波浪耦合作用下浮式風(fēng)機(jī)非線性系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法及其在振動控制中的應(yīng)用

摘要： 針對海上浮式風(fēng)機(jī)既有分析方法難以高效率地預(yù)測其隨機(jī)動力響應(yīng)這一問題，提出了一種基于統(tǒng)計(jì)線性化算法的波浪耦合作用下浮式風(fēng)機(jī)非線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)快速計(jì)算方法，并對其在浮式風(fēng)機(jī)振動控制中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。以Spar型海上浮式風(fēng)機(jī)為對象，基于拉格朗日方程建立了其4?DOF的波浪耦合作用下的非線性模型，并驗(yàn)證了所建模型的準(zhǔn)確性。在所建立的非線性模型基礎(chǔ)上，提出了基于統(tǒng)計(jì)線性化算法的Spar型浮式風(fēng)機(jī)隨機(jī)振動分析方法，并從多方面對該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法能將計(jì)算效率提升4，5個(gè)數(shù)量級，且具有足夠精度。將該方法應(yīng)用于浮式風(fēng)機(jī)振動控制中，高效率地實(shí)現(xiàn)受TMD控制下的風(fēng)機(jī)的控制參數(shù)優(yōu)化和性能分析，得到了TMD的最優(yōu)控制參數(shù)，發(fā)現(xiàn)TMD對浮式風(fēng)機(jī)的振動控制效果有隨海況等級的提高逐步降低的趨勢。所提出方法兼具高精度、高效率和在不同海況下的普適性，同時(shí)也為海上浮式風(fēng)機(jī)的設(shè)計(jì)優(yōu)化、疲勞分析、可靠性驗(yàn)算等基于統(tǒng)計(jì)特性的研究提供了一種高效的分析方法。

關(guān)鍵詞： 隨機(jī)響應(yīng)； 非線性耦合模型； 海上浮式風(fēng)機(jī)； 統(tǒng)計(jì)線性化； 振動控制

中圖分類號： O324； TK83； TB535""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2024）07-1151-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.07.007

收稿日期： 2022-10-12； 修訂日期： 2022-11-27

基金項(xiàng)目："國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（52378313）。

引" 言

海上漂浮式風(fēng)機(jī)是隨著海上風(fēng)電的快速發(fā)展，為獲取深海更豐富、更持久的風(fēng)能，同時(shí)規(guī)避陸上和近海風(fēng)機(jī)對環(huán)境和視覺的影響而提出的一種風(fēng)力發(fā)電裝置，由于受周邊環(huán)境影響小，適合大規(guī)模開發(fā)，已成為當(dāng)今風(fēng)能發(fā)展的重要方向［1］。海上浮式風(fēng)機(jī)位處深遠(yuǎn)海，根據(jù)不同海域條件有多種結(jié)構(gòu)形式［2］，一般由浮式平臺、塔架、風(fēng)機(jī)和系泊系統(tǒng)等部分構(gòu)成，是一種復(fù)雜的多體系統(tǒng)。

浮式風(fēng)機(jī)受荷復(fù)雜，在風(fēng)、浪、流等激勵(lì)下具有復(fù)雜的動力特性，存在大幅度搖蕩和多因素形成的振動。這些振動不僅對風(fēng)機(jī)部件壽命和整體安全性帶來影響，而且還會使風(fēng)機(jī)的功率產(chǎn)生波動，導(dǎo)致電力輸出的不穩(wěn)定［3］。因此，對浮式風(fēng)機(jī)的動力特性進(jìn)行深入研究并對其振動進(jìn)行有效的抑制對于保證風(fēng)機(jī)安全、經(jīng)濟(jì)、可靠地運(yùn)行和電力的穩(wěn)定輸出具有極其重要的價(jià)值和意義，是目前浮式風(fēng)機(jī)研究中的一個(gè)熱點(diǎn)。

在浮式風(fēng)機(jī)振動控制的研究過程中，研究者根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，所用風(fēng)機(jī)模型有簡化的線性模型或復(fù)雜的非線性耦合模型［4?6］，其中非線性耦合模型由于考慮了部件之間的相互作用和幾何非線性效應(yīng)，以及部件與載荷之間的耦合效應(yīng)，因而能全面反映風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動和力學(xué)特性［7?9］，對于浮式風(fēng)機(jī)的精準(zhǔn)計(jì)算和控制研究更具優(yōu)勢和意義。不過，由于非線性耦合模型建模精細(xì)、復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用中存在計(jì)算成本過高的問題，特別是浮式風(fēng)機(jī)的動力時(shí)程分析，即使單一工況也需較長的計(jì)算時(shí)間。這在考慮風(fēng)、浪等激勵(lì)的隨機(jī)性，進(jìn)行風(fēng)機(jī)振動控制策略以及最優(yōu)控制參數(shù)分析時(shí)就會因計(jì)算量過大而難以得到應(yīng)用，因此急需尋找一種針對浮式風(fēng)機(jī)非線性耦合模型的高效、精準(zhǔn)的計(jì)算方法。

