一道雙曲線聯(lián)考題的解法與拓展探究

摘 要：雙曲線是三種重要的圓錐曲線之一，是近年來高考或模擬考試中解析幾何解答題命題的熱點，反映出高考命題者對雙曲線知識的青睞，也體現(xiàn)了命題者對解析幾何問題本質(zhì)的深入思考.

關(guān)鍵詞：雙曲線；聯(lián)考題；解法；拓展

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0006-04

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：李寒（1978—），女，貴州省桐梓人，本科，中學高級教師，從事數(shù)學教學研究.

安徽省部分省示范高中2024屆高三開學聯(lián)考數(shù)學17題是一道看似平實、質(zhì)樸，而本質(zhì)上蘊含著豐富的數(shù)學思想方法內(nèi)涵，值得推廣探究的優(yōu)質(zhì)試題.以下對該聯(lián)考題的解法和結(jié)論推廣進行探究.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （安徽省部分省示范高中2024屆高三開學聯(lián)考數(shù)學第17題）已知雙曲線C：x2a2-

y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點

A（-6，2）在C上，且△AF1F2的面積為6.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）記點A在x軸上的射影為點B，過點B的直線l與C交于M，N兩點.探究：1|BM|2+1|BN|2是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

2 試題解答

2.1 第（1）問解析

分析 根據(jù)△AF1F2的面積為6，結(jié)合雙曲線方程，利用待定系數(shù)法解得^［1］.

解析 設(shè)雙曲線C的焦距為2c（cgt;0），則由題意得

12·2c·2=6，6a2-2b2=1，a2+b2=c2，

解得a=2，b=1，c=3.

故雙曲線C的方程為x22-y2=1.

2.2 第（2）問解析

分析1 設(shè)出直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立，用坐標表示|BM|和|BN|，并用韋達定理表示，從而化簡求解.

解法1 由題意得B（-6，0）.

當直線MN的斜率為零時，則

1|BM|2+1|BN|2=1（2+6）2+1（6-2）2

=（6-2）2+（2+6）2（6-2）2

=1616=1.

當直線MN的斜率不為零時，設(shè)直線MN的方程為x=my-6，

聯(lián)立方程x=my-6，x22-y2=1，

化簡整理，得

（m2-2）y2-26my+4=0.

由m2-2≠0，△=24m2-16（m2-2）gt;0，

解得m≠2，且m≠-2.

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

所以y1+y2=26mm2-2，

y1y2=4m2-2.

所以1|BM|2+1|BN|2=1（1+m2）y21+1（1+m2）y22

=1（1+m2）·y21+y22y21y22

=11+m2·（y1+y2）2-2y1y2y21y22

=11+m2·［26m/（m2-2）2］-8/（m2-2）［4/（m2-2）］2

=11+m2·16m2+1616=1.

綜上，1|BM|2+1|BN|2=1為定值.

點評 解法1設(shè)出直線方程并與曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理代入轉(zhuǎn)化求解，這是處理直線與圓錐曲線問題的常規(guī)方法^［2］.

分析2 設(shè)出直線l的參數(shù)方程與雙曲線方程聯(lián)立，并用韋達定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線l的傾斜角的三角函數(shù)，從而化簡求解.

解法2 由題意得B（-6，0）.

設(shè)直線l的參數(shù)方程為x=-6+tcosα，y=tsinα（t為參數(shù)，α是直線l的傾斜角），

將x=-6+tcosα，y=tsinα

代入x22-y2=1中，化簡整理，得

（cos2α+2sin2α）t2-26cosα·t+4=0.

從而4t2+26cosαt+cos2α-2sin2α=0.

設(shè)該方程的兩個根為1t1和1t2，

所以1t1+1t2=-26cosα4，

1t1t2=cos2α-2sin2α4.

所以1|BM|2+1|BN|2=1t21+1t22

=（1t1+1t2）2-2·1t1t2

=（-26cosα4）2-2·cos2α-2sin2α4

=24cos2α-8cos2α+16sin2α16

=16（cos2α+sin2α）16=1為定值.

點評 解法2利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為直線傾斜角的三角函數(shù)等式后求解，對問題進行“降維”處理，則出奇制勝，簡化計算，優(yōu)勢明顯.

3 拓展探究

3.1 結(jié)論拓展

若把試題（2）的結(jié)論推廣到一般雙曲線的情形，可得結(jié)論1.

結(jié)論1 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;bgt;0），在x軸上存在點B（B不與頂點重合），過點B的直線l與C交于M，N兩點，則1|BM|2+1|BN|2為定值a2-b2b⁴.

證明 設(shè)B（x0，0）（x0≠±a），

設(shè)直線l參數(shù)方程為x=x0+tcosα，y=tsinα（t為參數(shù)，α是直線l的傾斜角），

將x=-x0+tcosα，y=tsinα代入x2a2-y2b2=1中，得

（b2cos2α-a2sin2α）t2+2b2x0cosα·t+b2（x20-a2）＝0.

