化歸與轉化思想在解題中的應用

摘 要：化歸與轉化思想在高中數(shù)學中普遍使用，尤其是在求解一些經(jīng)典的數(shù)學問題中，化歸與轉化思想往往是解決數(shù)學問題的第一道工序.文章從四個方面舉例分析化歸與轉化思想在解題中的應用.以提高學生的解題能力，發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng).

關鍵詞：高中數(shù)學；化歸與轉化思想；應用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0076-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：

闞勝男（1997.8—），女，江蘇省南通人，本科，中學二級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

化歸與轉化思想貫穿于整個高中數(shù)學之中，是應用最為廣泛的數(shù)學思想方法.究其原因是化歸與轉化思想能夠在各種類型的試題解答中都發(fā)揮效果，而且學生也能普遍接受和理解^[1].下面結合具體例題來談談化歸與轉化思想在高中數(shù)學解題中的應用.

1 化歸與轉化思想常用到的方法

方法1 直接轉化法.將復雜問題直接轉化為熟悉的問題，如在解三角形中，主要的轉化有角度的轉化、通過正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角關系的轉化等.

方法2 換元法.通過換元，可將無理式變?yōu)橛欣硎?，將較復雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉化為易于解決的問題.

方法3 數(shù)形結合法.將問題中數(shù)量關系轉化為圖形關系，或者將圖形關系轉化為數(shù)量關系，使問題變得簡單、直觀.

方法4 等價轉化法.將問題轉化為一個相對簡單且易于解決的等價命題，達到化歸的目的.

方法5 特殊化方法.將問題向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題.

2 化歸與轉化思想的應用

2.1 補集思想

例1 中國空間站的主體結構包括天和核心實驗艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設空間站要安排甲、乙等5名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數(shù)有.

解析 5名航天員安排三艙，每個艙至少一人至多二人，共有C15C13C24=90種安排方法，若甲乙在同一實驗艙的種數(shù)有C13C13C12=18種，根據(jù)補集思想可知甲乙不在同一實驗艙的種數(shù)有90-18=72種.

點評 運用組合公式求出所有的情況和甲乙在同一實驗艙的情況，然后利用補集思想即可求解.

例2 已知函數(shù)f（x）=x-1.若f（a）+f（b）+f（c）=0，證明：a，b，c這三個數(shù)中至少有一個數(shù)不大于1.

證明 因為f（a）+f（b）+f（c）=0，

所以a+b+c=3.

假設a，b，c這三個數(shù)中沒有一個數(shù)不大于1，即每個數(shù)都大于1，即agt;1，bgt;1，cgt;1，則

agt;1，bgt;1，cgt;1.

所以a+b+cgt;3，這與a+b+c=3矛盾，假設不成立.

所以a，b，c這三個數(shù)中至少有一個數(shù)不大于1.

點評 考慮到正面分析比較復雜，用補集思想，從對立面思考.利用反證法，先假設原命題成立，推出矛盾，故假設不成立，于是問題得證^[2].

2.2 將多變量問題轉化為單變量問題

例3 若銳角△ABC的內角A，B，C所對的邊分

別為a，b，c，其外接圓的半徑為3，且acos（B-C）+acosA=23csinBcosA，則b2+a2b的取值范圍為.

解析 由acos（B-C）+acosA=23csinBcosA，

得acosBcosC+asinBsinC-a（cosBcosC-sinBsinC）=23csinBcosA.

即asinBsinC=3csinBcosA.

由正弦定理得sinAsinBsinC=3sinCsinBcosA.

顯然sinCgt;0，sinBgt;0，所以sinA=3cosA.

所以tanA=3.

因為A∈（0，π2），

所以A=π3.

因為△ABC外接圓的半徑為3，

所以asinA=bsinB=23.

所以a=3，b=23sinB.

所以b2+a2b=b+a2b=23sinB+332sinB=23（sinB+34sinB）.

