基于塔內(nèi)位移觀測(cè)器和均衡空間低維控制器的高塔結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)

摘要： 高塔結(jié)構(gòu)振動(dòng)適合也需要主動(dòng)控制技術(shù)，但需要滿足位移直接觀測(cè)和單點(diǎn)控制下的低維高效控制。本文應(yīng)用現(xiàn)代攝像觀測(cè)技術(shù)，建立了一套從塔內(nèi)實(shí)時(shí)連續(xù)觀測(cè)振動(dòng)位移的方法，為高塔結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制提供了最直接的位移觀測(cè)器，避免了以往只能建立加速度觀測(cè)器，經(jīng)濾波后再與假定的外荷載結(jié)合計(jì)算輸出位移的冗長(zhǎng)過程?；诰庀到y(tǒng)空間變換和平衡截?cái)喾?，?duì)頂端設(shè)置主動(dòng)質(zhì)量塊的高塔結(jié)構(gòu)進(jìn)行降維，可以有效保留結(jié)構(gòu)的主要?jiǎng)恿μ匦?。以某施工狀態(tài)的700 m高塔為例，進(jìn)行了風(fēng)振和地震的主動(dòng)控制仿真分析。結(jié)果表明：以少數(shù)位移狀態(tài)作為反饋信號(hào)的降維控制器的控制效果和基于全狀態(tài)反饋的全維控制器基本一致，可以作為高塔結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主動(dòng)控制策略。

關(guān)鍵詞： 主動(dòng)控制； 位移觀測(cè)器； 均衡空間； 攝像測(cè)量； 低維控制器

中圖分類號(hào)： TU352.1""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）07-1126-13

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.07.005

收稿日期： 2022-07-09； 修訂日期： 2022-09-21

基金項(xiàng)目："國(guó)家自然科學(xué)基金聯(lián)合基金資助項(xiàng)目（U2141242）；國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目（52208478）。

引 言

結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制技術(shù)可分為被動(dòng)控制、半主動(dòng)控制和主動(dòng)控制。主動(dòng)控制技術(shù)具有嚴(yán)密的科學(xué)理論、更寬的抑制頻率范圍、較好的振動(dòng)控制效果和多學(xué)科交叉融合的特征，一直受到學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注。高塔結(jié)構(gòu)比較適合也迫切需要主動(dòng)控制技術(shù)［1?5］。如某國(guó)計(jì)劃建造的觀光塔，高度超過千米，預(yù)計(jì)施工期五年，施工狀態(tài)的結(jié)構(gòu)周期變化為5倍，且內(nèi)部空間小，主動(dòng)控制是保障其施工安全的理想方式。近年發(fā)展迅速的大型風(fēng)力機(jī)也很需要主動(dòng)控制技術(shù)，風(fēng)力機(jī)塔筒長(zhǎng)細(xì)比可達(dá)15，長(zhǎng)期處于強(qiáng)烈的振動(dòng)狀態(tài)。傳統(tǒng)的TMD被動(dòng)控制至少需要兩套設(shè)備來(lái)分別控制1，2階模態(tài)，并且因塔內(nèi)行程受限，TMD減振效果不理想。高塔結(jié)構(gòu)具備主動(dòng)控制需要的供電條件和設(shè)備安裝條件，但也有兩個(gè)特別的難題：一是振動(dòng)位移測(cè)量難，二是一個(gè)作動(dòng)器需要控制多階模態(tài)振動(dòng)。

