基于頻率的疊層橡膠隔震支座損傷識別研究

摘要： 提出一種基于自振頻率的疊層橡膠隔震支座的損傷識別方法。通過疊層橡膠隔震支座的周期結構特性，利用周期結構特征波導納法，推導自振頻率與基本周期單元整體剪切模量變化之間的關系，建立自振頻率變化率對單元損傷的敏感性識別方程組，并采用約束優(yōu)化方法求解該識別方程組，實現(xiàn)基于自振頻率變化的疊層橡膠隔震支座的損傷識別。算例模型考慮了上部結構對底層橡膠支座的影響，使計算模型更加符合工程實際。通過三維有限元數(shù)值仿真分析驗證了本文所提損傷識別方法的有效性和精確性。

關鍵詞： 損傷識別； 疊層橡膠隔震支座； 敏感性分析； 周期結構； 自振頻率

中圖分類號： O346.5； TU352.12""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2024）07-1230-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.07.015

收稿日期： 2022?08?22； 修訂日期： 2022?11?30

基金項目："橋梁結構健康與安全國家重點實驗室開放課題（BHSKL19?07?GF）；武漢市城建委科技計劃項目（武城建［2020］27號）；國家自然科學基金資助項目（52078395，51908521）；湖北省首屆青年拔尖人才計劃項目。

引" 言

疊層橡膠支座作為一種隔震性能優(yōu)越、結構簡單、制造方便的隔震裝置，廣泛應用于實際工程結構中?；A隔震技術通過設置隔震層將上部結構與地震運動解耦，從而減少地震能量向上部結構的傳遞，達到保護上部結構和內部設施的目的。地震發(fā)生時，隔震支座會消耗大量的結構振動能量，是結構中最容易損壞的關鍵和薄弱部分。隔震支座的早期損壞一旦不能被及時發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)發(fā)展積累到一定程度，就有可能導致整個結構的突然失效，給人們的生命財產(chǎn)帶來災難。此外，在荷載和環(huán)境等不利因素的長期耦合作用下，疊層橡膠隔震支座的性能不斷惡化，直接影響隔震建筑在地震作用下的安全冗余度［1?3］。因此，迫切需要開發(fā)一種與疊層橡膠隔震支座特征匹配的損傷識別方法。

疊層橡膠隔震支座通常由橡膠和鋼板交替疊合而成，其本質上可以視作由若干重復子結構（或稱周期胞元）通過首尾相接構成的有限諧調周期性結構系統(tǒng)，學者們系統(tǒng)地研究了各類周期結構的振動和波傳播特性［4?6］。Chang［5］和Ding等［6］分別采用解析剛度矩陣法和傳遞矩陣法并結合周期理論，建立了離散疊層橡膠支座的線性力學模型。結構發(fā)生損傷時會導致其結構剛度發(fā)生變化，進而影響結構的動力特征參數(shù)，結構損傷動力法通過反解特征參數(shù)的變化來確定損傷位置?；谔卣鲄?shù)的敏感性分析方法是一種重要的損傷識別方法［7］。Cawley等［8］最先將固有頻率敏感性分析運用到結構損傷識別，對簡單結構進行了損傷位置的識別。Chang等［9］給出了一座實際的簡支橋的模態(tài)參數(shù)識別和基于振動的損傷檢測的初步結果。上述研究一般都是關于簡單結構的損傷識別，對于周期性疊層橡膠隔震支座損傷狀態(tài)振動特性的研究，大都集中于運用試驗研究其損傷失效模式。Casciati等［10］對相隔10年的兩批同類型隔震支座進行了振動臺試驗，發(fā)現(xiàn)橡膠老化導致剪切模量增加。Weisman等［11］對疊層橡膠隔震支座在大位移下進行了損傷失效試驗研究，發(fā)現(xiàn)搭接面積法過于保守，無法評估隔震支座的豎向屈曲載荷。這些方法對于一些大型建設項目來說耗時耗力，因此開發(fā)一種快速有效的疊層橡膠支座損傷識別方法具有重要意義。

