數(shù)學(xué)文化在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐

中職數(shù)學(xué)作為中等專業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)的一門基礎(chǔ)學(xué)科，其最新發(fā)布的《職業(yè)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出了數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)之一是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界、用數(shù)學(xué)文化溝通世界。因此如何將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)思想通過(guò)實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)滲透至日常的數(shù)學(xué)授課中，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)文化的概念

“數(shù)學(xué)文化”一詞自20世紀(jì)中期被提出后，教育學(xué)界的眾多研究學(xué)者也都給出了自己的定義，但到現(xiàn)在為止還沒(méi)有一個(gè)明確統(tǒng)一的定論。《五年制高等職業(yè)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2023年）》中的拓展模塊-數(shù)學(xué)文化專題也給出建議：內(nèi)容選擇上主要通過(guò)包括中國(guó)數(shù)學(xué)史、西方數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的故事和數(shù)學(xué)美學(xué)等，滲透數(shù)學(xué)文化，幫助學(xué)生提升核心素養(yǎng)。筆者主要從數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義兩個(gè)方面出發(fā)，討論將其融入中職數(shù)學(xué)教學(xué)的活動(dòng)中。

數(shù)學(xué)文化的價(jià)值

數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，這也造就了它的內(nèi)容枯燥和抽象，無(wú)論是數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)課堂都是如此。并且傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)上老師往往只關(guān)注于課本內(nèi)容與概念的講解，課堂呈現(xiàn)形式也過(guò)于單一，很難將數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容準(zhǔn)確形象地表達(dá)出來(lái)。所以學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，存在積極性不高，甚至厭學(xué)等問(wèn)題。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，融入數(shù)學(xué)文化可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂的趣味性，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索的欲望，進(jìn)而在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。學(xué)生還可以從接觸和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)家們的個(gè)人的優(yōu)秀品質(zhì)，間接地引導(dǎo)學(xué)生正確的人生觀和價(jià)值觀。

數(shù)學(xué)文化在中職數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐

在實(shí)際教學(xué)中，利用好數(shù)學(xué)文化，將有趣生動(dòng)和直觀的數(shù)學(xué)歷史內(nèi)容帶入實(shí)際課堂，在豐富學(xué)生人文價(jià)值的同時(shí)，結(jié)合好現(xiàn)實(shí)生活的現(xiàn)實(shí)意義，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)變?yōu)閷?shí)際應(yīng)用。這在職業(yè)教育中尤為重要。

本例以虛數(shù)的產(chǎn)生及其意義為切入點(diǎn)，結(jié)合之前的數(shù)學(xué)知識(shí)，將數(shù)集的演變過(guò)程完整地呈現(xiàn)至學(xué)生面前，可以讓學(xué)生更為直觀地理解其中的意義，感受其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化。并在此過(guò)程中，由淺入深引入虛數(shù)的指數(shù)形式、最美公式——?dú)W拉公式以及虛數(shù)在實(shí)現(xiàn)電力電子方向的應(yīng)用和實(shí)際意義。

一、虛數(shù)的產(chǎn)生

我們知道數(shù)學(xué)課本上定義虛數(shù)" 為-1的平方根，即

那么虛數(shù)到底是為什么被定義為-1的平方根呢，而又是如何產(chǎn)生的呢，以及虛數(shù)到底有什么意義呢？

虛數(shù)首次出現(xiàn)是在16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾的著作《大術(shù)》中，一元三次方程的完整解法提到這一個(gè)問(wèn)題，能否把10分成兩部分，使它們的乘積為40？給出了一個(gè)答案：

吉羅拉莫·卡爾達(dá)雖然給出了答案，但他卻認(rèn)為這樣的數(shù)是不存在的，也沒(méi)有什么用處。

直到后來(lái)著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾為了解決方程：

的求解問(wèn)題，才正式定義

再經(jīng)過(guò)諸多數(shù)學(xué)家的不懈努力，才最終將“數(shù)”從由“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”構(gòu)成的“實(shí)數(shù)集”擴(kuò)充至“復(fù)數(shù)域”。

二、虛數(shù)的意義

虛數(shù)的意義跟復(fù)平面有著非常重要的關(guān)聯(lián)，課本上雖然使用了復(fù)平面的思想講解了關(guān)于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的定義及其計(jì)算，但并不深刻，不能讓學(xué)生真正理解其背后的意義。

復(fù)數(shù)的幾何表示是最早由挪威的測(cè)量學(xué)家韋賽爾提出的，后經(jīng)偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯進(jìn)一步證明推廣，因此復(fù)數(shù)的復(fù)平面也被稱為“高斯平面”。那么關(guān)于“虛數(shù)”到底應(yīng)該怎么理解呢，高斯曾說(shuō)過(guò)：“迄今為止，人們對(duì)于虛數(shù)的考慮，依然在很大的程度上把虛數(shù)歸結(jié)為一個(gè)有毛病的概念，以致給虛數(shù)蒙上一層朦朧而神奇色彩。我認(rèn)為只要不把+1、-1、i叫作正一、負(fù)一和虛一，而稱之為向前一、反向一和側(cè)向一，那么這層朦朧而神奇的色彩即可消失?！?/p>

即“虛數(shù)”代表在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，也就是解決了數(shù)的平面內(nèi)移動(dòng)，圖示如下：

故：

1）" " " ，即表示在復(fù)平面內(nèi)由實(shí)軸上的1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，變成了虛軸上的 。

2）" " " " " ，即表示在復(fù)平面內(nèi)由實(shí)軸上的1經(jīng)過(guò)兩次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，變成了實(shí)軸上的-1。

