例析高考題中電磁感應(yīng)導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌模型

摘 要：電磁感應(yīng)單棒模型和雙棒模型是高考的熱點(diǎn)，這類試題往往情境復(fù)雜、變化多樣、綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的要求較高.以2023年的幾道高考題為例，對(duì)試題的情境特點(diǎn)、設(shè)問角度、考查方式等進(jìn)行分析點(diǎn)評(píng)，并總結(jié)處理該類問題的一般思路和方法，指出在教學(xué)中要強(qiáng)化模型建構(gòu)意識(shí)，提升模型拓展和遷移的能力，注重培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維.

關(guān)鍵詞：高考試題；電磁感應(yīng)；單棒模型；雙棒模型

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" "文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0105-03

電磁感應(yīng)中的“導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌”模型幾乎涵蓋了高中物理所有的核心知識(shí)內(nèi)容，包括力與運(yùn)動(dòng)、能量與動(dòng)量、電路與電磁感應(yīng)等，綜合性極強(qiáng).教學(xué)中通常將其分為兩種，“單棒模型”相對(duì)簡(jiǎn)單，而“雙棒模型”相當(dāng)于雙電源的相互影響、相互制約的動(dòng)態(tài)過程，難度相對(duì)較大[1].本文以2023年的幾道高考題為例，分別探討兩種模型及綜合問題，從情境特點(diǎn)、設(shè)問角度、考查方式等方面進(jìn)行評(píng)析，并總結(jié)一般的解題思路和方法，以期為教學(xué)提供參考.

1 單棒模型

例1 （2023年全國甲卷理綜第25題）如圖1，水平桌面上固定一光滑U形金屬導(dǎo)軌，其平行部分的間距為l，導(dǎo)軌的最右端與桌面右邊緣對(duì)齊.導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì).導(dǎo)軌所在區(qū)域有方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為m、電阻為R、長(zhǎng)度也為l的金屬棒P靜止在導(dǎo)軌上.導(dǎo)軌上質(zhì)量為3m的絕緣棒Q位于P的左側(cè)，以大小為v0的速度向P運(yùn)動(dòng)并與P發(fā)生彈性碰撞，碰撞時(shí)間很短.碰撞一次后，P和Q先后從導(dǎo)軌的最右端滑出導(dǎo)軌，并落在地面上同一地點(diǎn).P在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩端與導(dǎo)軌接觸良好，P與Q始終平行.不計(jì)空氣阻力.求：

（1）金屬棒P滑出導(dǎo)軌時(shí)的速度大??；

（2）金屬棒P在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的熱量；

（3）與P碰撞后，絕緣棒Q在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

解析 （1）Q與P發(fā)生彈性碰撞，則有3mv0＝3mvQ＋mvP，12·3mv20＝12·3mv2Q＋12mv2P，解得vQ＝12v0，vP＝32v0.碰撞后金屬棒P做減速運(yùn)動(dòng)，離開導(dǎo)軌后做平拋運(yùn)動(dòng)；絕緣棒Q做勻速運(yùn)動(dòng)，離開導(dǎo)軌后做平拋運(yùn)動(dòng).由于P和Q做平拋運(yùn)動(dòng)先后落在地面上同一地點(diǎn)，所以金屬棒P離開導(dǎo)軌時(shí)的速度與絕緣棒Q離開導(dǎo)軌時(shí)的速度大小相同，即v′P＝vQ＝12v0.

（2）由能量守恒定律，金屬棒P在導(dǎo)軌上的速度從vP減到v′P過程中產(chǎn)生的熱量Q＝12mv2P-12mv′2P＝mv20.