因為△ABC為銳角三角形，

所以0lt;Blt;π2，0lt;2π3-Blt;π2.

解得π6lt;Blt;π2，即sinB∈（12，1）.

令f（x）=x+34x，x∈（12，1），根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知函數(shù)f（x）=x+34x在（12，32）上單調遞減，在（32，1）上單調遞增，且f（12）=2，f（32）=3，

f（1）=74.

所以f（x）∈［3，2）.

即sinB+34sinB∈［3，2）.

所以23（sinB+34sinB）∈［6，43）.

即b2+a2b的取值范圍為［6，43）.

點評 由已知條件解出A，再運用正弦定理邊化角，將待求式子轉化為僅含角B的式子，最后構造函數(shù)，利用對勾函數(shù)的單調性求出所求式子的范圍.

2.3 函數(shù)與方程、不等式間的轉化

例4 已知函數(shù)f（x）=x2cos（πx）-2xcos（πx）+cos（πx），則方程f（x）=1在區(qū)間［-2，4］上的所有實根之和為（" ）.

A.0" B.3" C.6" D.12

解析 由題意得f（x）=x2cos（πx）-2xcos（πx）+

cos（πx）=（x-1）2cos（πx），

f（2-x）=（2-x-1）2cos［π（2-x）］=（1-x）2cos（2π-πx）=（x-1）2cos（πx）=f（x），

所以f（x）的圖象關于x=1對稱.

當x=1時，f（x）=0≠1；

當x≠1時，令f（x）=1可得

cos（πx）=1（x-1）2.

當x=2時，cos2π=1（2-1）2=1；

當x=4時，cos4π=1gt;1（4-1）2=19.

在同一直角坐標系中畫出y=cos（πx），y=1（x-1）2的圖象，如圖1所示.

由圖1可知y=cos（πx），y=1（x-1）2在（1，4］上有且僅有3個交點，所以所有的實根之和為3×2=6.故選C.

點評 先找到函數(shù)的對稱軸，然后將方程有根問題轉化為函數(shù)圖象交點問題，作出草圖，并分析圖象，利用數(shù)形結合可得到答案.

2.4 形體位置關系的轉化

例5 已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，且PA=PB=PC，三棱錐P-ABC的內切球的表面積為S，若S∈［4π9，4π5］，則點P到平面ABC的距離的取值范圍為.

解析 設點P到平面ABC的距離為h，內切球半徑為r，則三棱錐P-ABC的表面積為3h2+13+3.

由等體積法，得13（3h2+13+3）r=13×3h.

即r=h3h2+1+1=13+1/h2+1/h.

當h增大時，r隨之增大.

設h的取值范圍為［m，n］，由S∈［4π9，4π5］，得r∈［13，55］.

所以當h=m時，r=13=13+1/m2+1/m；

當h=n時，r=55=13+1/n2+1/n，

解得m=1，n=5.

所以點P到平面ABC的距離的取值范圍為［1，5］.

點評 先設點P到平面ABC的距離為h，并用其表示出三棱錐P-ABC的表面積，然后通過等體積法轉化求解距離的取值范圍.

3 結束語

化歸與轉化思想在高中數(shù)學解題教學中的應用極為廣泛，在很多數(shù)學問題的解決中都會用到.學生如果能靈活進行問題轉化，復雜問題就會變得簡單，陌生問題就會變得熟悉，綜合問題也能夠得到有效的拆分^[3].這樣，就可以在無形之中提高學生的解題能力，發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］羅文軍.化歸與轉化思想在解題中的應用[J].廣東教育（高中版），2023（02）：20-27.

[2] 李鴻昌，曾吉相.調整法在不等式證明中的應用[J].數(shù)學通訊，2023（19）：50-53.

[3] 李鴻昌.一道新高考導數(shù)壓軸題的解法探究[J].高中數(shù)學教與學，2021（15）：22-23.

［責任編輯：李 璟］