本文即是在以上背景下展開研究的，提出了一種針對浮式風(fēng)機(jī)非線性耦合模型的統(tǒng)計(jì)線性化方法［10］對風(fēng)機(jī)響應(yīng)計(jì)算進(jìn)行高效處理，并對該方法在風(fēng)機(jī)振動控制中的應(yīng)用進(jìn)行研究。事實(shí)上，作為一種經(jīng)過多年發(fā)展的可用于復(fù)雜非線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算的高效率工具，統(tǒng)計(jì)線性化方法在海洋結(jié)構(gòu)中已有所應(yīng)用［11?12］，在浮式風(fēng)機(jī)隨機(jī)動力響應(yīng)預(yù)測上也有報(bào)道［13?14］。不過在這些研究中，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型基本上采用的是簡化的線性模型，只是考慮了水動力和氣動力與結(jié)構(gòu)耦合產(chǎn)生的非線性項(xiàng)，對于計(jì)入結(jié)構(gòu)自身非線性的浮式風(fēng)機(jī)統(tǒng)計(jì)線性化方法國內(nèi)外還沒有較深入的研究。這種模型在激勵(lì)小，系統(tǒng)響應(yīng)不大時(shí)是可行的，但當(dāng)激勵(lì)較大，風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動和平動過大時(shí)，該計(jì)算方法就會存在不可忽略的誤差，具有局限性。

由于浮式風(fēng)機(jī)所處環(huán)境復(fù)雜，在不同工況下有多種受荷模式，如靜力、純風(fēng)、純浪以及風(fēng)?浪聯(lián)合激勵(lì)等，考慮到本研究的復(fù)雜性，這里先僅對波浪耦合作用下的海上浮式風(fēng)機(jī)非線性系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法進(jìn)行探討，并以目前研究較多的Spar型浮式風(fēng)機(jī)為對象對該方法進(jìn)行分析和驗(yàn)證。需要說明的是，本文所提方法不僅僅只用于風(fēng)機(jī)的振動控制，對其他需要進(jìn)行大量數(shù)值模擬分析的問題，如風(fēng)機(jī)的選址、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化、可靠性分析以及構(gòu)件的疲勞分析等均不失為一種強(qiáng)有力的計(jì)算工具。

1 浮式風(fēng)機(jī)的非線性耦合模型

以Spar型浮式風(fēng)機(jī)作為本文的研究對象，以其4?DOF的耦合模型（如圖1所示）為例展開研究。四個(gè)自由度分別是平臺的縱蕩（Surge，）、垂蕩（Heave，）、縱搖（Pitch，）及塔架頂端的前后振動（Fore?aft vibration，）。圖1中和分別表示風(fēng)機(jī)和平臺的重心；為未擾動狀態(tài)下平臺的干表面高度；其他變量在后續(xù)推導(dǎo)過程中描述。

該模型考慮塔架的彈性變形，并按一體化的建模方式考慮子結(jié)構(gòu)間的非線性耦合。不失一般性，建模過程中做如下簡化：

（1）假設(shè)平臺為剛體，塔架為彈性懸臂梁，忽略塔架軸向變形，并僅考慮其一階振動；

（2）忽略塔架振動導(dǎo)致的頂部額外轉(zhuǎn)角；

（3）塔頂以上的風(fēng)機(jī)部分簡化為集中質(zhì)量集成于結(jié)構(gòu)。

1.1 系統(tǒng)坐標(biāo)系

如圖1所示，引入全局坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系兩個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系來描述Spar型浮式風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)動。全局坐標(biāo)系位于牛頓（廣義）參考系中，其原點(diǎn)位于風(fēng)機(jī)靜止時(shí)平臺縱軸與靜水水面（橫軸）的交點(diǎn)，用于建立浮式風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)動方程；局部坐標(biāo)系隨平臺參考系運(yùn)動，其初始原點(diǎn)與的原點(diǎn)重合，用于描述浮式風(fēng)機(jī)的幾何特性和相對位移。

1.2 耦合模型建立

海上浮式風(fēng)機(jī)漂浮于海面，缺乏與海底的剛性連接，相較于固定式風(fēng)機(jī)在服役期間會產(chǎn)生更大的轉(zhuǎn)動和平動，使得各子結(jié)構(gòu)的重心位置發(fā)生較大變化，幾何非線性明顯，屬于復(fù)雜的非線性耦合時(shí)變系統(tǒng)。采用拉格朗日方程對該模型進(jìn)行推導(dǎo)，該方法基于變分原理通過結(jié)構(gòu)動能和勢能的廣義微分表達(dá)式建立結(jié)構(gòu)的控制方程，如下式所示：

