例談利用特征分析回歸本源的解題策略

摘 要：特征分析法是數(shù)學問題解決的一條有效途徑.掌握此法，能將一些抽象問題具體化，復雜問題簡單化，從而能夠找到解決問題的突破口，實現(xiàn)問題解決的目的.

關鍵詞：特征分析；回歸本源；解題策略

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0029-03

解題思路的探索是解決數(shù)學題的關鍵，分析題設特征、探求思路是必然的選擇.《現(xiàn)代漢語詞典》中特征釋義是可以作為事物特點的征象、標志等.所謂數(shù)學問題的特征，就是指能反映問題條件與結論的內(nèi)在聯(lián)系的外形結構、數(shù)值、位置和差異等特點.如何通過對問題的特征分析，尋求其特征蘊含的方法，從而使問題獲解的思維方法，以下通過示例對此進行探究.

1 善抓結構特征，巧中取勝

善于洞察題設、結論的外形結構特征，從結構特點出發(fā)，尋找和熟題相關或相近的題目特征進行模式識別，并加以分析、加工、轉化，由此及彼地聯(lián)想，把抽象結構直觀化，隱蔽結構明顯化，復雜問題簡單化，可使問題迅速巧妙地獲得解決[1].

例1 （多選）（2022年新高考Ⅱ卷）若x，y滿足x2+y2-xy=1，則（" ）.

A.x+y≤1""" B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1

分析 題設條件結構中隱含有與選擇支

A，B相似的一部分，需把它們之間的聯(lián)系挖掘出來.因為ab≤（a+b2）2≤a2+b22 （a，b∈R）

，所以由x2+y2-xy=1，得 （x+y）2-1=3xy≤3（x+y2）2，解得-2≤x+y≤2，當且僅當x=y=-1時，x+y=-2；當且僅當x=y=1時，x+y=2，所以A錯誤，B正確.

再看題設等式明顯地含有選擇支C，D中的

x2+y2，需把等量關系轉化為不等量關系，即需把它轉化為關于x2+y2的不等式即可.由x2+y2-xy=1，得 （x2+y2）-1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，當且僅當x=y=±1時取等號，所以C正確.

最后，我們可將x2+y2-xy=1變形為（x-y2）2+34y2=1，隱蔽的結構外形結構類似于sin2θ+cos2θ=1的結構形式，因而設x-y2=cosθ，32y=sinθ，所以x=cosθ+33sinθ，y=233sinθ.因此 x2+y2=23sin（2θ-π6）+43，解得x2+y2∈［23，2］，所以當x=33，y=-33時滿足等式，但是x2+

y2≥1不成立，所以D錯誤.故選BC.

評注 本題對于選擇支A，B可由題設條件，利用基本不等式轉化為關于x+y的不等式；對于選擇支C，D把題設條件轉化為（x-y2）2+34y2=1，聯(lián)想類比，引入?yún)?shù)θ，利用輔助角公式把x2+y2轉化為關于θ的三角函數(shù)可解，均回歸本源，找到解題的切入點.

2 善抓特殊值，聯(lián)想轉化獲解

在許多數(shù)學問題中，常常出現(xiàn)具有某種特征的數(shù)值.若能從題設中的特值入手，牢牢抓住特值存在的特殊含義，并加以分析、聯(lián)想和轉化，往往可迅速找到解決問題的切入點.

例2 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證 （a+1a）+（b+1b）+（c+1c）≥10.

分析 觀察題設和所要求證的結論中都有數(shù)值“1”，我們可以將結論中的“1”用a+b+c來替換，結果會是怎樣？

（a+1a）+（b+1b）+（c+1c）

=（a+a+b+ca）+（b+a+b+cb）+（c+a+b+cc）

=4+（ba+ab）+（ca+ac）+（cb+bc）

≥4+2+2+2

=10，

當且僅當a=b=c=13時取等號.

評注 直接按外部結構特征，使用基本不等式會得到（a+1a）+（b+1b）+（c+1c）≥3，當且僅當a=b=c=1時取等號，這與已知條件不符，所以將所要求證的不等式左端用“1”代換是關鍵，最終回歸到本源，利用基本不等式求證.

