空間幾何體外接球問(wèn)題的破解策略

摘 要：空間幾何體的外接球問(wèn)題是立體幾何小題常考的題型.文章從定義法、割補(bǔ)法和找球心法等給出空間幾何體的外接球問(wèn)題的解題策略.

關(guān)鍵詞：立體幾何；空間幾何體；外接球；解題策略

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0045-03

球的內(nèi)接幾何體（即幾何體的外接球）問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn).一般圍繞球內(nèi)接其他幾何體命題，考查球的體積與表面積，其解題關(guān)鍵是確定球心.

1 定義法

對(duì)于外接球模型，其關(guān)鍵特征為外“接”.因此，各“接”點(diǎn)到球心距離相等且等于半徑，解題時(shí)無(wú)論構(gòu)造圖形還是計(jì)算都要利用好這個(gè)條件.

例1 正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為42，PA=45，則平面PCD截四棱錐P-ABCD外接球所得截面的面積為.

解析 設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a=42，底面中心為E，CD中點(diǎn)為F，連接PE，EF，PF，CE，如圖1所示.

由題意得PE=8，且正四棱錐的外接球球心O，設(shè)外接球半徑為R，則OP=OA=OB=OC=OD=R.

在Rt△OEC中，OC2=OE2+EC2，且EC=4，

所以R2=16+（8-R）2，解得R=5.

即OP=5.

在Rt△PEF中，PF=PE2+EF2

=62，

過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥PF，則OQ即為點(diǎn)O到平面PCD的距離，且點(diǎn)Q為平面PCD截其外接球所得截面圓的圓心，所以△PEF∽△PQO.

則PQPE=OPPF=562.

所以PQ=1023.

所以截面的面積S=πPQ2=200π9.

點(diǎn)評(píng) 到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助底面（正方形）的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)球心到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，可列關(guān)系式求出球的半徑.

2 割補(bǔ)法

對(duì)于某些特殊幾何體的外接球問(wèn)題，如果球心不容易確定，可考慮將其補(bǔ)全為正方體或長(zhǎng)方體，這樣球心就與正方體或長(zhǎng)方體中心重合了（這是本質(zhì)所在）.如正四面體、正八面體、對(duì)棱相等的四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體等，都可補(bǔ)形成為長(zhǎng)方體[1].

例2 三棱錐S-ABC中，SA⊥平面△ABC，△ABC為直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=1，SA=2，則三棱錐S-ABC的外接球的體積為.

解析 由題意可將三棱錐S-ABC補(bǔ)全為一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖2所示，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線SC=SA2+AB2+BC2=6.

即三棱錐外接球的直徑為2R=SC=6.

所以R=62.

因此三棱錐外接球的體積為

V=43πR3=6π.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)題意，將三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為三棱錐外接球的直徑，再由球的體積公式即可得到結(jié)果.將待求幾何體看成正方體（或長(zhǎng)方體）的一部分，然后通過(guò)正方體（或長(zhǎng)方體）來(lái)求解，這是一個(gè)常用方法——割補(bǔ)法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與整體思想.

3 找球心法

在這類題中，組合體的中心常常因組合體的某些性質(zhì)（如對(duì)稱性）而位于一些特殊位置（如圓心、中心重合），因而很多時(shí)候確定中心位置對(duì)解題具有非常重要的作用.

方法1 常規(guī)方法.

①第一步：確定中心位置.

當(dāng)為外接球時(shí)，組合體的中心就是球心.

②第二步：構(gòu)建幾何圖形.

基于中心位置和球心（不與中心重合時(shí)），并結(jié)合外接點(diǎn)，構(gòu)建可方便用來(lái)輔助計(jì)算的幾何圖形——最終目標(biāo)多為直角三角形.這是求解這類問(wèn)題的要領(lǐng)與技巧.

方法2 球的“垂徑定理”.

類似于圓的垂徑定理，球中也有“垂徑定理”，其內(nèi)容如下：

球心與任一截面圓心的連線垂直于截面；反之，任一截面通過(guò)圓心的垂線穿過(guò)球心.

球的“垂徑定理”可以說(shuō)是確定球心的一種通用方法.先找?guī)缀误w的一個(gè)內(nèi)接面的外接圓的圓心，通過(guò)圓心且垂直于該平面的直線一定穿過(guò)球心.同理，可找到一條垂直于另一內(nèi)接面的外接圓的圓心的直線，兩直線交點(diǎn)即為球心.