主動(dòng)控制需要實(shí)時(shí)識(shí)別結(jié)構(gòu)振動(dòng)狀態(tài)，即實(shí)時(shí)準(zhǔn)確識(shí)別振動(dòng)位移和速度，為計(jì)算控制力提供依據(jù)。在信息技術(shù)不先進(jìn)的時(shí)代，無(wú)法實(shí)現(xiàn)高塔結(jié)構(gòu)位移的實(shí)時(shí)不間斷測(cè)量，只能測(cè)量到加速度時(shí)程，經(jīng)過濾波處理后，基于一定假設(shè)間接識(shí)別振動(dòng)狀態(tài)，從而大大降低了控制精度，即降低了主動(dòng)控制相對(duì)被動(dòng)控制的優(yōu)越性。目前，在主動(dòng)控制的實(shí)際應(yīng)用中，可以直接采用加速度計(jì)監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)的加速度信號(hào)作為反饋［6?7］，但都僅限于小型的模型試驗(yàn)；或者通過設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)結(jié)構(gòu)的位移和速度，進(jìn)一步將估計(jì)的狀態(tài)作為反饋信號(hào)計(jì)算主動(dòng)控制力［8］。這些過程都非常繁瑣，增加了控制力的計(jì)算時(shí)間，降低了控制精度。近年來(lái)，非接觸式測(cè)量技術(shù)，尤其是攝像測(cè)量技術(shù)的發(fā)展為大型結(jié)構(gòu)的實(shí)時(shí)狀態(tài)觀測(cè)提供了基礎(chǔ)。攝像測(cè)量學(xué)是將攝影測(cè)量學(xué)原理、計(jì)算機(jī)視覺原理、光測(cè)實(shí)驗(yàn)力學(xué)、精密光測(cè)技術(shù)、數(shù)字圖像處理與分析等學(xué)科交叉融合的一門新興學(xué)科。它將攝像機(jī)和照相機(jī)作為一次傳感器，對(duì)圖像處理分析，可以測(cè)量位置、尺寸、速度和加速度等，特點(diǎn)是以序列圖像為主要對(duì)象，實(shí)時(shí)測(cè)量運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的動(dòng)態(tài)參數(shù)，其與接觸式測(cè)量技術(shù)相比更具優(yōu)勢(shì)。Shang等［9］和Yu等［10］提出了一種利用串并聯(lián)攝像機(jī)網(wǎng)絡(luò)測(cè)量大型結(jié)構(gòu)位移和變形的方法，通過一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的光學(xué)測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量大型結(jié)構(gòu)中一些感興趣的部分的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和變形。如果將攝像測(cè)量學(xué)技術(shù)應(yīng)用于高塔結(jié)構(gòu)的主動(dòng)控制系統(tǒng)中，可以直接測(cè)量被控結(jié)構(gòu)的位移，直接將位移狀態(tài)作為反饋信號(hào)計(jì)算控制力，簡(jiǎn)化了計(jì)算步驟，并且減少了時(shí)滯，提高了計(jì)算精度。因此，現(xiàn)代測(cè)量與信息技術(shù)的結(jié)合為解決高塔結(jié)構(gòu)位移測(cè)量難題提供了條件。

高塔結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)細(xì)比越大，振動(dòng)包含的模態(tài)數(shù)就越多，如果直接對(duì)其進(jìn)行主動(dòng)控制，控制器階數(shù)會(huì)很高，導(dǎo)致控制計(jì)算的時(shí)間延長(zhǎng)，控制效果降低［11?12］，所以需要用更低維的控制器來(lái)減小計(jì)算量。模型降維這一思想雖多年前散見于一些工程界的文獻(xiàn)中，但多出現(xiàn)在自動(dòng)控制和電路系統(tǒng)領(lǐng)域中。土木工程領(lǐng)域關(guān)于模型降維的文獻(xiàn)報(bào)道很少。Qu等［13］提出了一種動(dòng)態(tài)凝聚法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降維，該方法的特點(diǎn)是在原物理空間的子空間中定義降維系統(tǒng)，使得狀態(tài)向量具有物理意義。Cao等［14］在最小信息損失方法的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的方法，解決了原方法沒有唯一的降維結(jié)果這一問題，并且使總信息損失最小。但是由上述方法得到的降維模型只保留了原始系統(tǒng)的高階模態(tài)，模態(tài)質(zhì)量參與比相對(duì)較小，導(dǎo)致低階特性損失，而土木工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性一般由其低階模態(tài)控制。平衡截?cái)喾▌t較好地解決了上述問題，且能夠較好地保留原結(jié)構(gòu)的低階動(dòng)力特性［15］。

平衡截?cái)喾ㄗ畛跤蒑oore［16］提出，之后很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了完善和擴(kuò)展［17?19］。目前工程中常用的是經(jīng)Laub等［20］改進(jìn)的計(jì)算方法。Xie等［21］以柔性梁為研究對(duì)象，對(duì)平衡截?cái)喾ㄟM(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究，并提出了一種從物理傳感器測(cè)量中提取平衡模態(tài)坐標(biāo)的方法。Li等［22］基于改進(jìn)的平衡截?cái)喾ㄔO(shè)計(jì)了一種新的低階控制器，并用一個(gè)10層框架的數(shù)值模擬和一個(gè)單跨4層鋼框架的試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。上述數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)表明，低階控制模型可以有效補(bǔ)償時(shí)間延遲。Chen等［15］和滕軍等［23］通過比較幾種常用的模型降維方法，基于平衡截?cái)喾ń⒘私稻S模型，采用區(qū)域極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)了一種新的降維控制器。上述研究表明：平衡截?cái)喾ㄊ且环N可用在土木工程領(lǐng)域的較為可靠的降維技術(shù)。

本文以某一高塔結(jié)構(gòu)的主動(dòng)控制系統(tǒng)為例，提出了適用于高塔結(jié)構(gòu)位移監(jiān)測(cè)的攝像測(cè)量法，應(yīng)用平衡截?cái)喾ㄔO(shè)計(jì)了只需要前幾階位移模態(tài)的低維控制器，并進(jìn)行了大量的仿真計(jì)算。