（1）

式中" 和分別表示系統(tǒng)的廣義動能和廣義勢能；表示在第自由度上施加的激勵(lì)。

1.2.1 結(jié)構(gòu)位置描述

全局坐標(biāo)系下圖1所示平臺和風(fēng)機(jī)重心以及塔架的位置矢量分別如下：

（2）

（3）

（4）

式中" ，分別為平臺重心和風(fēng)機(jī)重心位置矢量；為彈性塔架高度處的位置矢量；為平臺平動矢量，如下式所示：

（5）

為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：

（6）

，和分別表示平臺重心、風(fēng)機(jī)重心以及塔架高度處在局部坐標(biāo)系的位置矢量，表達(dá)式分別為：

（7）

（8）

（9）

式中" 和分別對應(yīng)未擾動狀態(tài)下平臺重心和風(fēng)機(jī)重心與靜止水平面的高差； 為歸一化的塔架一階振型形狀函數(shù)［9］。

1.2.2 系統(tǒng)能量

基于所獲取的結(jié)構(gòu)廣義運(yùn)動表達(dá)式便可進(jìn)一步確定各子系統(tǒng)的廣義能量，計(jì)算過程中所需速度矢量可由位置矢量對時(shí)間求導(dǎo)得到，即：

（10）

平臺的轉(zhuǎn)動角速度則為：

（11）

系統(tǒng)的廣義動能T由平臺、塔架和風(fēng)機(jī)的動能之和組成，其中平臺動能包括平動和轉(zhuǎn)動動能，表達(dá)式為：

（12）

廣義勢能V則由系統(tǒng)的重力勢能和塔架的彈性勢能構(gòu)成，具體為：

（13）

式中" mp和Jp分別表示平臺的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；和分別表示塔架和風(fēng)機(jī)重心的全局速度矢量；Nt，Δh和hn分別表示塔架的總單元數(shù)量、單元長度和第n段單元的重心高度；和分別表示第n段分布式塔架單元的均布質(zhì)量和其重心的全局位置矢量；mwt為風(fēng)機(jī)質(zhì)量；g為重力加速度；表示全局坐標(biāo)系的z軸，表示全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)矢量在z軸方向上的投影；為第n段分布式塔架單元的抗側(cè)剛度。

將式（12）和（13）代入式（1）可得到4?DOF的Spar型海上浮式風(fēng)機(jī)非線性耦合模型，經(jīng)整理如下：

（14）

式中" 表示系統(tǒng)各自由度方向上的位移列向量；和為系統(tǒng)阻尼矩陣和剛度矩陣；為系統(tǒng)所受外激勵(lì)；，和分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、重力向量和非線性附加力向量，由拉格朗日方程導(dǎo)出，表達(dá)式如下：

（15）

（16）

（17）

式中" 為結(jié)構(gòu)特征參數(shù)，表達(dá)式如下：

（18）

1.3 系統(tǒng)激勵(lì)

浮式風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的外激勵(lì)比較復(fù)雜，主要有靜水力、系泊力、水動力和氣動力等，本文先只探討水動力下的耦合作用，此時(shí)系統(tǒng)激勵(lì)為：

（19）

式中" 為由浮力產(chǎn)生的靜水力；為系泊系統(tǒng)產(chǎn)生的系泊力；為水動力。因后續(xù)研究需要，這里對水動力進(jìn)行稍詳細(xì)的介紹，靜水力與系泊力則通過初始力和附加線性剛度的方式進(jìn)行處理［15］。

根據(jù)線性勢流理論和Morison方程［16］，浮式風(fēng)機(jī)的水動力可表示為：

（20）

式中" β為入射波相對于風(fēng)機(jī)朝向的方位角；為Morison方程的附加阻尼矩陣；為水動力的附加質(zhì)量矩陣；是由多個(gè)不同頻率的非規(guī)則海浪力疊加而成的隨機(jī)激勵(lì)，基于Airy波理論可以通過隨機(jī)過程表達(dá)如下［17?18］：

（21）

式中" 下標(biāo)表示該參數(shù)對應(yīng)于非規(guī)則海浪的第分量；為海浪分量的數(shù)量，其中和分別為海浪分量截止頻率和頻率間隔；表示海浪的第分量頻率；為均勻隨機(jī)分布于［0，2π］的隨機(jī)相位角；為歸一化表示的海浪力，它與海浪的頻率ω、入射角β和平臺的形狀相關(guān)；為單側(cè)Pierson?Moskowitz（P?M）譜［17］，其表達(dá)式為：

（22）

式中" Hs為海浪的有效波高；p=Tp/（2π）和Tp分別對應(yīng)于海浪峰值頻率和周期。

另外，式（20）中為Morison方程表示的黏滯水動力，由于平臺表面流體顆粒速度沿深度方向非線性分布，可將作用于平臺濕表面的耦合黏滯水動力沿深度方向離散為Nz段進(jìn)行計(jì)算后求和，即：