3 善抓位置特征，構造獲解

與圖形相關的一些數(shù)學問題，如函數(shù)圖象、立體幾何、圓錐曲線等問題，若能仔細分析某些關鍵點和線的位置特征，不僅有助于學生厘清解題思路，而且對培養(yǎng)學生探求問題的解決途徑和提高學生解決問題的能力大有裨益[2].

例3 已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（" ）.

A.86π" B.46π" C.26π" D.6π

分析 這是2019年高考數(shù)學課標全國Ⅰ卷理科的第12題，主要考查面面垂直模型的外接球問題.如圖1，一方面根據(jù)“PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形”的顯性特征可判斷三棱錐P-ABC為正三棱錐，頂點P在底面上的射影O′是正△ABC的中心，球心O必然在PO′上，連接O′A，O′B，O′C，則球內(nèi)接小圓的半徑為O′A=O′B=O′C=23×32×2=233.

至此，如若缺少條件，就不能求出球半徑.

但又有“E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°”顯性特征，我們可取AC的中點M，連接PM，BM，易證明AC⊥平面PBM.

從而AC⊥PB.

又PB∥EF，EF⊥CE，可得PB⊥CE.

又AC∩CE=C，所以PB⊥平面PAC.

從而PB⊥PA，PB⊥PC.

從而正三棱錐P-ABC的三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，至此我們可將該三棱錐還原成一個以PA，PB，PC為棱的正方體，正方體的體對角線即為球O的直徑.

即2R=6，解得R=62，

所以球O的體積為V=43πR3=6π.

評注 本題根據(jù)已知條件推得正三棱錐P-ABC的三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直的位置特征，進而構造正方體，其體對角線就是球直徑，回歸到球內(nèi)接正方體的性質上來.

4 尋找差異，抓聯(lián)系中促轉化

分析數(shù)學問題條件和結論的差異，解題就是要消除條件與結論之間的差異，尋求聯(lián)系，促成轉化，達到新的平衡.

例4" 已知sinθ+cosθ=2sinα，sinθcosθ=sin2β，求證：4cos22α=cos22β.

分析 這是新人教A版數(shù)學必修第一冊P253復習參考題5的第19題，條件中含θ，α，β三個單角，而求證的結論不含角θ，只含α，β的二倍角，主要是角的差異，根據(jù)這一差異特征，在推演中消去參數(shù)θ，同時要消除函數(shù)名的差異.

證明 因為sin2α+cos2α=1，

所以（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ.

把已知條件代入，得

4sin2α=1+2sin2β.

又由降冪公式，得

4×1-cos2α2=1+2×1-cos2β2.

整理，得2cos2α=cos2β.

即4cos22α=cos22β.

評注 本題針對題設與結論的差異，有針對性地把sinθ+cosθ=2sinα兩邊平方，尋找聯(lián)系，把已知代入，促成轉化.有關三角函數(shù)求值、化簡和證明要觀察角、函數(shù)名和結構特征的差異，注意利用整體思想解決相關問題.

5 結束語

總之，解題思路的探索始終是教學的重點，學會“問題解決”是教學的難點和關鍵所在.從題設條件特征分析切入，觀察題中條件的結構特征與數(shù)量特征來尋求解題突破口，思維就能進入解題的快車道，無論是簡單的數(shù)學題還是復雜的代數(shù)題，都可以從題設條件的結構與數(shù)量中進行分析，探尋出解題思路的來源，回歸到本源.因此，要想提高自身的數(shù)學思維能力，學好數(shù)學，提高學習效率，就要抓住題設條件中的核心內(nèi)容，對問題進行多角度探究，從結構與數(shù)量特征關系入手，建立正確的解題思路.不僅能使學生突破這些難點，而且能建構完整的解題框架，提升學生分析問題和解決問題的能力［3］.

參考文獻：

［1］ 劉義鳳.解答高中數(shù)學題的三種策略[J].語數(shù)外學習，2018（10）：41.

[2] 賴祝華.高中數(shù)學解題策略實踐方法[J].數(shù)理化解題研究，2019（13）：38-39.

[3] 盧敏.高中數(shù)學解題策略的思考[J].中學數(shù)學，2016（15）：84-86.

［責任編輯：李 璟］