3）" " " " " " " ，即表示在復(fù)平面內(nèi)由實(shí)軸上的1經(jīng)過(guò)三次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，變成了虛軸上的-" 。

4）" " " " " " " ，即表示在復(fù)平面內(nèi)由實(shí)軸上的1經(jīng)過(guò)四次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，又回到了原實(shí)軸上的1。

三、數(shù)集的演變

從數(shù)集的歷史上總結(jié)數(shù)集的產(chǎn)生意義，讓學(xué)生可以更為直觀地感受數(shù)集的變化以及所帶來(lái)的影響。

1.自然數(shù)集：自然數(shù)的產(chǎn)生解決人們?nèi)粘Ｉ钪姓麛?shù)的計(jì)數(shù)，在數(shù)軸內(nèi)表示為：

2.有理數(shù)集：有理數(shù)解決數(shù)學(xué)世界里的非整數(shù)問(wèn)題，在數(shù)軸內(nèi)表示為：

3.實(shí)數(shù)集：實(shí)數(shù)集在有理數(shù)集的基礎(chǔ)上添加了無(wú)理數(shù)，解決了無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上的表示：

4.復(fù)數(shù)集：復(fù)數(shù)集在實(shí)數(shù)集的基礎(chǔ)上增加了虛數(shù)集，解決了數(shù)只能在數(shù)軸上的表示，將數(shù)僅能數(shù)軸上移動(dòng)擴(kuò)展到了數(shù)可以在平面內(nèi)移動(dòng)，如圖：

四、復(fù)數(shù)的指數(shù)表示

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式不得不引出歐拉公式：

這個(gè)簡(jiǎn)短的公式里，將數(shù)學(xué)上5個(gè)最為著名的數(shù)學(xué)常數(shù)：" " " " ，有機(jī)地聯(lián)系在了一起，因此這個(gè)公式被數(shù)學(xué)家們稱為“上帝創(chuàng)造的公式”，也被稱為“最美公式”。

歐拉公式是著名的數(shù)學(xué)家歐拉于1743年發(fā)表的，其一般形式為：

一般復(fù)數(shù)形式向指數(shù)形式的轉(zhuǎn)變：

一般復(fù)數(shù)形式為：

則在復(fù)平面內(nèi)可表示為如下圖：

從上圖中可以看出，可轉(zhuǎn)換為以極坐標(biāo)表示的復(fù)數(shù)形式：

進(jìn)而引入歐拉公式，為：

即，復(fù)數(shù)的指數(shù)形式為：

這也是極坐標(biāo)的指數(shù)表達(dá)形式。

由此也可以更為直觀地理解在平面內(nèi)，虛數(shù)實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)在平面內(nèi)移動(dòng)方向的改變，而不僅僅像實(shí)數(shù)一樣，被限定在數(shù)軸上的移動(dòng)。為其數(shù)值，而" 為其旋轉(zhuǎn)角度。

五、虛數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

虛數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中有著諸多的物理含義，被廣泛應(yīng)用在電力電子、系統(tǒng)控制，甚至于量子力學(xué)中。筆者以其在電力電子中的實(shí)際應(yīng)用為切入點(diǎn)，闡述其實(shí)際物理意義幫助學(xué)生更深層次理解虛數(shù)的含義。

在電路中電壓與電流中存在伏安關(guān)系，例如僅有電阻的回路中，其伏安關(guān)系表達(dá)為：

但電子元器件中也存在諸如類似電容、電感的器件，不像電阻一樣簡(jiǎn)單的伏安關(guān)系，同時(shí)也會(huì)在時(shí)間上產(chǎn)生，例如電容會(huì)導(dǎo)致電流在相位上超前電壓90度，如下圖：

像此類伏安關(guān)系的數(shù)學(xué)，如果僅在實(shí)數(shù)域內(nèi)則很難有效且清晰地被表達(dá)出來(lái)，但如果將其延伸至復(fù)數(shù)域，則變得異常簡(jiǎn)單，并且可以實(shí)現(xiàn)更為普遍的表達(dá)形式。

例如電感會(huì)導(dǎo)致電流在相位上滯后電壓90度，而不僅僅是數(shù)值上的變化。同時(shí)，我們知道虛數(shù)在平面內(nèi)可理解為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，所以相當(dāng)于電感在數(shù)值上存在一個(gè)復(fù)數(shù)域的。故電容的阻抗可表達(dá)為：

進(jìn)而伏安關(guān)系表達(dá)為：

電壓與電流關(guān)系式中可以看出，因?yàn)榇嬖谔摂?shù)" 的緣故，電壓與電流之前存在90度的方向偏移，產(chǎn)生如前圖所示的效果。

數(shù)學(xué)猶如一臺(tái)巨大的引擎，推動(dòng)著人類文明的不斷向前發(fā)展。它無(wú)處不在，從簡(jiǎn)單的日常生活到宏大的宇宙探索，無(wú)不扮演著重要的角色。它影響著我們社會(huì)的方方面面，構(gòu)成了現(xiàn)代社會(huì)的基石。隨著科學(xué)技術(shù)特別是計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)的研究與應(yīng)用得到了極大的拓展，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展。

正是由于數(shù)學(xué)的重要性，近年來(lái)由于教育界不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)文化的關(guān)注，從教材、教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、考試、實(shí)踐等多個(gè)緯度也在逐步引入數(shù)學(xué)文化的相關(guān)內(nèi)容。相信隨著研究工作的不斷深入，數(shù)學(xué)文化在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中也必將承擔(dān)著越來(lái)越多的內(nèi)容。

（作者單位：江蘇省相城中等專業(yè)學(xué)校）