隱零點(diǎn)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

摘 要：若函數(shù)的某區(qū)間上存在零點(diǎn)，但不易求出其準(zhǔn)確值，則可設(shè)零點(diǎn)為x0，這時稱x0為該函數(shù)的隱零點(diǎn).文章運(yùn)用隱零點(diǎn)來解決與函數(shù)不等式或零點(diǎn)相關(guān)的導(dǎo)數(shù)試題.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；隱零點(diǎn)；零點(diǎn)；不等式

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0051-03

在求函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的零點(diǎn)時，若出現(xiàn)難以求出零點(diǎn)準(zhǔn)確值的情況，這時可設(shè)零點(diǎn)為x0，則x0滿足方程f（x0）=0.若a，b∈I，且alt;b，f（a）f（b）lt;0，則根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可縮小x0的范圍，得x0∈（a，b）.之后可利用f（x0）=0和x0∈（a，b）來解決與函數(shù)的不等式證明或者零點(diǎn)有關(guān)的試題[1].

1 運(yùn)用隱零點(diǎn)解決不等式相關(guān)問題

例1[2] 已知函數(shù)f（x）=lnx+a.若對任意x∈（0，+∞），都有ex-a≥f（x）（e為自然對數(shù)的底），求證：a≤1.

解析 設(shè)g（x）=ex-a-lnx-a，則

g′（x）=ex-a-1x.

設(shè)g′（x0）=ex0-a-1x0=0，則a=x0+lnx0.

因?yàn)間′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈（0，x0）時，g′（x）lt;0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時，g′（x）gt;0.

所以g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以gmin（x）=g（x0）=ex0-a-lnx0-a=1x0-x0-2lnx0≥0.

令h（x）=1x-x-2lnx，則

h′（x）=-1x2-1-2x=-1-x2-2xx2=-（x+1）2x2lt;0.

故h（x）=1x-x-2lnx在（0，+∞）單調(diào)遞減.

因?yàn)閔（1）=0，所以x0≤1.

所以a=x0+lnx0≤1.

例2 已知f（x）=ax2-2lnx，a∈R.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若對任意的xgt;0，2-f（x）≤2（a-1）x恒成立，求整數(shù)a的最小值.

解析 （1）由題意得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f ′（x）=2ax2-2x.

①當(dāng)a≤0時，f ′（x）lt;0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；

②當(dāng)agt;0時，令f ′（x）=0，得

x=aa或x=-aa（舍）.

當(dāng)x∈（0，aa），f ′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（aa，+∞），f ′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增.

（2）由題意得2-ax2+2lnx≤2（a-1）x.

整理，得2（lnx+x+1）≤a（2x+x2）.

因?yàn)閤gt;0，所以原命題等價(jià)于a≥2（lnx+x+1）2x+x2在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)恒成立.

令g（x）=2（lnx+x+1）2x+x2，則

g′（x）=-2（x+1）（2lnx+x）（2x+x2）2.

令h（x）=2lnx+x，易知h（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

又h（0.5）=-2ln2+0.5lt;0，h（1）=1gt;0，故存在唯一的x0∈（0.5，1），使得h（x0）=0.

當(dāng)0lt;xlt;x0時，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)xgt;x0時，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減.

故當(dāng)x=x0時，函數(shù)g（x）有極大值，也即為最大值，

g（x）max=2（lnx0+x0+1）2x0+x20=x0+2x0（x0+2）=1x0.

故a≥1x0.

又1x0∈（1，2），故a≥2.

又a為整數(shù)，故a的最小整數(shù)值為2.

2 運(yùn)用隱零點(diǎn)解決零點(diǎn)相關(guān)問題

例3 已知函數(shù)f（x）=（x-1）ex-lnx-a（x-1），其中實(shí)數(shù)a≥0.若函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)，求a的值.

解析 因?yàn)閒（x）=（x-1）ex-lnx-a（x-1），所以f ′（x）=ex·x-1x-a.

令h（x）=ex·x-1x-a（xgt;0），

所以h′（x）=exx+ex+1x2gt;0.

所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即f ′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

設(shè)m（x）=ex-x-1，則m′（x）=ex-1.

當(dāng)xgt;0時，m′（x）gt;0，所以m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)xlt;0時，m′（x）lt;0，所以m（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減.

所以m（x）≥m（0）=0.所以ex-x-1≥0.

即ex≥x+1.