（23）

式中" CD為Morison方程中的歸一化黏阻系數(shù)；

Nz=Lsp/z為非線性水動力的分段單元總數(shù)，Lsp和z分別為平臺的濕表面長度和離散單元的分段長度；D（zm）表示位于zm深度處的平臺截面直徑；v（zm，t）表示深度zm處的水粒子與平臺表面的相對

速度，其表達(dá)式為：

（24）

式中" vwave（zm，t）為深度zm處的水粒子速度，使用譜表現(xiàn)法對其進(jìn)行模擬［17?18］：

（25）

式中" 表示對應(yīng)于頻率的海浪分量的波速幅值：

（26）

式中" dsb為海床深度；為波數(shù)，通過隱式頻散關(guān)系進(jìn)行確定［15］。

結(jié)合式（19）和（20），并將與系統(tǒng)運(yùn)動相關(guān)的線性激勵(lì)分別轉(zhuǎn)換為線性質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣代入，則式（14）可轉(zhuǎn)化為以下形式：

（27）

式中" 為靜水等效剛度矩陣，考慮了在結(jié)構(gòu)運(yùn)動過程中排水量變化導(dǎo)致的浮力變化以及結(jié)構(gòu)運(yùn)動導(dǎo)致的浮心變化；為線性系泊等效剛度矩陣，可由中心差分?jǐn)_動的數(shù)值方法獲得；和為無擾動情況下浮式風(fēng)機(jī)所受的浮力和系泊力。

基于以上建立的浮式風(fēng)機(jī)非線性運(yùn)動方程，可以使用數(shù)值算法在時(shí)域中對其進(jìn)行求解。另外，結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)也可以通過Monte Carlo模擬低效率地求得（相對于本文算法）。

2 浮式風(fēng)機(jī)非線性系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法

為提高計(jì)算效率、減少計(jì)算成本，本節(jié)將使用統(tǒng)計(jì)線性化方法對浮式風(fēng)機(jī)非線性耦合模型進(jìn)行處理，然后基于譜密度轉(zhuǎn)化法和維納?辛欽公式建立系統(tǒng)的頻域運(yùn)動方程，最后迭代求解獲取該系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)響應(yīng)特性。

2.1 統(tǒng)計(jì)線性化過程

假定系統(tǒng)響應(yīng)分布符合零均值高斯分布，通過統(tǒng)計(jì)線性化處理可將浮式風(fēng)機(jī)非線性耦合模型轉(zhuǎn)化為如下的等效線性運(yùn)動方程：

（28）

式中" ，，，分別為轉(zhuǎn)化后的等效質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和外激勵(lì)矩陣，其中：

（29）

（30）

（31）

式中" ，，和分別是由非線性附加力轉(zhuǎn)化而來的等效質(zhì)量、等效阻尼、等效剛度矩陣和由非線性水動力轉(zhuǎn)化來的等效阻尼矩陣，可通過統(tǒng)計(jì)線性化方法得到［10］，即：

（32）

（33）

（34）

（35）

式中" 表示數(shù)學(xué)期望；和分別表示和的雅可比矩陣。

式（27）中的恒定力，，三力近乎平衡，在頻域計(jì)算中可忽略其對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，結(jié)合式（32）～（35）中對非線性附加力的線性化，等效線性系統(tǒng)所受外力為：

（36）

由于浮式風(fēng)機(jī)運(yùn)動方程中包含多個(gè)自由度之間非線性耦合的多項(xiàng)式，在應(yīng)用統(tǒng)計(jì)線性化方法的過程中涉及到這些多項(xiàng)式的期望求解，為解決該問題，假定所考慮的四個(gè)自由度符合聯(lián)合高斯分布，引入多維概率密度函數(shù)的廣義表達(dá)式如下：

（37）

式中" 表示的維數(shù)；為中各項(xiàng)的協(xié)方差矩陣；為中的對應(yīng)元素。

將由拉格朗日方程獲得的非線性附加力（式（17））與式（32）～（34）相結(jié)合，并通過上述多維聯(lián)合概率密度函數(shù)求得耦合非線性項(xiàng)的期望函數(shù)，進(jìn)一步地得到非線性附加力轉(zhuǎn)化而來的等效線性矩陣如下：

（38）

（39）

（40）

式中" 為響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差，其下標(biāo)表示對應(yīng)的自由度；表示兩自由度與響應(yīng)之間的相關(guān)系數(shù)。

將式（23）代入式（35），可獲得非線性水動力的等效阻尼矩陣：

（41）

結(jié)合式（24），流固相對速度絕對值的期望為：

（42）

式中" 為波速標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)合式（26）可表示為：

（43）

將獲取的等效線性項(xiàng)（式（38）～（41））代入式（28），可以得到浮式風(fēng)機(jī)的等效線性運(yùn)動方程。由于等效線性方程中存在未知的響應(yīng)二階矩，可通過響應(yīng)譜密度轉(zhuǎn)化法［18］建立關(guān)于響應(yīng)二階矩的隱式方程。