本文利用疊層橡膠隔震支座的周期結構特征，結合特征波導納方法推導了基本周期單元的固有頻率與整體剪切模量的關系，以及整體結構固有頻率與總剪切模量的關系。建立了固有頻率變化率對單元損傷的敏感性辨識方程，并采用約束優(yōu)化方法對辨識方程進行求解。最后，實現(xiàn)了基于固有頻率變化的疊層橡膠隔震支座的損傷識別。

1 計算理論模型

1.1 含損傷單元的周期結構頻率特征方程

圖1給出了由n個相同的基本周期單元組成的周期系統(tǒng)，兩個邊界分別用C和D表示。若將一個激勵力FC施加在系統(tǒng)左端C處，那么振動波將從左端出發(fā)從左至右在該系統(tǒng)中傳播。當振動傳遞至第j單元時，波的運動將分為兩個部分：其中一部分是能夠穿越第j單元繼續(xù)向前傳播的傳遞波，而另一部分則為在第j單元處發(fā)生反射并朝左端C處傳播的反射波。因此，結構中任意點的波動可表示為相應的傳遞波與反射波之和。

令左端邊界點C處傳遞波和反射波所引起的位移和的比值為（波傳遞比），可以推導出僅含導納和波傳遞比的具體表達式為［12?15］：

（1）

式中

，

，

，

，

。

式中" ，為損傷單元j的直接導納；，為損傷單元j的間接導納，n表示單元數(shù)；特征波導納為周期單元節(jié)點處簡諧位移與簡諧力的比值；和分別為正向傳遞波與反射波所對應的特征波導納；μ為波的傳播常數(shù)；為邊界點D傳遞波與反射波的位移比值。

當激勵頻率與結構自振頻率相等時，無阻尼結構的位移將為無限大，即求解下列方程可得到具有單一損傷單元的周期結構的自振頻率：

（2）

1.2 含損傷單元的疊層橡膠隔震支座結構頻率特征方程

對于疊層橡膠隔震系統(tǒng)，結構下端為完全固定，上端為自由邊界。

由二階剪切振動微分方程及邊界條件得橡膠層的直接導納和間接導納分別為［15］：

（3a）

（3b）

式中" ，為頻率，A為橡膠層的截面面積，為橡膠的密度，G為橡膠層剪切模量，d為橡膠層厚度。

每塊鋼板（載荷部分）的導納為［14］：

（4）

周期結構中的任意單元的直接導納和間接導納分別為［16］：

（5a）

（5b）

式中" 和分別為載波部分的直接導納和間接導納；為載荷部分的導納。

對于對稱周期單元，傳播常數(shù)與周期單元各個組成部分導納的關系為［16］：

（6）

把式（3），（4）代入式（5）和（6），推導得到疊層橡膠隔震支座中任意健康復合周期單元的直接導納、間接導納以及剪切波傳播常數(shù)為 ：

（7a）

（7b）

（7c）

式中" ；。

相應地，損傷單元j在發(fā)生損傷后（即支座橡膠層剪切模量增大）的直接單元導納和間接單元導納分別表示為：

（8a）

（8b）

（8c）

式中" ；；表示損傷單元j在損傷前后剪切模量的變化。

當，式（2）可以簡化為健康周期結構的頻率特征方程，即：

（9）

1.3 基礎隔震結構中疊層橡膠隔震支座的頻率特征方程

對于上部結構，可以看作是由一根長柱和一系列間距為L的集中質量組成的簡化模型，如圖2所示。假設，且每個柱單元完全相同。

假設疊層橡膠隔震支座由n+1塊鋼板和n塊橡膠層交替疊合而成，每塊鋼板質量為，每塊橡膠質量為，厚度為，如圖3所示，且考慮支座中第j個單元發(fā)生失諧。疊層橡膠隔震支座的頂部與上部結構相連，底部受水平簡諧位移的作用，其中為位移幅值，。事實上，該基礎隔震系統(tǒng)可看作是由兩個不同的周期結構（上部建筑結構和疊層橡膠隔震支座）相連組成的結構。