1 位移傳遞攝像測(cè)量法建立高塔結(jié)構(gòu)振動(dòng)狀態(tài)向量的位移觀測(cè)器

相比于傳統(tǒng)的剛性塔，高柔塔的塔頂位移與塔高的比值要高出一倍左右，說明位移監(jiān)測(cè)已經(jīng)成為結(jié)構(gòu)振動(dòng)監(jiān)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)中最重要的指標(biāo)之一。結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制需要實(shí)時(shí)測(cè)量結(jié)構(gòu)響應(yīng)，采用現(xiàn)代控制理論計(jì)算出最優(yōu)反饋控制力，在位移監(jiān)測(cè)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)主動(dòng)控制無(wú)疑會(huì)提高計(jì)算精度，節(jié)約計(jì)算時(shí)間。對(duì)于大型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，采用非接觸式位移測(cè)量技術(shù)是必要的。非接觸式位移測(cè)量技術(shù)在工程中已經(jīng)有廣泛的應(yīng)用，具有代表性的有GPS測(cè)量、全站儀測(cè)量、激光測(cè)量、攝像測(cè)量等［24］。Yu等［25?26］提出的位移傳遞相機(jī)串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)攝像測(cè)量具有多點(diǎn)測(cè)量、實(shí)時(shí)測(cè)量、自動(dòng)化程度高以及可視化等優(yōu)點(diǎn)，并且適合從高塔內(nèi)部測(cè)量位移，在臺(tái)風(fēng)等災(zāi)害作用時(shí)具有很強(qiáng)的抗干擾能力，可用來(lái)長(zhǎng)期實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)高塔結(jié)構(gòu)的位移和變形。

針對(duì)高塔內(nèi)部相鄰層之間存在遮擋的問題，將標(biāo)志點(diǎn)和相機(jī)設(shè)置為曲線連接的形式，兩個(gè)相機(jī)之間成一定角度固連，標(biāo)志點(diǎn)和雙頭相機(jī)的布置如圖1所示。標(biāo)志點(diǎn)和雙頭相機(jī)測(cè)量編號(hào)從下往上依次為M1，S1，C1，…，Mi，Si，Ci，…，Mn，Sn，不考慮相機(jī)的旋轉(zhuǎn)，雙頭相機(jī)所拍攝的上側(cè)兩個(gè)、下側(cè)兩個(gè)標(biāo)志在水平方向位移量的計(jì)算公式為：

（1）

式中 上標(biāo)“C”為雙頭相機(jī)編號(hào)；下標(biāo)“M”，“S”為標(biāo)志點(diǎn)編號(hào)；h為合作標(biāo)志在相機(jī)圖像中的位移量；為標(biāo)志點(diǎn)的位移量；θ為雙頭相機(jī)的俯仰角變化量；d為雙頭相機(jī)與合作標(biāo)志之間的距離，k為圖像對(duì)標(biāo)志的放大倍數(shù)，d和k的數(shù)值可通過標(biāo)定得到。

式（1）可列出4n個(gè)方程，存在4n+2個(gè)未知數(shù)，如果有兩個(gè)及以上已知量，那么方程組可解。假設(shè)和為穩(wěn)定點(diǎn)，，方程（1）可寫為如下形式：

（2a）

其中： 。

標(biāo)志點(diǎn)的位移可寫為：

（2b）

式中 ； ； 。

假設(shè)結(jié)構(gòu)有a個(gè)自由度，需要布置b個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，由式（2）可知，需要b/2個(gè)雙頭相機(jī)，基于上述攝像測(cè)量原理測(cè)到的標(biāo)志位移向量為Xsr，那么有：

（3）

式中 。

式（3）即是主動(dòng)控制中的輸出方程，由于輸出量Xsr為位移，故稱為位移觀測(cè)器。

位移傳遞攝像測(cè)量法需要將圖像信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)值信號(hào)，因此會(huì)在雨天、大雪天等不利環(huán)境下產(chǎn)生噪聲影響，可根據(jù)噪聲的先驗(yàn)信息采用自適應(yīng)濾波或者卡爾曼濾波等方法進(jìn)行濾波處理。

2 高塔結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化和降維

為了提高控制效率，在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的主動(dòng)振動(dòng)控制策略時(shí)，有必要將結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行一系列簡(jiǎn)化。本節(jié)首先提取原有限元模型在其中一個(gè)方向的質(zhì)量和剛度矩陣，將三維有限元模型簡(jiǎn)化為平面串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)模型，然后采用平衡截?cái)嗉夹g(shù)由物理空間轉(zhuǎn)化到均衡空間，進(jìn)一步對(duì)質(zhì)點(diǎn)模型降維建立低維控制器。三維有限元模型、平面質(zhì)點(diǎn)模型和降維之后的質(zhì)點(diǎn)模型的低階動(dòng)力特性基本一致。

2.1 有限元模型簡(jiǎn)化

以某施工狀態(tài)的一個(gè)高塔結(jié)構(gòu)（高711.36 m）為例，對(duì)多維模型進(jìn)行降維分析。對(duì)圖2所示的結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，給出結(jié)構(gòu)前9階模態(tài)參數(shù)如表1所示，可以看出，該塔結(jié)構(gòu)高，扭轉(zhuǎn)響應(yīng)小，以水平振動(dòng)為主。為說明本文方法，在主動(dòng)控制簡(jiǎn)化模型中，只考慮結(jié)構(gòu)的z向來(lái)進(jìn)行主動(dòng)減振控制研究。