2.2 譜密度轉(zhuǎn)化法

為表現(xiàn)等效線性參數(shù)與統(tǒng)計(jì)響應(yīng)特性之間的隱式關(guān)系，引入譜密度轉(zhuǎn)化法建立非線性浮式風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的等效頻域動力平衡關(guān)系。

對式（28）進(jìn)行傅里葉變換可以得到對應(yīng)頻域的運(yùn)動方程：

（44）

在此基礎(chǔ)上可以得到系統(tǒng)的復(fù)頻響函數(shù)，建立系統(tǒng)所受激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系：

""" （45）

進(jìn)一步，系統(tǒng)的平穩(wěn)響應(yīng)譜密度可以通過維納?辛欽公式獲取，如下式：

（46）

式中" 表示共軛轉(zhuǎn)置；和分別表示響應(yīng)譜密度矩陣和激勵(lì)譜密度矩陣；為由波浪力的歸一化系數(shù)組成的調(diào)制矩陣。

基于響應(yīng)譜密度，系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的協(xié)方差表示為：

（47）

式中" 和的上、下標(biāo)分別表示相應(yīng)的響應(yīng)對時(shí)間求導(dǎo)的階數(shù)和對應(yīng)的自由度；為中的元素。

聯(lián)立式（44）～（47）便可獲得結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)響應(yīng)特性，為此本文采取迭代法對方程組進(jìn)行求解。

2.3 迭代求解

基于統(tǒng)計(jì)線性化的系統(tǒng)隨機(jī)動力響應(yīng)迭代求解過程如圖2所示，通常需要5～10次迭代完成收斂，耗時(shí)約0.01 s；圖中q為迭代變量的協(xié)方差；q0為協(xié)方差初值。

2.4 算例驗(yàn)證

以文獻(xiàn)［15］中美國國家可再生能源實(shí)驗(yàn)室（NERL）給出的OC3?Hywind Spar型浮式風(fēng)機(jī)為例對所提方法進(jìn)行驗(yàn)證。該平臺搭載5 MW基準(zhǔn)風(fēng)力發(fā)電機(jī)，具體參數(shù)見文獻(xiàn)［15，19］。

算例選用的海況及對應(yīng)的特征值［20］如表1所示，海浪的模擬將基于單側(cè)P?M浪高譜進(jìn)行。為覆蓋平臺的超低頻振動（lt;0.2 rad/s）和捕捉塔架的高頻振動，海浪樣本的時(shí)間長度和時(shí)間間隔選為2000 s和0.1 s?？紤]到海浪的能量分布特性，模擬用起始頻率，截止頻率，頻率間隔。

將所提方法（Proposed Method， PM）的計(jì)算結(jié)果與Monte Carlo模擬（MCS）結(jié)果進(jìn)行對比，并以目前得到廣泛應(yīng)用的FAST仿真結(jié)果為基準(zhǔn)，驗(yàn)證本文所提方法的準(zhǔn)確性和高效性，部分結(jié)果如圖3所示。

可以看出，在浮式風(fēng)機(jī)隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算方面，所提方法與Monte Carlo模擬吻合良好，證明了將統(tǒng)計(jì)線性化方法用于浮式風(fēng)機(jī)非線性耦合系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析中的可行性。同時(shí)，從圖3中可以看到，除塔架頂部振動的預(yù)測與FAST仿真有少許的誤差外（因其頂部風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的簡化引起），其他自由度方向的結(jié)果與FAST基本一致，表明了本文所建4?DOF的Spar型浮式風(fēng)機(jī)非線性耦合模型的準(zhǔn)確性。

計(jì)算用時(shí)方面，算例中每個(gè)海況模擬1000條海浪樣本進(jìn)行計(jì)算，F(xiàn)AST耗時(shí)約30000 s，Monte Carlo模擬耗時(shí)約4000 s，本文所提方法無需進(jìn)行繁瑣的樣本計(jì)算，耗時(shí)僅0.038～0.144 s，計(jì)算效率提升了4，5個(gè)數(shù)量級，顯示了該方法較高的計(jì)算效率，達(dá)到本文的研究目標(biāo)。

3 振動控制中的應(yīng)用

以浮式風(fēng)機(jī)的振動控制為例展示本文方法的優(yōu)越性和便捷性，結(jié)構(gòu)振動控制參數(shù)較多，特別是控制參數(shù)的取值對減振性能的影響分析往往需要大量的計(jì)算。算例所用控制裝置為傳統(tǒng)的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD），對象仍是上節(jié)的OC3?Hywind Spar型浮式風(fēng)機(jī)。