由均勻Euler?Bernoulli梁的四階微分方程可得長為L、兩端自由的柱單元的節(jié)點導納為［17］：

（10a）

（10b）

式中" ，為彈性模量，為結構材料耗散系數(shù)；為柱截面慣性矩；為彎曲波數(shù)，為柱材料密度，為柱的截面面積，為頻率；F1，F(xiàn)6，F(xiàn)7函數(shù)由文獻［15］確定。由圖2可知，上部房屋結構每一層的集中質量為m，由對稱性可知，單元的載荷部分的質量為，其導納為［15］：

（11）

因此，將式（10）和（11）代入式（5），可得上部結構周期單元的間接導納為［19］：

（12）

式中

F3函數(shù)由文獻［15］確定。

將式（10）和（11）代入式（6），可推導得隔震系統(tǒng)的波傳播常數(shù)為：

（13）

由阻抗的定義［16］可知：

（14）

式中" 和分別為邊界C點的力和位移。

由式（12），（13）和（14）推導可得上部房屋結構的點阻抗為：

（15）

式中" N為房屋結構的層數(shù)。

如果將上部結構簡化為單自由度體系，則上部結構的阻抗為：

（16）

式中" 為上部結構的質量，。此時，上部結構的導納為：

（17）

將上部結構導納（17）代入式（9），可以推導得到基礎隔震結構中疊層橡膠隔震支座的頻率特征方程：

（18）

2 疊層橡膠支座基于頻率的損傷識別

2.1 含單損傷單元的疊層橡膠隔震支座頻率敏感度系數(shù)

根據(jù)敏感度的定義［17］，第p階自振頻率對第j單元損傷的敏感度系數(shù)（j＝1，2，…，n）為：

（19）

式中" 為健康狀態(tài)下各階固有頻率值；為損傷單元損傷前后的剪切模量變化率；的計算是通過式（18）求解對的偏導，再令來實現(xiàn)，此時變?yōu)?。而可通過將疊層橡膠隔震支座的幾何物理參數(shù)代入式（18）求解超越方程得到。

為方便本文驗證，疊層橡膠隔震支座參數(shù)參考文獻［11］。假設周期單元總數(shù)n=10，給定一組幾何物理參數(shù)如下：橡膠層的剪切模量為"N/m2，橡膠密度為 kg/m3，橡膠層的半徑為 120 mm， cm，鋼板與橡膠的質量比。

表1為計算得到的疊層橡膠隔震支座未損傷時的前5階頻率。將n=10及表1中各階值分別代入式（19），可得單元總數(shù)為10的周期疊層橡膠隔震支座前5階自振頻率對各周期單元整體剛度的敏感度系數(shù)如圖4所示。

從圖4可以清楚地看出，同一階固有頻率對不同單元的靈敏度系數(shù)不同，每一階固有頻率都有自己最敏感的單元（最高一列）。故可以通過各單元對損傷的敏感度初步了解易發(fā)生損傷的單元。

2.2 含多損傷單元的疊層橡膠隔震支座頻率敏感度系數(shù)

在多單元損傷的情況下，任意階自振頻率變化可近似為單損傷引起自振頻率變化的線性疊加，若忽略高次項，則由損傷所引起的自振頻率的總變化率為單損傷引起頻率變化的線性疊加［17］。則損傷引起的頻率總變化率為：

（20）

式（20）可寫為，其中，=［，…，］T；S為敏感系數(shù)矩陣；=［，…，］T。通常測量獲得的結構自振頻率階數(shù)要少于周期結構單元總數(shù)（即plt;n），這會導致式（20）中的敏感性識別方程組欠定，造成求解結果不唯一。為此，考慮到損傷不可能引起剛度增加，將本文疊層橡膠隔震支座結構的損傷識別問題轉化成如下的非負最小二乘曲線擬合問題；