圖3為平面串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)模型，其質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣，取ANSYS模型對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的上、下節(jié)段各一半質(zhì)量，采用柔度法可得到結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，對(duì)其求逆即可得到剛度矩陣。由表1可知，有限元模型z向前4階模態(tài)累計(jì)質(zhì)量參與系數(shù)已經(jīng)達(dá)到了92.1%，據(jù)此圖4給出了質(zhì)點(diǎn)模型與有限元模型前4階模態(tài)振型對(duì)比，可以看出，前4階模態(tài)振型基本吻合，平面質(zhì)點(diǎn)模型能夠較好地反映原有限元模型z向的動(dòng)力特性。

2.2 質(zhì)點(diǎn)模型轉(zhuǎn)化為均衡空間的低維模型

實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化之后自由度數(shù)仍然較多，如果直接用原結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，會(huì)導(dǎo)致控制器的計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)，進(jìn)而產(chǎn)生較大的時(shí)滯，導(dǎo)致所需要的控制力增大，控制效果降低。過大的時(shí)滯還有可能使結(jié)構(gòu)響應(yīng)發(fā)散，控制力單幅增大。因此需要對(duì)模型進(jìn)行降維處理以方便控制器的設(shè)計(jì)，提高控制效果。

對(duì)于結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制系統(tǒng)，需要按照狀態(tài)空間的形式設(shè)計(jì)控制器，實(shí)時(shí)計(jì)算出結(jié)構(gòu)所需要的控制力，從而傳達(dá)給作動(dòng)器對(duì)結(jié)構(gòu)做出控制。對(duì)該高塔結(jié)構(gòu)來(lái)說，在不考慮減振裝置的情況下，結(jié)構(gòu)模型在狀態(tài)空間模型的階數(shù)仍然有134個(gè)，模型的階數(shù)比較高，因此需要進(jìn)一步對(duì)簡(jiǎn)化模型進(jìn)行降維。本節(jié)采用平衡截?cái)喾▽?duì)簡(jiǎn)化模型進(jìn)行降維。

2.2.1 平衡截?cái)喾ǖ幕纠碚?/p>

假設(shè)線性定?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)方程為：

（4）

式中 X為2a維狀態(tài)向量；U為m維控制輸入向量，且U=-GXsr，其中G為m×p維矩陣；F為f維外激勵(lì)荷載向量；Xp為輸出狀態(tài)向量，是p維向量，且Xp=［Xsr ］T；A為2a×2a維狀態(tài)矩陣；C為p×2a維輸出矩陣，且p≤2a；B，E分別為2a×m，2a×f維作用位置矩陣。

上述系統(tǒng)的能控性矩陣Wr和能觀性矩陣Wo分別為：

（5）

其中，表示大于0的時(shí)間常數(shù)，能控性矩陣Wr和能觀性矩陣Wo分別為以下李雅普諾夫方程的解：

（6）

對(duì)上述控制系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換X=TZ，可以得到特征值不變的均衡系統(tǒng)，其中T為非奇異矩陣，代入式（4）中可以得到如下均衡系統(tǒng)：

（7）

其中：

。

根據(jù)文獻(xiàn)［20］計(jì)算變換矩陣T的方法，有如下公式：

（8）

式中 Lr和Lo分別為矩陣Wr和Wo經(jīng)Cholesky分解得到的下三角矩陣，即；分別通過對(duì)下三角矩陣的乘積進(jìn)行奇異值分解得到，即，另外， ，其中，為表征系統(tǒng)狀態(tài)可控性與可觀性的特征值，為大于0的實(shí)數(shù)；表示特征值的平方根。

均衡系統(tǒng)中的狀態(tài)變量按照特征值由大到小排列，特征值的大小反映了系統(tǒng)狀態(tài)的綜合可控、可觀性。均衡截?cái)喾窗丫庀到y(tǒng)中較小特征值（對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)較高模態(tài)頻率）對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量舍棄掉，只保留前r階對(duì)系統(tǒng)輸入、輸出影響較大的狀態(tài)向量?，F(xiàn)考慮所有的系統(tǒng)狀態(tài)向量，并將均衡系統(tǒng)寫成分塊矩陣形式，原均衡系統(tǒng)（7）可以寫為：