如圖3所示，已知四棱錐A-BCDE的底面BCDE是矩形，側(cè)面ABC是等邊三角形，則確定四棱錐A-BCDE的外接球的球心步驟為：

底面BCDE外接圓的圓心為對(duì)角線的交點(diǎn)O1，過(guò)點(diǎn)O1作垂線，球心在其垂線上；平面ABC外接圓的圓心為其外心，由于是正三角形，也是重心O2，過(guò)圓心的垂線穿過(guò)球心，故球心在兩條垂線的交點(diǎn)上.

例3 如圖4所示，已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為等腰直角三角形，斜邊AC=22，側(cè)面SAB為正三角形，D為AB的中點(diǎn)，SD⊥底面ABC，則三棱錐S-ABC外接球的表面積為.

解析 如圖5所示，取AC中點(diǎn)E，連接DE.

在等腰Rt△ABC中，AC=22，則AB=BC=2.

因?yàn)閭?cè)面SAB為正三角形，所以SA=AB=2，SD=3.

因?yàn)榈酌鍭BC為等腰直角三角形，E是AC中點(diǎn)，故E為△ABC的外心.

所以O(shè)E⊥平面ABC.

又SD⊥底面ABC，所以O(shè)E∥SD.

設(shè)三棱錐S-ABC外接球的球心為O，連接OA，OB，OS，OE，則OA=OB=OS.

所以三棱錐O-SAB為正三棱錐，O在平面SAB上的射影F是△SAB的重心，則點(diǎn)F在SD上，DF=13SD=33，且OF⊥平面SAB.

因?yàn)榈酌鍭BC為等腰直角三角形，且AC為斜邊，所以AB⊥BC.

因?yàn)镈，E分別為AB，AC中點(diǎn)，所以DE∥BC.

所以DE⊥AB.

因?yàn)镾D⊥底面ABC，DE底面ABC，

所以DE⊥SD.

又因?yàn)锳B∩SD=D，AB，SD平面SAB，

所以DE⊥平面SAB.

所以DE∥OF.

所以四邊形OEDF為矩形，OE=DF=33.

所以外接球半徑

r=|OA|=|AE|2+|OE|2=

（2）2+（33）2=73.

所以外接球表面積S=4πr2=28π3.

點(diǎn)評(píng) 設(shè)三棱錐S-ABC外接球的球心為O，確定球心的位置，即球心落在過(guò)底面外心的垂線上，再利用圖形的幾何性質(zhì)求得外接球半徑，進(jìn)而求得表面積.

例4[2] 在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，若P，A，B，C四點(diǎn)都在表面積為16π的球的球面上，則三棱錐P-ABC的體積為.

解析 如圖6所示，設(shè)O1為正△ABC的中心，M為PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O1作平面ABC的垂線l，由于PA⊥平面ABC，故l∥PA.

在l，PA確定的平面內(nèi)作MO⊥l，垂足為點(diǎn)O，則四邊形OO1AM為矩形.

連接O1A，O1B，O1C，則O1A=O1B=O1C.

故OP=OA=OB=OC.

則O為三棱錐P-ABC外接球的球心.

因?yàn)镻，A，B，C四點(diǎn)都在表面積為16π的球的球面上，

設(shè)外接球半徑為R，故4πR2=16π，解得R=2.

△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

故O1A=23×32×2=233.

故PA=2OO1=R2-AO21=463.

所以三棱錐P-ABC的體積

V=13×（12×22×32）×463=423.

點(diǎn)評(píng) 由題意確定三棱錐外接球球心位置，根據(jù)外接球表面積求得外接球半徑，即可求得PA的長(zhǎng)，再利用三棱錐體積公式即可求得答案.

4 結(jié)束語(yǔ)

解決空間幾何體的外接球問(wèn)題的關(guān)鍵是確定球心的位置，建議一線教師在教學(xué)中要給學(xué)生講清楚確定球心的原理與方法.同時(shí)，也要多對(duì)外接球模型的試題進(jìn)行總結(jié)，比如長(zhǎng)方體模型、三棱錐模型等，在總結(jié)中提升教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生的解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 黃偉亮.巧用六大模型 輕松解決四面體外接球問(wèn)題[J].數(shù)理化解題研究，2023（01）：12-16.

[2] 李鴻昌.點(diǎn)在面內(nèi)的多視角證明與高觀點(diǎn)審視：一道2020年立體幾何高考題引發(fā)的探究[J].數(shù)理化解題研究，2023（22）：101-104.

［責(zé)任編輯：李 璟］