（3）碰撞后金屬棒P在導(dǎo)軌上減速運(yùn)動(dòng)，由E＝Blv，i＝ER，F(xiàn)安＝Bil，可得F安＝B2l2vR，沖量大小為I安＝∑B2l2vRΔt＝B2l2Rx.由動(dòng)量定理B2l2Rx＝mv′P-mvP，可得x＝mv0RB2l2.而絕緣棒Q在導(dǎo)軌上做勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝xvQ＝2mRB2l2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查電磁感應(yīng)中的導(dǎo)體棒模型，粗看情境，容易思維定式誤以為是雙棒模型，那么試題就會(huì)變得無解.其實(shí)不然，注意Q棒為絕緣棒，意味著自身不產(chǎn)生任何電學(xué)效應(yīng)，在碰撞前后均做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)置這根棒的目的是

綜合碰撞模型，考查動(dòng)量和能量綜合應(yīng)用.而P棒為金屬棒，碰撞后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，屬于單棒模型.本題呈現(xiàn)方式的亮點(diǎn)就在于“形似雙棒實(shí)為單棒”，有利于規(guī)避“機(jī)械刷題”現(xiàn)象，避免導(dǎo)向典型題套路和技巧的運(yùn)用[2].

2 雙棒模型

例2 （2023年山東卷第12題）（多選）足夠長(zhǎng)的U形導(dǎo)軌平置在光滑水平絕緣桌面上，寬為1 m，電阻不計(jì).質(zhì)量為1 kg、長(zhǎng)為1 m、電阻為1 Ω的導(dǎo)體棒MN放置在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌形成矩形回路并始終接觸良好，Ⅰ和Ⅱ區(qū)域內(nèi)分別存在豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1和B2，其中B1＝2 T，方向向下.用不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過固定輕滑輪將導(dǎo)軌CD段中點(diǎn)與質(zhì)量為0.1 kg的重物相連，繩與CD垂直且平行于桌面.如圖2所示，某時(shí)刻MN、CD同時(shí)分別進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，MN、CD與磁場(chǎng)邊界平行.MN的速度v1＝2 m/s，CD的速度為v2且v2＞v1，MN和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2.重力加速度大小取10 m/s2，下列說法正確的是（" ）.

A.B2的方向向上" B.B2的方向向下

C.v2＝5 m/sD.v2＝3 m/s

答案 BD

解析 導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的受力分析和等效電路分別如圖3和4所示（俯視圖）.由于v2＞v1，即導(dǎo)體棒相對(duì)導(dǎo)軌向左運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒受到的摩擦力向右，導(dǎo)軌受到的摩擦力向左，大小為Ff＝μmg＝2 N.由于導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，所以安培力向左，大小為F1＝Ff＝2 N，電流方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，由安培力F1＝B1IL，得I＝1 A.由于導(dǎo)軌做勻速運(yùn)動(dòng)，且Ff＞FT＝1 N，即摩擦力大于輕繩的拉力，所以導(dǎo)軌的安培力向右，大小為F2＝Ff-FT＝1 N，由左手定則可知B2的方向向下，故B選項(xiàng)正確.由導(dǎo)軌的安培力F2＝B2IL，可得B2＝1 T.由右手定則可知導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電動(dòng)勢(shì)反接，所以I＝E1-E2R＝B1Lv1-B2Lv2R，解得v2＝3 m/s，故D選項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng) 本題是整套試卷最后一道選擇題，考查電磁感應(yīng)中的導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌模型，情境設(shè)計(jì)復(fù)雜新穎，屬于力電綜合問題.在加入摩擦力和輕繩拉力之后，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌均做勻速運(yùn)動(dòng)，使得運(yùn)動(dòng)、受力和電學(xué)狀態(tài)相互關(guān)聯(lián)、彼此制約，解題時(shí)需要找到突破口進(jìn)行邏輯推理，逐步理清受力分析和等效電路，否則容易陷入思維定式，誤以為導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)而受到的安培力向左.本題有利于引導(dǎo)學(xué)生突破思維定式，杜絕死記硬背結(jié)論，倡導(dǎo)具體問題具體分析.