（9）

式中 Zr為保留的狀態(tài)；Zl為舍棄的狀態(tài)。

如果直接去掉式（9）第一式的第二行，降維模型可以寫為：

（10）

為了盡可能多地考慮被舍棄的狀態(tài)向量Zbl的影響，可以將式（9）的第一式改寫為：

（11）

進(jìn)而可以得到所謂考慮殘差的降維模型：

（12）

式中 ；；；；；。

2.2.2 模型降維

分析式（8）中的非奇異轉(zhuǎn)換矩陣T，可以發(fā)現(xiàn)矩陣第1和第2列包含了1階模態(tài)信息，包含1階模態(tài)振型位移和1階模態(tài)振型速度，以此類推，矩陣T第i（i為奇數(shù)）和第i+1列包含了原結(jié)構(gòu)第（i+1）/2階模態(tài)。圖5給出了矩陣T前4列歸一化之后的結(jié)果。從圖5中可以看出：前4列包含了原結(jié)構(gòu)第1和第2階模態(tài)信息。

圖6給出了保留不同維數(shù)時(shí)頂層位移和加速度傳遞函數(shù)與原系統(tǒng)（OS）的接近程度。從圖6中可以看出：隨著r的增大，曲線重合得越多，說明保留的維數(shù)越高，傳遞函數(shù)越接近原系統(tǒng)，動(dòng)力特性保留得越完整。但是維數(shù)過高則沒有達(dá)到降維的目的，控制器計(jì)算過程仍然很慢，因此在滿足精度要求的前提下要適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)保留維數(shù)。

采用平衡截?cái)喾ㄟM(jìn)行降維之后，給出原模型（134維）和降維模型的極點(diǎn)對(duì)比如圖7所示?？梢钥闯?，對(duì)模型進(jìn)行非奇異變換之后形成的均衡模型極點(diǎn)保持不變；降維之后的低維模型可以很好地保留原模型前7階的振型信息，而質(zhì)點(diǎn)模型前7階振型質(zhì)量參與系數(shù)達(dá)到95.3%，因此在之后的計(jì)算中將質(zhì)點(diǎn)模型保留14維。從圖6中可以看出，在0～4 Hz內(nèi)，位移傳遞函數(shù)和原模型基本重合，加速度傳遞函數(shù)偏差很小。

3 基于LQR控制算法和AMD設(shè)計(jì)低維模型控制器

以施工狀態(tài)的某高塔結(jié)構(gòu)為背景，設(shè)計(jì)多點(diǎn)反饋、單點(diǎn)控制的AMD控制系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行低維控制器的仿真，本文只驗(yàn)證降維控制器的有效性，為了計(jì)算方便，只選擇一個(gè)方向進(jìn)行控制。如圖8所示，整個(gè)AMD系統(tǒng)位于標(biāo)高為711.36 m的樓面，作用在結(jié)構(gòu)的y軸方向，由質(zhì)量塊、作動(dòng)器、導(dǎo)軌、彈簧、限位器和其他必要的裝置組成。

由于高塔還在施工階段，首先可以對(duì)施工階段的結(jié)構(gòu)進(jìn)行過程仿真，得到結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)隨施工進(jìn)度的變化關(guān)系；也可以在不同施工階段對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性參數(shù)進(jìn)行測(cè)試、識(shí)別，根據(jù)識(shí)別的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行修正。上述兩種方法均可得到施工階段的模型參數(shù)，進(jìn)而得到隨施工階段變化的作動(dòng)器增益矩陣，用于振動(dòng)控制算法。

3.1 線性二次型LQR的基本原理

土木工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制總是可以看作無(wú)限域上的行為，所以無(wú)限域時(shí)間區(qū)間［0，∞）的二次型最優(yōu)控制是結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制的理論基礎(chǔ)。對(duì)于線性定常狀態(tài)系統(tǒng)（4），選擇半正定對(duì)稱加權(quán)矩陣Q和R，構(gòu)造二次型性能控制指標(biāo)：

（13）

那么滿足使J極小的最優(yōu)控制向量U（t）存在且唯一，由下式?jīng)Q定：

（14）

其中，矩陣P為如下黎卡提方程的解：

（15）

3.2 基于LQR理論的低維控制器設(shè)計(jì)

降維過程的首要要求是精度，要求降維模型的特性與實(shí)際受控對(duì)象的特性近似度高，但僅僅滿足精度要求，對(duì)于以主動(dòng)控制為目的的降維來(lái)說是不夠的。因?yàn)閷?shí)際工程中存在這樣一種情況：用精度好的降維模型設(shè)計(jì)出的控制器作用于受控對(duì)象時(shí)的控制性能，并不優(yōu)于用精度稍差的降維模型設(shè)計(jì)出的控制器。因此還需考慮在降維的同時(shí)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。低維模型的控制器設(shè)計(jì)有兩種選擇，第一種是直接對(duì)降維的低維模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，第二種是對(duì)原結(jié)構(gòu)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)之后，采用平衡降維技術(shù)對(duì)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行降維。

3.2.1 第一種控制器設(shè)計(jì)方法

基于如式（12）所示的降維模型，根據(jù)LQR算法（14）設(shè)計(jì)的低維模型控制器為：

（16）

由于狀態(tài)Zr是均衡系統(tǒng)下的狀態(tài)，并沒有實(shí)際的物理意義，必須進(jìn)行如下變換與真實(shí)的狀態(tài)建立聯(lián)系：