3.1 控制裝置

對TMD在浮式風(fēng)機(jī)中的安裝位置研究較多的是平臺和機(jī)艙兩個(gè)地方，分別用于對平臺結(jié)構(gòu)和塔架的振動控制。由于浮式風(fēng)機(jī)平臺結(jié)構(gòu)的超低頻特性，置于平臺的TMD裝置難以達(dá)到理想的控制效果。而頻率相對較高的塔架更容易被波浪激發(fā)，進(jìn)而導(dǎo)致塔基的疲勞效應(yīng)以及上部風(fēng)機(jī)裝置的加速損耗，影響風(fēng)機(jī)的安全運(yùn)營，因此對其振動進(jìn)行控制更具意義，本算例將對這一方式進(jìn)行探討。

置于機(jī)艙內(nèi)部的TMD工作示意圖如圖4所示，定義TMD質(zhì)量塊的滑動方向?yàn)樽杂啥?，原點(diǎn)位于質(zhì)量塊靜止時(shí)的質(zhì)心。以TMD質(zhì)量、剛度和阻尼描述TMD的特性，基于廣義坐標(biāo)描述TMD的運(yùn)動，并使用拉格朗日方程獲得TMD的動力平衡方程，將其與風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)動方程聯(lián)立可得到受控浮式風(fēng)機(jī)的運(yùn)動方程，具體過程可參考文獻(xiàn)［21］。

3.2 參數(shù)影響分析

TMD的參數(shù)，如質(zhì)量、剛度和阻尼對主體結(jié)構(gòu)的減振性能影響很大。一般TMD的質(zhì)量越大，減振效果就越好，不過鑒于機(jī)艙對附加質(zhì)量的敏感性，本算例取TMD質(zhì)量為（質(zhì)量比約為3%）。對于TMD的剛度，研究表明當(dāng)TMD的頻率調(diào)諧至結(jié)構(gòu)某個(gè)振型頻率附近時(shí)其對該振型反應(yīng)的控制效果最佳，但與一般工程結(jié)構(gòu)不同，浮式風(fēng)機(jī)屬于多體系統(tǒng)，各子結(jié)構(gòu)間相互耦合，頻率組成復(fù)雜，TMD自身頻率和阻尼對減振性能的影響要復(fù)雜得多，特別是考慮非線性耦合的浮式風(fēng)機(jī)模型，由于計(jì)算量巨大而鮮有報(bào)道，而本文所提方法的高計(jì)算效率使得該研究成為可能。

圖5為使用本文方法計(jì)算得到的本算例TMD剛度和阻尼與塔架在不同海況下的控制效果關(guān)系圖。計(jì)算中TMD的剛度依據(jù)塔架自振頻率（約3.278 rad/s）在范圍內(nèi)變化，阻尼的變化范圍取，海況則選用了中、低級別的1～4級。圖5中的半透明平面為對應(yīng)海況下無控時(shí)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，從中可以清晰地看出塔頂加速度標(biāo)準(zhǔn)差隨TMD剛度和阻尼的變化趨勢，并且可以明顯地看到控制系統(tǒng)所處的最優(yōu)控制參數(shù)區(qū)域，也有參數(shù)選擇不當(dāng)導(dǎo)致的響應(yīng)放大區(qū)域。經(jīng)進(jìn)一步細(xì)化計(jì)算，得到的各海況下本算例的最優(yōu)控制參數(shù)及減振情況如表2所示。從表2中可以看到，TMD對浮式風(fēng)機(jī)的振動控制效果有隨海況等級的提高逐步降低的趨勢，不過對高海況等級依舊有不錯(cuò)的控制效果（減震效果gt;20%）。

圖6給出了浮式風(fēng)機(jī)在1級海況和4級海況下最優(yōu)TMD控制（Best?TMD）與無控（Non?TMD）時(shí)的塔頂加速度響應(yīng)時(shí)程對比。另外，圖7給出了其響應(yīng)譜密度函數(shù)（PSD），以從頻率域了解基于本文方法得到的風(fēng)機(jī)振動控制情況，同時(shí)給出了蒙特卡羅模擬對比結(jié)果?？梢钥吹?，本文所提方法（PM）得到的PSD與MCS結(jié)果高度一致，證實(shí)了該方法運(yùn)用于TMD控制參數(shù)分析的有效性與精確性。從圖7中還可以看出，低級海況（海況1）時(shí)，浮式風(fēng)機(jī)激勵(lì)不大，響應(yīng)的能量集中于塔架自振頻段（約3.278 rad/s），在最優(yōu)參數(shù)TMD控制下，浮式風(fēng)機(jī)的響應(yīng)譜密度函數(shù)峰值大幅減小，且由單峰變?yōu)榱穗p峰（見圖7（a）），取得了非常好的控制效果（達(dá)60%）；而如圖7（b）所示的中級海況（海況4）下，隨著海浪波高的增加，對風(fēng)機(jī)的激勵(lì)增強(qiáng)，浮式風(fēng)機(jī)的非線性程度增大，塔架響應(yīng)能量分布逐漸呈現(xiàn)出多峰、寬頻帶的特點(diǎn)，雖然對應(yīng)的TMD最優(yōu)參數(shù)有一定改變，但減振效果相較于低級海況明顯減弱，見表2和圖6所示。