（21）

通過數(shù)值優(yōu)化算法［18］求解方程（21），可以得到周期性結構的損傷識別結果。

2.3 基于頻率的疊層橡膠支座的損傷識別

2.3.1 單獨疊層橡膠支座的損傷識別

對于具有周期性的疊層橡膠隔震支座結構，通過結構損傷前后自振頻率的變化率可以初步預測結構損傷的位置。根據(jù)上面推導出的疊層橡膠支座敏感系數(shù)公式（19），推導出其敏感方程用以識別結構的具體損傷位置和損傷程度。

對于2.2節(jié)描述的疊層橡膠支座模型，假設考慮了3種損傷情況，包括單一損傷和多損傷情況。 各工況的具體損傷部位及損傷程度如表2所示。

根據(jù)文獻［17，19］，利用特征波導納法的敏感性方程進行損傷識別時，需要的頻率階數(shù)為周期結構單元數(shù)的一半，因此，利用圖4中得到的敏感性矩陣的前5階，逐階代入公式（21）中，并采用非負最小二乘曲線擬合數(shù)值優(yōu)化算法，即可得到3種損傷工況對應的損傷識別結果，如圖5所示。

從圖5中3種損傷情況的損傷識別結果可以看出，所有的識別誤差都在5%以內，因此本文提出的基于頻率的周期結構損傷識別方法可以準確地識別損傷位置和損傷程度。

2.3.2 考慮上部結構影響的疊層橡膠隔震支座的損傷識別

考慮兩種工況：上部結構簡化為單自由度結構和多自由度結構。當上部建筑模型簡化為單自由度時，假設上部建筑為集中質量，上部建筑的阻抗按式（15）計算；當上部結構為多自由度時，假設上部結構參數(shù)如下：柱截面面積" m2，截面慣性矩 m4，彈性模量 N/m2，材料密度 kg/m3，每層柱高度 m，每層集中質量 kg。上部結構層數(shù)為8層，假設建筑物下安裝36個疊層橡膠基礎隔震支座，此時上部結構的阻抗同樣按式（15）計算。根據(jù)2.2節(jié)描述的方法，對基礎隔震結構中的疊層橡膠支座進行靈敏度分析，計算得到單元總數(shù)為10的周期疊層橡膠隔震支座未損傷時的前5階頻率如表3所示，前5階自振頻率對各單元整體剛度的敏感度系數(shù)折線圖如圖6所示。

從圖6可以看出，每一階固有頻率都有自己的最靈敏單元，對應于圖6中的最高點，每一階固有頻率的最靈敏單元具有對稱性。同時，隨著頻率階數(shù)的增加，各階固有頻率最敏感的單元會逐漸從中間單元向兩端單元移動。從圖6中兩種工況的敏度系數(shù)比較可以看出，上部結構的簡化方法不會影響疊層橡膠隔震支座周期系統(tǒng)的特性。疊層橡膠隔震支座的結構特性僅受兩端約束條件和上部結構具體傳遞的阻抗大小的影響。

基于以上分析，此處僅給出上部結構為多自由度結構時的支座損傷識別結果。疊層橡膠隔震支座模型的損傷假設考慮了3種損傷工況，各工況的識別結果如表4所示。

使用圖6中的前5階靈敏度系數(shù)，并將其代入方程式（21）逐步采用非負最小二乘曲線擬合數(shù)值優(yōu)化算法得到3種損傷條件對應的損傷識別結果，如圖7所示。