（17）

式中 Xr為前r個(gè)真實(shí)狀態(tài)；Xl為后l個(gè)真實(shí)狀態(tài)。

將式（17）重新改寫為如下形式：

（18）

式（18）中的矩陣T是在考慮實(shí)際布置的觀測(cè)點(diǎn)位置之后由式（17）中的T重排得到的。令Zl=0，并將式（3）代入式（18），有：

（19）

將式（19）代入式（16），便可以得到低維模型控制器：

（20）

3.2.2 第二種控制器設(shè)計(jì)方法

基于LQR算法（14）對(duì)原簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行控制力設(shè)計(jì)，使用坐標(biāo)變換X=TZ后，均衡系統(tǒng)的控制力可以寫為：，然后對(duì)閉環(huán)的控制系統(tǒng)進(jìn)行降維，控制器為：

（21）

由于在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)之后再進(jìn)行降維可能會(huì)截?cái)郃MD的信息，因此本文采用第一種控制器設(shè)計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算。

3.3 降維模型在外激勵(lì)作用下的振動(dòng)主動(dòng)控制

取AMD的質(zhì)量為第1階模態(tài)質(zhì)量的0.8%（1000 t），為了提高AMD運(yùn)行的安全性，限制AMD的行程，設(shè)置AMD系統(tǒng)的剛度為20 kN/m。

取高塔結(jié)構(gòu)振型較大處的位移和速度向量構(gòu)造降維控制器的狀態(tài)向量，速度向量可由位移向量經(jīng)過濾波之后微分求得，因此本文在第8，16，21，32，38，42，67個(gè)質(zhì)點(diǎn)高度處布置標(biāo)志點(diǎn)采集位移信號(hào)，可分別在第18，35，50個(gè)質(zhì)點(diǎn)高度處設(shè)置雙頭相機(jī)。此處之所以將速度向量加入構(gòu)造低維控制器的狀態(tài)向量中，是因?yàn)樵谟?jì)算過程中發(fā)現(xiàn)如果只有位移向量，那么式（19）中的轉(zhuǎn)換矩陣為病態(tài)矩陣，會(huì)導(dǎo)致控制系統(tǒng)極不穩(wěn)定。

計(jì)算時(shí)假設(shè)結(jié)構(gòu)的阻尼比為0.015，全維控制器采用的加權(quán)矩陣如下：

（22）

式中 K和M分別表示結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。

結(jié)構(gòu)的控制力只與α/β有關(guān)，只要兩者比值相同，那么控制效果就相同。取α=40000和不同的β值，對(duì)比原系統(tǒng)、全維控制系統(tǒng)和降維控制系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)特征值，可以發(fā)現(xiàn)主動(dòng)控制主要改變前幾階頻率和阻尼比。圖9給出了不同β值情況下前3對(duì)極點(diǎn)的對(duì)比，圖中橫坐標(biāo)為系統(tǒng)特征值的實(shí)部，表示角頻率與阻尼比的乘積，縱坐標(biāo)為系統(tǒng)特征值的虛部，表示角頻率。

從圖9中可以看出：（1）1個(gè)AMD控制系統(tǒng)至少可以實(shí)現(xiàn)前3階模態(tài)的控制；（2）β值較小時(shí)，主動(dòng)控制力同時(shí)改變了結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和阻尼比，且阻尼比增加很大，意味著需要很大的能量輸入；（3）隨著β值的增加，模態(tài)阻尼比增加幅度減小，結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率不再發(fā)生變化，主動(dòng)控制力主要以阻尼力的形式作用在結(jié)構(gòu)；（4）β值越小，附加阻尼比越大，意味著需要更大的輸入能量，因此要調(diào)整β值，使輸入能量不過大的情況下仍然能有預(yù)期的減振效果。

注：○表示全維控制系統(tǒng)；▲表示低維控制系統(tǒng)。

3.3.1 脈動(dòng)風(fēng)荷載激勵(lì)

脈動(dòng)風(fēng)實(shí)際上是空氣的三維紊流，它包括順風(fēng)向、橫風(fēng)向和垂直向的紊流。為了方便計(jì)算，本文只考慮順風(fēng)向紊流的影響?？臻g上某一點(diǎn)的順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速譜采用Kaimal譜形式。

結(jié)合《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》（GB 50009—2012）［27］中的體型系數(shù)μst，可得到不同高度節(jié)點(diǎn)上的風(fēng)荷載為：

（23）

式中 μst為塔的體型系數(shù)；ρ為空氣密度；Vi為各加載點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速；為各加載點(diǎn)的平均風(fēng)速；Ai為迎風(fēng)面積。

計(jì)算時(shí)，體型系數(shù)取為0.55，10 m高度處的平均風(fēng)速為30.5 m/s。地面粗糙度選用A類，A類地貌的高度為300 m，當(dāng)達(dá)到梯度風(fēng)高度之后可認(rèn)為風(fēng)速不變，300 m以內(nèi)按照指數(shù)率計(jì)算。

