一道新教材習(xí)題的解法研究及思考

摘 要：在新教材背景下，以一道課后題為例，透過多重解法引發(fā)用向量研究平面幾何問題的基本思想方法，體會(huì)向量的工具性作用，體會(huì)其思想在變式中思維的擴(kuò)展及高考為最終目標(biāo)的核心指向.

關(guān)鍵詞：新教材；求角；向量

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0002-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[1]指出，在必修課程與選擇性必修課程中，要突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合.通過“形”與“數(shù)”結(jié)合，聚焦于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)養(yǎng)成.向量成為重要的核心內(nèi)容，向量幾何思想方法成為研究幾何問題的基本思想方法.向量集“數(shù)”與“形”于一身，培養(yǎng)用向量研究平面幾何問題的思想非常重要，下面我們以一道新教材課后題為例進(jìn)行研究.

1 題目呈現(xiàn)

題目 （新人教A版必修二第53頁課后習(xí)題12題）如圖1，在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，求∠MPN的余弦值[2].

本題選自人教A版必修二第六章6.4節(jié)課本53頁課后習(xí)題第12題.這道題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、向量幾何思想等，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解答此題時(shí)，首先教會(huì)學(xué)生分析題目，找到“著手點(diǎn)”，即已知量表示未知量，具體可以從以下三方面分析設(shè)問，引發(fā)學(xué)生思考：（1）題目的已知條件有哪些？引導(dǎo)學(xué)生一一列出；（2）所求角的余弦值與已知條件的關(guān)系是什么？（學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化）；（3）求角的方法有哪些？啟發(fā)學(xué)生從向量數(shù)量積定義運(yùn)算、構(gòu)造余弦定理.通過以上的連續(xù)發(fā)問、層層遞進(jìn)形式，提煉出本題的核心思想：平面幾何求角的通性通法即向量代數(shù)化，或者構(gòu)造三角形.

2 解答題目

分析1 等價(jià)轉(zhuǎn)化為向量夾角∠MPN→〈AM，BN〉.

解法1 （通性通法）如圖2，設(shè)AB=c，AC=b，則b與c的夾角為60°.

又設(shè)AΜ，BΝ分別是BC，AC邊上中線，

所以AM=12（b+c），BN=AN-AB=12b-c=12（b-2c）.

于是|AM|2=［12（b+c）］2=14（b2+c2+2b·c）=394.

所以|AM|=392.

同理|BN|=212.

又AM·BN=12（b+c）·12（b-2c）=3，

所以cos∠MPN=AM·BN|AM||BN|=49191.

評(píng)析 學(xué)生只能從所求∠MPN本身出發(fā)，試尋求〈PM，PN〉的值，這與已知AB，AC的關(guān)系不直接，即要利用平面向量基本定理，運(yùn)用已知量表示的基底AB，AC來表示PM，PN，但弊端是比較麻煩且難度系數(shù)較大.另外，學(xué)生可能會(huì)注意到向量共線條件∠MPN→〈PM，PN〉→〈AM，BN〉，這種解法對(duì)向量代數(shù)運(yùn)算能力要求較高，運(yùn)算易出錯(cuò).所以在教學(xué)中需注意重通法，即要注重學(xué)生理解概念、基本定理本質(zhì)，強(qiáng)化重視數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)與加強(qiáng)轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng).

分析2 運(yùn)用坐標(biāo)法，直接求出對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo)——幾何問題代數(shù)化.

解法2 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，垂直AC的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖3.因?yàn)椤螧AC=60°，AB=2，AC=5，

所以B（1，3），C（5，0）.圖3 坐標(biāo)法示意圖

又因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為邊BC，AC中點(diǎn)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得N（52，0），M（3，32）.

設(shè)P（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A，P，M和點(diǎn)B，P，N三點(diǎn)共線，

所以設(shè)AP=λAM，NP=μN(yùn)B，

解得P（2，33）.

所以cos∠MPN=AM·BN|AM||BN|=49191.

評(píng)析 一般采用坐標(biāo)法比較簡(jiǎn)單，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，只需套用數(shù)量積求夾角公式即可，但此題未出現(xiàn)“直角”不易想到建坐標(biāo)系.點(diǎn)A，B，C及M，N坐標(biāo)易求出，點(diǎn)P坐標(biāo)是困難點(diǎn).在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生建系基本原則：盡量將三角形的邊、點(diǎn)放在坐標(biāo)軸，有特殊角30°，45°，60°的三角形也可建系.求點(diǎn)P坐標(biāo)時(shí)注重通性通法（三點(diǎn)共線向量求解），如遇特殊線交點(diǎn)（如中線、垂線等）可利用自身性質(zhì)特征或公式求解，注意基本公式要熟練，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要過關(guān).

分析3" 構(gòu)造三角形， 運(yùn)用初中所學(xué)平面幾何知識(shí)構(gòu)造相似，利用余弦定理求夾角余弦值.

解法3 連接MN，如圖4.

因?yàn)椤螧AC=60°，AB=2，AC=5，

在ΔABC中，由余弦定理，得

BC=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=19.

