BC]，∴[∠K=∠ABE]，∵[BF⊥AB]，∴[∠ABF=90°]，∴[∠ABE=90°-∠EBF=∠BFE]，∴[∠K=∠BFE]，∵[BE=CE]，∴[△CEK" ]≌[△BEF]（AAS），∴[EK=EF]。（2）如圖6，作[BK⊥BE]，[GK⊥BK]于點(diǎn)[K]，延長[KG]交射線[CE]于點(diǎn)[P]，則[∠EBK=] [∠FBG=90°]，∴∠KBG =∠EBF = [90°-∠GBE ]，∵[∠K=∠BEF=90°]，[BG=BF]，∴[△BKG ]≌[△BEF]（AAS），∴[BK=BE]，∵[∠EBK=∠K=∠BEP=90°]，∴四邊形[BEPK]是正方形，∴[PE=BE=CE]，∴當(dāng)點(diǎn)[F]在[CE]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)[G]在[PK]上運(yùn)動(dòng)?！遊BE]為定值，當(dāng)[BG+GE]最小時(shí)，[△BEG]的周長最小，如圖6，作點(diǎn)[E]關(guān)于直線[PK]的對稱點(diǎn)[Q]，連接[BQ]交[PK]于點(diǎn)[G′]，則點(diǎn)[G′]就是所求作的點(diǎn)，此時(shí)[G′E+G′B+BE]最小，即[△BEG′]的周長最小，最小值為[BQ+BE]的值，作[DH⊥CE]于點(diǎn)[H]，則[∠DHE=∠DHC=90°]，∵[∠ECB=∠EBC=45°]，∴[∠HED=∠ECB=45°]，∴[∠HDE=45°=∠HED]，∴[DH=EH]，∴[DH2+EH2=2DH2=DE2=（2）2=2]，∴[DH=EH=1]，∴[CH=CD2-DH2=（5）2-12=2]，∴[BE=CE=EH+CH=1+2=3]，∴[EQ=2PE=2BE=6]，∵[∠BEQ=90°]，∴[BQ=BE2+EQ2=32+62=35]，∴[G′E+G′B+BE=35+3]，∴△[BEG]周長的最小值為[35+3]。

評注：本題的難點(diǎn)在于確定動(dòng)點(diǎn)[G]的運(yùn)動(dòng)路徑。本題通過證明四邊形[BEPK]是正方形，確定了點(diǎn)[G]的運(yùn)動(dòng)路徑為直線[PK]，實(shí)際上根據(jù)“瓜豆原理”也可以看出來，因?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)[F]在線段[EC]上運(yùn)動(dòng)，而[△FBG]始終是等腰直角三角形，所以從動(dòng)點(diǎn)[G]也必在一條直線上運(yùn)動(dòng)。找到動(dòng)點(diǎn)[G]在直線上運(yùn)動(dòng)后，求[△BEG]周長的最小值問題，就轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問題，作對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一固定點(diǎn)。

二、三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中，只有一個(gè)是固定點(diǎn)，另外兩個(gè)分別是定直線上的動(dòng)點(diǎn)

［模型2］如圖7，已知[∠AOB]，[P]是[∠AOB]內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)[E]、[F]分別是[OA]、[OB]上的動(dòng)點(diǎn)，要使得[△PEF]的周長最小，試在圖上確定點(diǎn)[E]、[F]的位置。

策略：如圖8，作點(diǎn)[P]關(guān)于[OA]的對稱點(diǎn)[C]，作點(diǎn)[P]關(guān)于[OB]的對稱點(diǎn)[D]，連接[CD]，交[OA]于[E]，[OB]于[F]。連接[PE]、[PF]，此時(shí)[△PEF]的周長最小。實(shí)際上，模型2與模型1的作圖思路基本一致，都是通過作對稱點(diǎn)，將三角形的三條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得此時(shí)[△PEF]的周長是最小的，所以在解答此類題目時(shí)，考慮線段和的轉(zhuǎn)化是首先要做的工作。

［例2］如圖9，直線[y=-x+5]與[x]軸交于點(diǎn)[B]，與[y]軸交于點(diǎn)[C]，拋物線[y=-x2+bx+c]與直線[y=-x+5]交于[B]、[C]兩點(diǎn)，已知點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為（0，3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)[M]、[N]分別是直線[BC]和[x]軸上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)[△DMN]的周長最小時(shí)，求點(diǎn)[M]、[N]的坐標(biāo)，并寫出[△DMN]周長的最小值。

分析：（1）求出點(diǎn)[B]、[C]的坐標(biāo)、將點(diǎn)[B]、[C]的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可求解；（2）過點(diǎn)[D]分別作[x]軸和直線[BC]的對稱點(diǎn)[D′]（0，-3）、[D″]，連接[D′D″]交[x]軸、直線[BC]于點(diǎn)[N]、[M]，此時(shí)[△DMN]的周長最小，即可求解。

解：（1）拋物線的解析式為：[y=-x2+4x+5]，過程略。

（2）如圖10，過點(diǎn)[D]分別作[x]軸和直線[BC]的對稱點(diǎn)[D′]（0，-3）、[D″]，在二次函數(shù)[y=-x2+4x+5]中，令[y=0]，則[-x2+4x+5=0]，解得[x=-1]或5，故點(diǎn)[A（-1，0）]，∵[OB=OC=5]，∴[∠OCB=45°]，∵點(diǎn)[C（0，5）]，點(diǎn)[D（0，3）]，由軸對稱得[∠OCB=∠BCD″=45°]，[CD=CD″=5-3=2]，則[CD″⊥y]軸，則點(diǎn)[D″]的坐標(biāo)為[（2，5）]，連接[D′D″]交[x]軸、直線[BC]于點(diǎn)[N]、[M]，此時(shí)[△DMN]的周長最小，將點(diǎn)[D′]（0，-3），[D″]（2，5）代入一次函數(shù)的方程[y=mx+n]，得[n=-3，2m+n=5，]解得[m=4]，[n=-3]，∴直線[D′D″]的方程為[y=4x-3]，當(dāng)[y=0]時(shí)，[x=34]，∴點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[34，0]，聯(lián)立直線[BC]、直線[D′D″]的方程，得[y=-x+5，y=4x-3，]解方程組得[x=85]，[y=175]，∴點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[85，175]，此時(shí)[△DMN]周長的最小值[=DM+DN+MN=D′D″=4+64=217]。