3 綜合問題

例3 （2023年湖南卷第14題）如圖5，兩根足夠長(zhǎng)的光滑金屬直導(dǎo)軌平行放置，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，兩導(dǎo)軌及其所構(gòu)成的平面均與水平面成θ角，整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌平面斜向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.現(xiàn)將質(zhì)量均為m的金屬棒a、b垂直導(dǎo)軌放置，每根金屬棒接入導(dǎo)軌之間的電阻均為R.運(yùn)動(dòng)過程中金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好，金屬棒始終未滑出導(dǎo)軌，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，重力加速度為g.

（1）先保持棒b靜止，將棒a由靜止釋放，求棒a勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小v0；

（2）在（1）問中，當(dāng)棒a勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，再將棒b由靜止釋放，求釋放瞬間棒b的加速度大小a0；

（3）在（2）問中，從棒b釋放瞬間開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t0，兩棒恰好達(dá)到相同的速度v，求速度v的大小，以及時(shí)間t0內(nèi)棒a相對(duì)于棒b運(yùn)動(dòng)的距離Δx.

解析 （1）當(dāng)只有棒a切割磁感線時(shí)，由E＝BLv，i＝E2R，F(xiàn)安＝BiL，可得F安＝B2L2v2R.對(duì)棒a勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡方程B2L2v02R＝mgsinθ，可得v0＝2mgRsinθB2L2.

（2）對(duì)棒b釋放瞬間，由牛頓第二定律mgsinθ＋B2L2v02R＝ma0，可得a0＝2gsinθ.

（3）當(dāng)棒a和棒b都在切割磁感線時(shí)，由E＝BLva-BLvb＝BLΔv，i＝E2R，F(xiàn)安＝BiL，可得F安＝B2L2Δv2R，在時(shí)間t0內(nèi)安培力的沖量大小為I安＝∑B2L2Δv2RΔt＝B2L2Δx2R.由動(dòng)量定理，對(duì)棒a有mgsinθ·t0-B2L2Δx2R＝mv-mv0，對(duì)棒b有mgsinθ·t0＋B2L2Δx2R＝mv，聯(lián)立兩式解得v＝gt0sinθ＋mgRsinθB2L2，Δx＝2m2gR2sinθB4L4.

點(diǎn)評(píng) 本題的情境設(shè)計(jì)常規(guī)，考查傾斜導(dǎo)軌上電磁感應(yīng)中的導(dǎo)體棒模型，既有單棒模型又有雙棒模型.問題設(shè)計(jì)層次分明，先單棒后雙棒，先平衡后加速，先瞬間后全程，三個(gè)小問由易到難，區(qū)分度較高.值得指出的是，理論上兩棒的速度隨時(shí)間呈指數(shù)規(guī)律變化，速度只能不斷接近，不可能相等，即不存在速度相等的時(shí)刻，也就不存在相等的速度.為了滿足高考題的要求，可以改為“經(jīng)過時(shí)間t0，兩棒趨于相同的速度v”，以體現(xiàn)真實(shí)的物理過程.

4 結(jié)束語

模型思維是一種重要的科學(xué)思維，建模方法是科學(xué)研究中的常用方法，創(chuàng)設(shè)基于模型建構(gòu)的教學(xué)環(huán)境，有利于培養(yǎng)模型拓展、遷移和應(yīng)用的能力[3].因此在教學(xué)中，一方面要注重問題解決的通性通法，培養(yǎng)學(xué)生具體問題具體分析的能力，避免細(xì)枝末節(jié)知識(shí)的過度辨析、典型題套路和技巧的運(yùn)用，減少重復(fù)低效的“機(jī)械刷題”現(xiàn)象；另一方面要強(qiáng)化模型建構(gòu)意識(shí)和能力，模型重于題型，思路重于套路，注重培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)和思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 段石峰.電磁感應(yīng)含容電路中是否計(jì)電阻的討論[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2022，51（31）：40-43.

[2] 教育部教育考試院.落實(shí)立德樹人根本任務(wù) 服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)：2023年高考理科綜合全國卷試題評(píng)析[J].中國考試，2023（07）：27-31.

[3] 廖伯琴.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020：50-51.

［責(zé)任編輯：李 璟］