所以f ′（1+a）=（1+a）e1+a-11+a-a

gt;（1+a）（a+2）-11+a-a

=a2+2a+2-11+a

=（a+1）2+a1+agt;0.

又f ′（12）=e2-2-alt;0，所以存在唯一的t∈（12，1+a），使得f ′（t）=0，即

tet-1t-a=0.①

當(dāng)x∈（0，t）時，f ′（x）lt;0，f（x）在（0，t）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（t，+∞）時，f ′（x）gt;0，f（x）在（t，+∞）上單調(diào)遞增.

所以f（x）min=f（t）.

又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有唯一的零點(diǎn)，所以f（t）=0.

即（t-1）et-lnt-a（t-1）=0.②

由①②得（t-1）et-lnt-（tet-1t）（t-1）=0.

即（t-1）2et+lnt+1t-1=0.

令n（x）=（x-1）2ex+lnx+1x-1，則

n′（x）=（x2-1）ex+1x-1x2

=x-1x2［x2（x+1）ex+1］.

又因?yàn)閤2（x+1）ex+1gt;0（xgt;0）， 所以函數(shù)n（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

而n（1）=0，則t=1.

代入①，得a=e-1.

例4[3] 已知函數(shù)f（x）=lnx+ax（x-1），x∈（1，+∞）.

（1）若不等式f（x）lt;0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個數(shù).

解析 （1）因?yàn)閒（x）=lnx+ax（x-1），x∈（1，+∞），

所以f ′（x）=2ax2-ax+1x.

①若a≥0，因?yàn)閤gt;1，所以lnxgt;0，ax（x-1）≥0，所以f（x）gt;0，不符合題意.

②若alt;0，由f ′（x）=2ax2-ax+1x=0，得2ax2-ax+1=0.

令h（x）=2ax2-ax+1，因?yàn)椤?a2-8agt;0，

設(shè)方程2ax2-ax+1=0兩根為x1，x2，

則x1+x2=12，x1x2=12alt;0.

不妨設(shè)x1lt;0lt;x2，當(dāng)x2gt;1時，在（1，x2）上，f ′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增，f（x2）gt;f（1）=0，不合題意.

所以x2≤1.

故h（1）=a+1≤0，即a≤-1.

這時，在（1，+∞）上，f ′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）lt;f（1）=0恒成立.

綜上，a的取值范圍是（-∞，-1］.

（2）當(dāng)a≥0時，因?yàn)閤gt;1，所以lnxgt;0，ax（x-1）≥0，所以f（x）gt;0，函數(shù)無零點(diǎn).

當(dāng)alt;0時，

（ⅰ）若x1lt;0lt;1lt;x2，則h（1）gt;0，即-1lt;alt;0.

由（1）知，f（x）在（1，x2）上單調(diào)遞增，在

（x2，+∞）上單調(diào)遞減，f（x2）gt;f（1）=0，由

h（1-1a）=2a（1-1a）2-a（1-1a）+1

=a+2a-2lt;0=h（x2），

可知1-1agt;x2.

又f（1-1a）=ln（1-1a）+a（1-1a）（-1a）

=

ln（1-1a）-（1-1a）

lt;1-1a-（1-1a）=0，

所以存在x0∈（x2，1-1a）使f（x0）=0.

所以當(dāng)-1lt;alt;0時，f（x）有一個零點(diǎn).

（ⅱ）若x1lt;0lt;x2≤1，即a≤-1時，則f（x）在

（1，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）lt;f（1）=0，f（x）無零點(diǎn).

綜上，當(dāng)a≥0或a≤-1時，函數(shù)f（x）無零點(diǎn)；當(dāng)-1lt;alt;0時，函數(shù)f（x）有一個零點(diǎn).

3 結(jié)束語

在導(dǎo)數(shù)試題中，經(jīng)常遇到函數(shù)f（x）在某區(qū)間上存在零點(diǎn)但求不出其準(zhǔn)確值時的情形，此時我們可設(shè)零點(diǎn)為x0（稱為隱零點(diǎn)），然后結(jié)合隱零點(diǎn)x0滿足的方程f（x0）=0以及x0的范圍，可解決與函數(shù)不等式或函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李發(fā)明.導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題中虛設(shè)零點(diǎn)的方法[J].數(shù)理化解題研究，2023（01）：81-84.

[2] 趙曉梅，潘繼祥.導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題的破解策略[J].數(shù)理化解題研究，2016（10）：32.

[3] 李鴻昌.一道新高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探究[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（15）：22-23.

［責(zé)任編輯：李 璟］