從圖7中3種損傷工況的損傷識別結果可以看出，理論推導值與實際損傷基本一致，幾乎不存在誤差。證實本文所提方法能對單損傷和多損傷疊層橡膠隔震支座周期結構的損傷位置和損傷程度進行較為精確的識別。使用MATLAB的format long命令提高計算精度（精確到小數(shù)點后8位），同時在使用非負最小二乘曲線擬合方法時采用optimset命令調整計算時的迭代次數(shù)，有效解決了損傷位置對稱性的問題。

3 有限元數(shù)值模擬驗證

3.1 疊層橡膠隔震支座數(shù)值模擬模型

使用有限元軟件ABAQUS 6.14，建立上述疊層橡膠隔震支座的仿真模型?？紤]如圖8所示的單元個數(shù)為10的疊層橡膠隔震支座模型，通過降低某基本周期單元中橡膠的彈性模量來模擬該單元橡膠剪切模量的升高，即損傷。為方便與第2節(jié)理論推導值進行對比，數(shù)值仿真同樣采用第2節(jié)中的參數(shù)。假定該疊層橡膠隔震支座模型為圓形截面，鋼板與橡膠的半徑均為400 mm、高均為10 mm?；局芷趩卧从嬎隳Ｐ瓦M行簡化，且記固定端為第１號周期單元。鋼板的密度為7.85×103 kg/m3，泊松比為0.3，彈性模量為2.1×105 MPa，橡膠按超彈性材料屬性建立。

如圖8所示，支座底部為固定約束，上部單自由度質量塊為自由狀態(tài)，質量塊的質量參數(shù)由求得。底部支座劃分單元格時劃分得細密，更好地模擬支座的特性，總節(jié)點數(shù)為1335600，單元格數(shù)為860000。

理論上，結構中的10個周期單元都有可能存在損傷，而通常測得的自振頻率階數(shù)少于單元總數(shù)，本文僅利用前5階自振頻率來實現(xiàn)疊層橡膠隔震支座的損傷識別。其中單元總數(shù)為10的周期結構敏感度系數(shù)計算方法已經(jīng)在第2節(jié)中給出。

本文考慮了三種損傷工況，包括單損傷、雙損傷和多損傷工況，如表5所示。

3.2 疊層橡膠隔震支座數(shù)值分析與損傷識別

3種損傷工況對應的前5階頻率值的變化情況如表6所示。

從表6中數(shù)值模擬和理論推導得出的疊層橡膠支座損傷前后的前5階頻率差可以看出，85%的數(shù)值模擬和理論推導的誤差小于5%，個別數(shù)據(jù)誤差不超過10%，驗證了數(shù)值模擬建模的正確性和合理性。

圖9為疊層橡膠隔震支座基于頻率的損傷識別的仿真結果與理論推導結果的對比。

從圖9中3種損傷工況的損傷識別結果對比圖可以看出：對于預設的3種損傷工況，無論是單損傷、雙損傷還是三損傷，本文所提的基于頻率的疊層橡膠支座損傷識別方法均能對其損傷位置及損傷程度進行較為準確的識別。其中，工況1的數(shù)值仿真識別結果顯示損傷位置在第10號周期單元，損傷程度為11.58%，與實際設置的損傷程度10%相比，高估了該單元的損傷程度，但相對誤差較小，為1.58%。該工況數(shù)值模擬識別也存在誤判，誤將第3號和6號周期單元識別為損傷位置，但誤判單元的損傷程度較小，僅為1.5%左右。工況2的數(shù)值仿真識別結果顯示其損傷位置有兩個：第2號周期單元損傷程度為12.45%；第8號周期單元損傷程度為18.4%，與實際在這兩個損傷位置設置的損傷程度10%與20%相比，識別結果高估了第2號周期單元的損傷程度，相對誤差為2.45%，同時低估了第8號周期單元的損傷程度，相對誤差為1.6%。另外，該工況數(shù)值模擬識別的誤判損傷單元為6號周期單元，誤判的損傷程度為0.9%，相對誤差較小。工況3的數(shù)值仿真識別結果顯示其損傷位置有三個：第2號周期單元損傷程度為13.3%；第4號周期單元損傷程度為8.5%，與實際損傷程度15%和10%相比，都低估了其損傷程度，相對誤差在1.5%以內，比較精確；第8號周期單元損傷程度為21.1%，與實際損傷程度20%相比，識別結果高估了第8號周期單元的損傷程度，相對誤差為1.1%，精確度較高。