值得一提的是本文方法超高的計(jì)算效率，在本算例中，表2所示的參數(shù)優(yōu)化過程包含200個(gè)連續(xù)的剛度參數(shù)和200個(gè)連續(xù)的阻尼參數(shù)對應(yīng)的響應(yīng)計(jì)算，加上后續(xù)的二次細(xì)化，共計(jì)4萬多個(gè)工況，計(jì)算耗時(shí)僅314 s，平均單個(gè)工況所需時(shí)間不到0.01 s。

4 結(jié)" 論

基于統(tǒng)計(jì)線性化過程提出了一種用于波浪耦合作用下海上浮式風(fēng)機(jī)非線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動分析方法，并運(yùn)用此方法高效率地實(shí)現(xiàn)了受TMD控制下的海上浮式風(fēng)機(jī)控制參數(shù)分析與優(yōu)化，主要結(jié)論如下：

（1）建立了4?DOF的Spar型海上浮式風(fēng)機(jī)波浪耦合作用下的非線性模型，通過與FAST仿真結(jié)果對比驗(yàn)證了所建模型的準(zhǔn)確性。

（2）提出了一種基于統(tǒng)計(jì)線性化算法的波浪耦合作用下浮式風(fēng)機(jī)非線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)快速計(jì)算方法，并通過與耦合模型和FAST的計(jì)算結(jié)果對比，對該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法將計(jì)算效率提升了4，5個(gè)數(shù)量級。

（3）對該方法在浮式風(fēng)機(jī)的振動控制進(jìn)行了應(yīng)用研究，結(jié)果表明該方法能高效率地實(shí)現(xiàn)受TMD控制下的風(fēng)機(jī)控制參數(shù)優(yōu)化和性能分析，得到了TMD的最優(yōu)控制參數(shù)。

（4）TMD對本文Spar型浮式風(fēng)機(jī)的振動控制效果有隨海況等級的提高逐步降低的趨勢。

（5）所提方法可以快速獲取海上浮式風(fēng)機(jī)的隨機(jī)動力特性，具有較為廣闊的應(yīng)用前景。

當(dāng)然，由于浮式風(fēng)機(jī)模型的復(fù)雜性，該方法作為一種嘗試，文中僅探討了波浪激勵(lì)這一工況，且模型中未考慮槳葉旋轉(zhuǎn)、槳距控制等方面，還有待進(jìn)一步的研究。

參考文獻(xiàn)：

［1］"""" 閔兵， 王夢川， 傅小榮， 等. 海上風(fēng)電是風(fēng)電產(chǎn)業(yè)未來的發(fā)展方向——全球及中國海上風(fēng)電發(fā)展現(xiàn)狀與趨勢［J］. 國際石油經(jīng)濟(jì)， 2016， 24（4）： 29-36.

Min B， Wang M C， Fu X R， et al. Offshore wind power as the development trend of wind industry?developments of global offshore wind power［J］. International Petroleum Economics， 2016， 24（4）： 29-36.

［2］"""" Pérez-Collazo C， Greaves D， Iglesias G. A review of combined wave and offshore wind energy［J］. Renewable and Sustainable Energy Reviews， 2015， 42： 141-153.

［3］"""" 葉小嶸， 張亮， 吳海濤， 等. 平臺運(yùn)動對海上浮式風(fēng)機(jī)的氣動性能影響研究［J］. 華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2012， 40（3）： 123-126.

Ye X R， Zhang L， Wu H T， et al. Influence of platform motion response on aerodynamic performance of floating offshore wind turbine［J］. Journal of Huazhong University of Science and Technology（Natural Science Edition）， 2012， 40（3）： 123-126.

［4］"""" Si Y， Karimi H R， Gao H. Modelling and optimization of a passive structural control design for a spar-type floating wind turbine［J］. Engineering Structures， 2014， 69： 168-182.

［5］"""" Yang J J， He E M. Coupled modeling and structural vibration control for floating offshore wind turbine［J］. Renewable Energy， 2020， 157： 678-694.

［6］"""" Jahangiri V， Sun C. Three-dimensional vibration control of offshore floating wind turbines using multiple tuned mass dampers［J］. Ocean Engineering， 2020， 206： 107196

［7］"""" Al-Solohat M K， Nahon M. Flexible multibody dynamic modeling of a floating wind turbine［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2018， 142?143： 518-529.

［8］"""" 劉增輝， 陳建兵， 宋玉鵬，等. 考慮槳葉伺服控制的浮式風(fēng)機(jī)多剛體動力學(xué)建模與驗(yàn)證［J］. 振動工程學(xué)報(bào)， 2023， 36（4）： 892?902.