根據(jù)強(qiáng)風(fēng)時(shí)的觀察表明，一次陣風(fēng)的作用在結(jié)構(gòu)的迎風(fēng)面上各點(diǎn)處的風(fēng)速和風(fēng)向并不是完全同步的，有的甚至是幾乎無(wú)關(guān)的，因此對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)上的脈動(dòng)風(fēng)壓必須研究其空間相關(guān)性。一般來(lái)講，考慮到建筑結(jié)構(gòu)前后風(fēng)壓的相關(guān)性比較復(fù)雜，從安全的角度認(rèn)為結(jié)構(gòu)前后的脈動(dòng)風(fēng)壓是完全相關(guān)的，主要研究脈動(dòng)風(fēng)壓的上下和左右相關(guān)性。

關(guān)于脈動(dòng)風(fēng)壓頻率域的相關(guān)性系數(shù)即相干函數(shù)的具體表達(dá)式形式很多，從實(shí)用、簡(jiǎn)單的角度出發(fā)，通常用到的是只與兩點(diǎn)間距離有關(guān)的Shiotani等［28］在試驗(yàn)基礎(chǔ)上獲得的公式：

（24）

式中 和分別表示垂直和水平方向脈動(dòng)風(fēng)壓的相干系數(shù)；z-z'和y-y'分別表示垂直和水平方向兩點(diǎn)間的距離；一般來(lái)講，Ly取為50，Lz取為60。

對(duì)于迪拜塔，橫向尺寸比豎向尺寸小很多，因此僅考慮脈動(dòng)風(fēng)荷載豎向的相關(guān)性。采用諧波合成法進(jìn)行結(jié)構(gòu)各主要點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速合成。圖10和11分別為仿真得到的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程曲線和理論風(fēng)速譜與模擬風(fēng)速譜的對(duì)比。從圖11中可以看出，模擬的風(fēng)速譜與Kaimal譜吻合較好。圖12為得到的風(fēng)荷載時(shí)程曲線。得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的風(fēng)荷載曲線之后，分別計(jì)算結(jié)構(gòu)在無(wú)控、全維控制器和低維控制器作用下的位移和加速度響應(yīng)，計(jì)算過程中取α=40000，β=0.01。全維控制器和低維控制器的模擬運(yùn)行時(shí)間分別為1.70和0.42 s，可見降維能夠縮短控制力計(jì)算時(shí)間。被控結(jié)構(gòu)頂層響應(yīng)如圖13和14所示。

從圖13～17中可以看出：

（1）基于低維模型設(shè)計(jì)的控制器與全維控制器相比，計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和主動(dòng)控制力基本一致，在不考慮時(shí)滯的情況下，低維控制器能夠較好地控制外激勵(lì)荷載作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

（2）低維控制器能夠較好地控制頂層位移響應(yīng)；無(wú)控狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的頂層位移峰值和均方值分別為0.102 m，0.034 m；低維控制作用下頂層位移峰值和均方值分別為0.066 m，0.025 m；控制效果分別為35.3%和26.5%。

（3）無(wú)控狀態(tài)下，頂層結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載作用下的加速度最大值為0.024 m/s2，在低維控制器作用下的加速度最大值為0.017 m/s2，控制效果為29.2%，加速度均方值由0.007降為0.004 m/s2，控制效果為42.9%。

（4）施工狀態(tài)下風(fēng)致振動(dòng)的最大控制力不超過170 kN，AMD最大行程不超過2 m。

（5）本文設(shè)計(jì)的AMD實(shí)現(xiàn)了較為理想的控制效果。在實(shí)際工程中，從經(jīng)濟(jì)角度考慮，在滿足減振需求的前提下還可進(jìn)一步降低AMD的質(zhì)量。

3.3.2 地震荷載激勵(lì)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證降維控制器的有效性，計(jì)算了不同地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，從美國(guó)伯克利大學(xué)太平洋地震工程研究中心隨機(jī)選取20條地震波進(jìn)行試算，地震波的基本信息如表2所示。對(duì)地震波加速度進(jìn)行比例調(diào)整，使峰值均為0.3g。取β=0.005，圖18為不同地震波作用下響應(yīng)的柱狀圖。

從圖18中可以看出：

（1）基于LQR算法設(shè)計(jì)的降維控制器性能穩(wěn)定，與全維控制器控制效果相當(dāng)，兩種控制器作用下的位移響應(yīng)基本一致，加速度響應(yīng)略有差異。

（2）地震波作用下，控制器對(duì)位移的控制效果優(yōu)于對(duì)加速度的控制效果，對(duì)均方值的控制效果優(yōu)于對(duì)峰值的控制效果；在第5條地震波作用下，無(wú)控狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)頂層位移最大，為1.593 m，控制器對(duì)位移峰值和均方值的控制效果分別為44.87%和61.61%；第3條地震波作用下，控制器對(duì)位移峰值的控制效果最好，為57.56%，同時(shí)控制器對(duì)位移均方值的控制效果最好，為81.23%。