又因?yàn)镸，N分別為BC，AC中點(diǎn)，

故ΔMPN∽ΔAPB.

所以MPPA=NPPB=12.

則BM=MC=12BC=192，

AN=NC=12AC=52.

由余弦定理，得

BN=AB2+AN2-2AB·ANcos∠BAN=212.

因?yàn)锳B∥MN，

所以∠ANM=120°.

從而AM=AN2+MN2-2AN·MNcos∠ANM=392，

BP=23BN=213，

AP=23AM=393，

cos∠MPN=cos∠BPA=AP2+BP2-AB22AP·BP=49191.

評(píng)析 學(xué)生在已有初中幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，易想到連輔助線構(gòu)三角形中位線，要解ΔMPN，必須求出三邊證相似.從而先利用已知條件解決邊BC，思路清晰，容易下手.但在兩次使用余弦定理中數(shù)值較大，運(yùn)算易出錯(cuò).所以在日常教學(xué)中要注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，凸顯運(yùn)算能力，注意書寫表達(dá)過程.

3 拓展延伸

3.1 改變邊上點(diǎn)的位置

變式1 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上點(diǎn)M，N滿足BM=2MC，AN=2NC，且AM，BN交于點(diǎn)P，求∠MPN的余弦值.

變式2 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上點(diǎn)M，N滿足BM=λMC，

AN=λNC，且AM，BN交于點(diǎn)P，求∠MPN的余弦值.

變式3 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上的高線AM，BN交于點(diǎn)P，求∠MPN的余弦值.

變式4 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC邊上的中線AM和AC邊上的高線交于點(diǎn)P，求∠MPN的余弦值.

3.2 改變角

變式5 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=45°，BC，AC邊上兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，求∠MPN的余弦值.

變式6 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=θ，BC，AC邊上兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，求∠MPN的余弦值的取值范圍.

變式7 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=θ，BC，AC邊上點(diǎn)M，N滿足BM=2MC，AN=2NC，且AM，BN交于點(diǎn)P，求∠MPN的余弦值的取值范圍.3.3 條件結(jié)論交換位置

變式8 在ΔABC中，已知AB=2，AC=4，BC，AC邊上兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，cos∠MPN=77，求∠BAC的余弦值.

以上通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析處理——變條件中邊角、位置以及深度思維考慮條件結(jié)論互換（逆命題角度），利用化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想很好地鞏固加強(qiáng)基本方法、基本概念、通性通法，強(qiáng)化學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，形成體系學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)理念.

4 鏈接高考

題1 （2018年天津卷第8題）在如圖5的平面圖形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM=2MA，CN=2NA，則BC·OM的值為（" ）.

A.-15" B.-9" C.-6" D.0

題2 （2017年新課程全國(guó)Ⅱ卷第12題） 已知ΔABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值是（" ）.

A.-2" B.-32" C.-43" D.-1

題3 （2020年新高考Ⅰ卷第7題） 已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，則AP·AB的取值范圍是（" ）.

A.（-2，6）""" B.（-6，2）

C.（-2，4）D.（-4，6）

題4 （2018年江蘇卷第12題）如圖6，在ΔABC中，D是BC中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)O，若AB·AC=6AO·EC，則ABAC的值是.

通過對(duì)以上高考題的研究分析，揭示了書本習(xí)題與高考的關(guān)聯(lián).在研究課本習(xí)題及拓展高考題過程中，平面向量的問題中都蘊(yùn)含化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及解決問題的基本方法、基本概念，強(qiáng)調(diào)通性通法，均需強(qiáng)化學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，形成目標(biāo)體系性學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)理念.

5 結(jié)束語

本題具有很好的研究?jī)r(jià)值，考查平面幾何向量法、“代數(shù)化”的通性通法，也很好地考查了學(xué)生的能力.新教材加大了平面向量的內(nèi)容，以教材習(xí)題為導(dǎo)向研究高考.而“一題一課”對(duì)母題進(jìn)行了適當(dāng)變式拓展，形成微專題形式引導(dǎo)學(xué)生深度思維.所以在平面向量學(xué)習(xí)過程中，要特別關(guān)注學(xué)生能否形成由具體到抽象的思維品質(zhì)，讓學(xué)生注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和思想方法的把握；要特別關(guān)注

能否提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；要特別關(guān)注轉(zhuǎn)化與化歸思想的滲透，學(xué)生能否選擇合適的基底表示其他向量或?qū)⒀芯康南蛄坑没妆硎荆瑥亩鴮栴}簡(jiǎn)化或者將向量坐標(biāo)化，體會(huì)向量運(yùn)用中不同數(shù)學(xué)對(duì)象的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生借助向量表征相關(guān)幾何元素，從而轉(zhuǎn)化成向量運(yùn)算解決問題，讓學(xué)生體會(huì)用向量方法解決幾何問題的基本思路.把幾何問題轉(zhuǎn)化成運(yùn)算問題，確定運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算方法，從而實(shí)現(xiàn)幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過向量運(yùn)算解決問題，深化了對(duì)向量運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書（A）版：數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2019.

［責(zé)任編輯：李 璟］