Liu Z H， Chen J B， Song Y P，et al. Modeling and verification of multi-rigid body dynamics of floating offshore wind turbines considering servo control［J］. Journal of Vibration Engineering， 2023， 36（4）： 892?902.

［9］"""" 李書進(jìn)， 鄭達(dá)成， 孔凡. 海上浮式風(fēng)機(jī)多體系統(tǒng)耦合動力模型研究［J］. 振動工程學(xué)報(bào)， 2024， 37（1）： 20?30.

Li S J， Zheng D C， Kong F. Coupled dynamic model of multi-body system of floating offshore wind turbine［J］. Journal of Vibration Engineering， 2024， 37（1）： 20?30.

［10］""" Booton R C. The analysis of nonlinear control systems with random inputs［C］∥Proceedings of MRI Symposium on Nonlinear Circuits， 1953： 341-344.

［11］""" Spanos P D， Ghosh R， Finn L D， et al. Coupled analysis of a spar structure： Monte Carlo and statistical linearization solutions［J］. Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering， 2005， 127（1）： 11-16.

［12］""" Low Y M. Frequency domain analysis of a tension leg platform with statistical linearization of the tendon restoring forces［J］. Marine Structures， 2009， 22（3）： 480-503.

［13］""" Kluger J M， Sapsis T P， Slocum A H. A reduced-order， statistical linearization approach for estimating nonlinear floating wind turbine response statistics［C］∥Proceedings of the 26th International Ocean and Polar Engineering Conference. Rhodes， Greece， 2016： 545-552.

［14］""" Silva L S P D， Cazzolato B S， Sergiienko N Y， et al. Efficient estimation of the nonlinear aerodynamic loads of floating offshore wind turbines under random waves and wind in frequency domain［J］. Journal of Ocean Engineering and Marine Energy， 2021， 7（3）： 287-303.

［15］""" Jonkman J M. Definition of the floating system for Phase Ⅳ of OC3［R］. Golden， Colorado： National Renewable Energy Lab.， 2010： 2-21.

［16］""" Dinh V N， Basu B. Passive control of floating offshore wind turbine nacelle and spar vibrations by multiple tuned mass dampers［J］. Structural Control and Health Monitoring， 2015， 22（1）： 152-176.

［17］""" Newman J N. Marine Hydrodynamics［M］. Cambridge： MIT Press， 2018.

［18］""" Shinozuka M， Deodatis G. Simulation of stochastic processes by spectral representation［J］. Applied Mechanics Reviews， 1991， 44（4）： 191-204.

［19］""" Jonkman J M， Butterfield S， Musial W， et al. Definition of a 5-MW reference wind turbine for offshore system development［R］. Golden， Colorado： National Renewable Energy Lab.， 2009： 7-18.

［20］""" Nielsen F G， Hanson T D， Skaare B. Integrated dynamic analysis of floating offshore wind turbines［C］∥25th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering. Hamburg， Germany， 2006： 92291.

［21］""" Dinh V N， Basu B. Passive control of floating offshore wind turbine nacelle and spar vibrations by multiple tuned mass dampers［J］. Structural Control and Health Monitoring， 2015， 22（1）： 152-176.

Statistical linearization method for nonlinear system of FOWT under coupled wave excitation and its application in vibration control

LI Shu-jin， LI Yi-fei， HAN Ren-jie

（School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China）

Abstract： Aiming at the problem that the existing analysis methods for the floating offshore wind turbine （FOWT） cannot efficiently predict the random dynamic response when considering the nonlinear coupling model， a fast calculation method of the random response of the FOWT nonlinear system under coupled wave excitation based on the statistical linearization algorithm is proposed， and its application in the vibration control of FOWT is studied. Taking the Spar FOWT as the object， a nonlinear model under the wave coupling excitation of 4-DOF is established based on the Lagrange equation， and the accuracy of the model is verified. On the basis of the established nonlinear model， a random vibration analysis method for this Spar FOWT based on statistical linearization algorithm is proposed， and the method is verified in many aspects. The results show that the method can improve the calculation efficiency by 4～5 orders of magnitude and has sufficient accuracy. The method is applied to the vibration control of the FOWT. The optimization of the control parameters and performance analysis of the FOWT under the control of TMD are efficiently realized， and the optimal control parameters of TMD are obtained. It is found that the vibration control effect of TMD on the FOWT tends to decrease gradually with an increase of the sea state level. In general， the proposed method has high accuracy， high efficiency and generality in different sea conditions， and also provides an efficient analysis method for the design optimization， fatigue analysis， reliability analysis and other research based on statistical characteristics of FOWT.

Key words： random response；nonlinear coupling model；floating offshore wind turbine（FOWT）；statistical linearization；vibration control

作者簡介： 李書進(jìn)（1967—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：sjli@whut.edu.cn。