從上述3種損傷工況的損傷識別結果對比圖及其結果分析可以看出，盡管部分工況的識別結果存在損傷位置誤判的情況，但由于識別出的誤判損傷位置的損傷程度相對較小，不影響對最終損傷位置的判定，理論推導結果更是與實際損傷無明顯誤差。因此，采用本文所提基于頻率的周期結構損傷識別方法識別疊層橡膠隔震支座結構時，能夠較準確地識別出損傷位置和損傷程度。

4 結" 論

本文提出了一種基于自振頻率的疊層橡膠隔震支座的損傷識別方法。研究了周期單元總數(shù)為10的含單損傷及多損傷單元的有限周期系統(tǒng)，推導得到了該周期系統(tǒng)的頻率特征方程。再結合敏感度方程，基于周期疊層橡膠支座的自振頻率，提出了能夠識別該支座的損傷識別公式，實現(xiàn)了對周期疊層橡膠支座損傷位置以及損傷程度的準確識別。創(chuàng)新性地引入了上部結構的簡化模型，使計算模型更加符合工程實際。對比了將上部結構計算模型簡化為單自由度集中質量以及8層建筑結構兩種工況下的疊層橡膠隔震支座各階頻率敏感度系數(shù)，發(fā)現(xiàn)了上部結構的簡化方法并不會影響疊層橡膠隔震支座周期系統(tǒng)本身特性，疊層橡膠隔震支座的結構特性僅受兩端的約束條件以及上部結構具體傳遞的阻抗大小的影響。分析發(fā)現(xiàn)，使用提高計算精度同時調整計算時的迭代次數(shù)的非負最小二乘曲線擬合數(shù)值優(yōu)化算法，可以有效解決損傷位置對稱性的問題。數(shù)值仿真損傷識別結果進一步證實了本文方法能夠比較準確識別出周期結構的損傷位置與損傷程度。

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Frequency based damage identification of laminated rubber isolation bearing

Wu Qiao?yun1，2， Wang Hong?wei2， Feng Hai2， HUANG Ying?hong3， Jing Guo?qiang1， Ding Lan4

（1.State Key Laboratory for Health and Safety of Bridge Structures， Wuhan 430034， China；2.School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan Institute of Technology， Wuhan 430073， China；3.China Power Construction Engineering Consulting Central Southern Co.， Ltd.， Wuhan 430071， China；4.Faculty of Engineering， China University of Geosciences， Wuhan 430074， China）

Abstract： A damage identification method of laminated rubber bearing based on its natural frequency is proposed in this paper. Through the periodic structural characteristics of laminated rubber bearings and the characteristic waveguide nano method of the periodic structure， the relationship between the natural frequency and the change of overall shear modulus of the basic periodic unit is deduced， and the sensitivity identification equations of the rate of natural frequency change to unit damage is established. The identification equation set is solved by the constrained optimization method. The damage identification of the laminated rubber isolation bearing based on the change of natural frequency is therefore realized. The example of the calculation model considers the influence of the upper structure on the rubber bearing at the bottom layer， which makes the calculation model more in line with practical engineering. The effectiveness and accuracy of the damage identification method proposed in this paper is verified by the three-dimensional finite element numerical siulation analysis.

Key words： damage identification； laminated rubber bearing；sensitivity analysis；periodic structure；natural frequency

作者簡介： 吳巧云（1985―），女，博士，教授。E?mail：wuqiaoyun@wit.edu.cn。

通訊作者： 丁" 蘭（1985―），女，博士，副教授。E?mail：hyhwqy@163.com。