即b2（x20-a2）t2+2b2x0cosαt+（b2cos2α-a2sin2α）=0.

設(shè)該方程的兩個根為1t1和1t2，

所以1t1+1t2=-2b2x0cosαb2（x20-a2）

=-2x0cosαx20-a2，

1t1t2=b2cos2α-a2sin2αb2（x20-a2）.

所以1|BM|2+1|BN|2=1t21+1t22

=（1t1+1t2）2-2·1t1t2

=（-2x0cosαx20-a2）2-2·b2cos2α-a2sin2αb2（x20-a2）

=4b2x20cos2α-2（x20-a2）（b2cos2α-a2sin2α）b2（x20-a2）2

=2b2（x20+a2）cos2α+2a2（x20-a2）sin2αb2（x20-a2）2，

當且僅當b2（x20+a2）=a2（x20-a2），

即（a2-b2）x20=a2（a2+b2），

亦即x0=±aa2+b2a2-b2時，1|BM|2+1|BN|2是定值，且定值為a2-b2b⁴.

3.2 類比拓展

橢圓、拋物線與雙曲線有許多類似的性質(zhì)，將結(jié)論1類比到橢圓和拋物線，可得如下結(jié)論.

結(jié)論2 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），在x軸上存在點B（B不與橢圓的兩個頂點重合），過點B的直線l與C交于M，N兩點，則1|BM|2+1|BN|2為定值a2+b2b⁴.

證明 設(shè)B（x0，0）（x0≠±a），

設(shè)直線l參數(shù)方程為x=x0+tcosα，y=tsinα（t為參數(shù)，α是直線l的傾斜角），

將x=x0+tcosαy=tsinα代入x2a2+y2b2=1中，得

（b2cos2α+a2sin2α）t2+2b2x0cosα·t+b2（x20-a2）＝0.

即b2（x20-a2）t2+2b2x0cosαt+（b2cos2α+a2sin2α）=0.

設(shè)該方程的兩個根為1t1和1t2，

所以1t1+1t2=-2b2x0cosαb2（x20-a2）

=-2x0cosαx20-a2，

1t1t2

=b2cos2α+a2sin2αb2（x20-a2）.

所以1|BM|2+1|BN|2=1t21+1t22

=（1t1+1t2）2-2·1t1t2

=（-2x0cosαx20-a2）2-2·b2cos2α+a2sin2αb2（x20-a2）

=4b2x20cos2α-2（x20-a2）（b2cos2α+a2sin2α）b2（x20-a2）2

=2b2（x20+a2）cos2α-2a2（x20-a2）sin2αb2（x20-a2）2，

當且僅當b2（x20+a2）=-a2（x20-a2），

即（a2+b2）x20=a2（a2-b2），

亦即x0=±aa2-b2a2+b2時，1|BM|2+1|BN|2是定值，且定值為a2+b2b^4［3］.

結(jié)論3 已知拋物線C：y2=2px（pgt;0），在x軸上存在點B（B不與頂點重合），過點B的直線l與C交于M，N兩點，則1|BM|2+1|BN|2為定值1p2.

證明 設(shè)B（x0，0）（x0≠0），設(shè)直線l參數(shù)方程為x=x0+tcosα，y=tsinα（t為參數(shù)，α是直線l的傾斜角），

將x=-x0+tcosα，y=tsinα代入y2=2px中，得

sin2α·t2-2pcosα·t-2px0＝0.

即2px0t2+2pcosαt-sin2α=0.

設(shè)該方程的兩個根為1t1和1t2，所以

1t1+1t2=cosαx0，

1t1t2=-sin2α2px0.

所以1|BM|2+1|BN|2=1t21+1t22

=（1t1+1t2）2-2·1t1t2

=cos2αx20+sin2α2px0

=pcos2α+x0sin2αpx20，

當且僅當x0=p時，1|BM|2+1|BN|2是定值，且定值為1p2.

4 結(jié)束語

對典型模擬題的多視角探究，就是從不同視角來審視問題，以不同的切入點探究問題，其實質(zhì)是對試題的“二次開發(fā)”.對試題進行剖析和思考，展開問題的來龍去脈和知識間的縱橫聯(lián)系，站在一定的高度去思考問題，突出數(shù)學本質(zhì)，使知識能夠融會貫通，使思維得到升華，進而優(yōu)化數(shù)學思維品質(zhì)^［4］.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 李寒.一道雙曲線聯(lián)考題的解法與結(jié)論推廣［J］.數(shù)理化解題研究，2024（04）：6-9.

［3］ 李寒.深度探究一道拋物線模擬題［J］.數(shù)理化解題研究，2023（34）：16-19.

［4］ 李寒.平中蘊奇" 探究本質(zhì)：一道2022年高考試題的溯源與延伸[J].數(shù)理化解題研究，2022（25）：81-83.

［責任編輯：李 璟］