（3）對(duì)加速度峰值的最佳控制效果為10.08%；在第1條地震波作用下，加速度均方值控制效果達(dá)到了47.77%，說明AMD主動(dòng)控制對(duì)地震控制效果明顯大于TMD被動(dòng)控制，后者對(duì)抗震可能存在不利影響。

4 結(jié) 論

本文結(jié)合攝像測(cè)量技術(shù)，考慮殘差的均衡截?cái)喾ê蚅QR控制算法，建立了一種直接采用位移輸出的高塔結(jié)構(gòu)低維控制器，針對(duì)某一高聳柔性結(jié)構(gòu)的主動(dòng)振動(dòng)控制進(jìn)行了理論和模擬分析，得到的主要結(jié)論有：

（1）通過位移傳遞的攝像測(cè)量技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)狀態(tài)的直接觀測(cè)和實(shí)時(shí)識(shí)別，且測(cè)量精度可以達(dá)到毫米級(jí)別；在塔內(nèi)觀測(cè)，可提高抗環(huán)境干擾能力，并實(shí)現(xiàn)全天候?qū)崟r(shí)連續(xù)觀測(cè)，利用這一特點(diǎn)，建立了主動(dòng)控制中的位移觀測(cè)器；測(cè)量的結(jié)果可以直接作為反饋信號(hào)計(jì)算所需要的主動(dòng)控制力，而不需通過加速度信號(hào)濾波、設(shè)計(jì)觀測(cè)器等一系列操作對(duì)振動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，從而提高了狀態(tài)識(shí)別和控制的精度，降低了狀態(tài)識(shí)別計(jì)算時(shí)滯。

（2）采用柔度法提取剛度矩陣，將有限元模型簡(jiǎn)化成串聯(lián)多自由度模型，只考慮z軸方向，簡(jiǎn)化的模型周期與原結(jié)構(gòu)基本一致，前4階模態(tài)振型可以很好地吻合，有效地簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。

（3）用考慮殘差的均衡截?cái)喾ń稻S，低維系統(tǒng)不僅能夠保留前幾階模態(tài)的局部信息，還能盡可能還原結(jié)構(gòu)的全局動(dòng)力特性。對(duì)本文中的高塔結(jié)構(gòu)來(lái)說，前4階振型z向累計(jì)質(zhì)量參與系數(shù)已經(jīng)達(dá)到92.1%，可以基本保留原結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性；對(duì)于低維系統(tǒng)，保留維數(shù)越多，位移和加速度的傳遞函數(shù)與原結(jié)構(gòu)越吻合，低維控制效果越接近全維控制器的控制效果。

（4）基于線性二次型LQR控制算法設(shè)計(jì)的低維控制器，通過選定需要控制的少數(shù)幾個(gè)模態(tài)，在塔內(nèi)的底層、中間層、高層布置相應(yīng)數(shù)量的測(cè)量相機(jī)和標(biāo)志點(diǎn)，只觀測(cè)標(biāo)志點(diǎn)的位移狀態(tài)便可以得到主動(dòng)控制力，其減振效果與全狀態(tài)反饋的全維控制器減振效果基本一致，可以應(yīng)用于高塔結(jié)構(gòu)的主動(dòng)控制系統(tǒng)中。

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Active control system of high tower based on displacement observer inside tower and low-dimension controller in equilibrium space

WEN Xi-xi1， ZHANG Hong-yi1， CHEN Zheng-qing1， HUA Xu-gang1， NIU Hua-wei1， XU Zhao-dong2

（1.National Key Laboratory of Bridge Safety and Resilience， Hunan University， Changsha 410082， China； 2.School of Civil Engineering， Southeast University， Nanjing 211189， China）

Abstract： The vibration of high-rise tower structure requires active control. However， the problem of direct displacement observation and high-efficient low-dimension control strategy under single point needs to be solved. In this paper， a set of real-time continuous observation method of displacement from the inside of the tower is established by using modern video metrics technology， which provides the most direct displacement observer for the active control of the high tower. It avoids the tedious calculation process of building an acceleration observer， and then combining with the assumed external load to calculate the displacement after filtering. By using the equilibrium system space transformation and the equilibrium truncation method， a low-dimension controller is established with AMD at the top of the tower， which can effectively preserve the main dynamic characteristics of the structure. Taking a 700-meter-high tower under construction as an example， the active control simulation analysis under wind-induced vibration and earthquake is carried out. The results show that the control effect of the low-dimension controller with a few displacement states as feedback is basically the same as that of the full-dimension controller based on full state feedback， which can be used as an active control strategy for high tower structures.

Key words： active control； displacement observer；equilibrium space；videometrics；low-dimension controller

作者簡(jiǎn)介： 文茜茜（1993—），女，博士研究生。Email：wenxx@hnu.edu.cn。

通訊作者： 張弘毅（1991—），男，博士，副教授。E-mail：zhyzzb25@hnu.edu.cn。