評注：本題以二次函數(shù)為背景探究在平面直角坐標(biāo)內(nèi)求三角形周長最小值的問題，確定兩動(dòng)點(diǎn)的位置的思路與模型2相同，即作定點(diǎn)關(guān)于兩條定直線的對稱點(diǎn)，然后連接兩對稱點(diǎn)，所得直線與兩條定直線的交點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)的位置。在平面直角坐標(biāo)內(nèi)求交點(diǎn)的坐標(biāo)，需要分別求得兩函數(shù)的解析式，然后聯(lián)立兩函數(shù)的解析式組成方程組，解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo)。

三、三角形三個(gè)頂點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)是固定點(diǎn)，另一個(gè)是滿足特定等式的動(dòng)點(diǎn)

［模型3］如圖11，在[△ABC]中，點(diǎn)[P]是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足[PB=PC+m]（[m]是不小于0的常數(shù)），求作點(diǎn)[P]，使[△PAB]的周長值最小。

策略：如圖11，當(dāng)點(diǎn)[P]滿足[PB=PC+m]（[m]是不小于0的常數(shù)）時(shí)，[△PAB]的周長[=PA+PB+AB=PA+PC+m+AB=PA+PC+（m+AB）]，因?yàn)椋╗m+AB]）為常數(shù)，只需讓（[PA+PC]）取最小值即可，在[△PAC]中，由三角形的三邊關(guān)系得[PA+PC≥AC]，即[PA+PC]的最小值為[AC]，所以[△PAB]的周長的最小值[=AC+m+AB]。

［例3］如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線[y=-12x2+bx+c]與[x]軸交于[A（4，0）]，[B（-1，0）]兩點(diǎn)，與[y]軸交于點(diǎn)[D]，直線[AC]：[y=2x-8]交[y]軸于點(diǎn)[C]。點(diǎn)[E]為直線[AD]上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)[E]作[x]軸的垂線，垂足為[G]，[EG]分別交直線[AC]、[AD]于點(diǎn)[F]、[H]。（1）求拋物線的解析式；（2）[Q]是[y]軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形[AFQH]是矩形時(shí)，寫出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，第四象限有一動(dòng)點(diǎn)[P]，滿足[PQ=PC+3]，請直接寫出[△PQA]周長的最小值。

分析：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)設(shè)[AH=n]，[AF=2n]，則[FQ=AH=DH=n]，[CF=QH=2n]，由[CD=10]列方程可得[n]的值，從而得點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)；（3）因?yàn)閇△PQA]的周長[=PQ+AP+AQ=AP+PC+8]，所以要使得[△PQA]的周長最小，只要[PC+AP]的值最小，因?yàn)閇PC+AP≥AC]，所以當(dāng)點(diǎn)[P]在[AC]上時(shí)，[PC+AP]的值最小。

解：（1）拋物線的解析式為[y=-12x2+32x+2]，過程略；（2）如圖13，∵四邊形[AFQH]是矩形，∴[∠CFQ=∠QHD=∠FAH=90°]，[AD]∥[FQ]∵[FH]∥[CD]，[QH]∥[AC]，∴[∠ACD=∠AFH=∠DQH]，四邊形[DHFQ]是平行四邊形，∴[DH=FQ]，∵[A（4，0）]，[C]（0，-8），∴[OA=4]，[OC=8]，∴[tan∠ACO=tan∠DQH=tan∠AFH=OAOC=FQCF=AHAF=DHQH=12]，設(shè)[AH=n]，[AF=2n]，則[FQ=AH=DH=n]，[CF=QH=2n]，∴[CQ=DQ=5n]，∵[CD=2+8=10]，∴[25n=10]，∴[n=5]，∴[DQ=5]，∴[OQ=5-2=3]，∴[Q]（0，-3）；（3）如圖14，∵[AQ=32+42=5]，且[PQ=PC+3]，∴[△PQA]的周長[=PQ+AQ+AP=PC+3+5+AP=8+PC+AP]，要使得[△PQA]的周長最小，只要[PC+AP]的值最小，∵[PC+AP≥AC]，∴當(dāng)點(diǎn)[P]在[AC]上時(shí)，[PC+AP=AC]的值最小，∵[AC=42+82=45]，∴[△PQA]的周長的最小值為[45+8]。

評注：在[△PQA]中有兩個(gè)定點(diǎn)[A]、[Q]和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但動(dòng)點(diǎn)[P]滿足一定的條件，即[PQ=PC+3]，這樣求[△PQA]的周長時(shí)就可以轉(zhuǎn)化為求[8+PC+AP]，而[PC+AP]的最小值可以利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來求得，即為[AC]的長，這是求三角形周長最小值比較特殊的一類情形。

本文介紹了三種求三角形周長最小值的問題，分別對應(yīng)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、一個(gè)有條件的動(dòng)點(diǎn)，前兩種類型利用軸對稱進(jìn)行轉(zhuǎn)換，最后一種類型利用代數(shù)式及三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換。不難發(fā)現(xiàn)，針對不同類型的問題要采取不同的解答策略，這樣才能有效解題。

（責(zé)任編輯 黃春香）