后期維特根斯坦對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義的批判

摘 要：后期維特根斯坦對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義的批判，既是其語(yǔ)言批判思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，也是其數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的重要組成部分。該批判包括三重維度：（1）重新明確數(shù)學(xué)本性，堅(jiān)信數(shù)學(xué)既非關(guān)于抽象對(duì)象的知識(shí)體系，亦非以邏輯演繹為核心的科學(xué)，而是由一系列計(jì)算、推理等具體實(shí)踐構(gòu)成的技術(shù)；（2）重新審視命題建構(gòu)論，主張數(shù)學(xué)命題不是在固定邏輯規(guī)則下形成的機(jī)械復(fù)制產(chǎn)物，相反，數(shù)學(xué)命題的建構(gòu)遵循動(dòng)態(tài)的語(yǔ)法規(guī)則，并在語(yǔ)言的實(shí)踐中展現(xiàn)出無(wú)限的創(chuàng)造性；（3）重新評(píng)估證明方式，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)證明旨在以圖畫的形式直觀地呈現(xiàn)命題轉(zhuǎn)換過(guò)程，而不是通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理獲得最終結(jié)果。從某種意義上說(shuō)，上述批判在解構(gòu)數(shù)學(xué)邏輯主義的同時(shí)，也重構(gòu)了數(shù)學(xué)哲學(xué)的論域，具體表現(xiàn)在維特根斯坦從日常語(yǔ)言分析的角度對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行了開創(chuàng)性的解讀：數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言游戲。理解數(shù)學(xué)，或者說(shuō)參與數(shù)學(xué)語(yǔ)言游戲的前提是遵守語(yǔ)法規(guī)則。然而，語(yǔ)法規(guī)則并不是不言自明的絕對(duì)真理，而是通過(guò)共同體內(nèi)的社會(huì)實(shí)踐才具有意義，并在此過(guò)程中達(dá)成共識(shí)。換言之，數(shù)學(xué)是一種規(guī)范化的、同時(shí)又受規(guī)則支配的實(shí)踐活動(dòng)。這不僅挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念，還將數(shù)學(xué)置于更廣闊的社會(huì)實(shí)踐網(wǎng)絡(luò)中加以考察，從而開啟了數(shù)學(xué)哲學(xué)研究新途徑的可能性。

關(guān)鍵詞：后期維特根斯坦；數(shù)學(xué)邏輯主義；數(shù)學(xué)哲學(xué)；命題建構(gòu)；數(shù)學(xué)證明

中圖分類號(hào)：B0" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：

1672-1101（2024）06-0021-07

收稿日期：2024-05-29

基金項(xiàng)目：國(guó)家哲學(xué)社會(huì)科學(xué)一般基金項(xiàng)目：英國(guó)觀念論的邏輯演進(jìn)研究（23BZX058）

*通信作者：管月飛（1972-），男，安徽和縣人，副教授，博士，研究方向：近現(xiàn)代西方哲學(xué)。

作者簡(jiǎn)介：徐晟程（2000-），男，江蘇蘇州人，助教，研究方向：維特根斯坦哲學(xué)、數(shù)學(xué)哲學(xué)。

Later Wittgenstein′s" Criticism" of" Mathematical Logicism

——On" the Possibility of New Ways" of" Mathematical" Philosophy" Research

XU Shengcheng，GUAN Yuefei*

（School of Marxism，Anhui Normal University，Wuhu，Anhui" 241002，China）

Abstract： Later Wittgenstein's criticism of mathematical logicism is not only the application of his language criticism thought in the field of mathematics，but also an important part of his mathematical philosophy.This critique includes three dimensions：（1） redefining the nature of mathematics，and firmly believing that mathematics is neither a knowledge system about abstract objects nor a science centered on logical deduction，but a technology composed of a series of concrete practices such as calculation and reasoning;（2） re-examining propositional constructivism and assert that mathematical propositions are not mechanical replicas formed under fixed logical rules.On the contrary，the construction of mathematical propositions follows the dynamic grammatical rules and shows infinite creativity in the practice of language；（3） re-evaluating the proof method，emphasizing that mathematical proof aims to visually present the propositional transformation process in the form of pictures，rather than to obtain the final result through rigorous logical reasoning.In a sense，the above criticism not only deconstructs mathematical logicism，but also reconstructs the field of mathematical philosophy，which is concretely reflected in Wittgenstein′s pioneering interpretation of mathematics from the perspective of everyday language analysis： mathematics is a language game.To understand mathematics，or to participate in mathematical language games，is to follow the rules of grammar.Grammatical rules，however，are not self-evident absolute truths，but take on meaning through social practice within the community，and consensus is reached in the process.In other words，mathematics is a standardized and rule-governed practice.This not only challenges the traditional concept of mathematics，but also places mathematics in a broader network of social practice，thus opening up the possibility of a new approach to the study of mathematical philosophy.

Key words：later Wittgenstein; mathematical logicism; philosophy of mathematics; proposition construction; mathematical proof

維特根斯坦承認(rèn)，他全部哲學(xué)工作中最為突出的貢獻(xiàn)莫過(guò)于數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究John Wisdom曾為維特根斯坦撰寫一個(gè)簡(jiǎn)短的傳記性段落，出版前Wisdom請(qǐng)維特根斯坦過(guò)目一下，維特根斯坦僅在段落后增加一句話：“維特根斯坦的主要貢獻(xiàn)在于數(shù)學(xué)哲學(xué)?！眳⒁奙ONK" R.Ludwig Wittgenstein：The Duty of Genius［M］.New York： Free Press，1990：466.。在他看來(lái)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)在本質(zhì)上屬于同一類研究，且二者都因語(yǔ)言的誤用而導(dǎo)致一系列語(yǔ)法問(wèn)題。因此，澄清工作不僅限于哲學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)領(lǐng)域同樣需要澄清。他指出，數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言游戲，或者說(shuō)一種語(yǔ)言實(shí)踐活動(dòng)，它必須在特定的情境中通過(guò)現(xiàn)實(shí)的實(shí)踐活動(dòng)獲得意義。因而，任何試圖超越現(xiàn)實(shí)行為的解釋都將具有形而上學(xué)傾向。對(duì)于數(shù)學(xué)研究，維特根斯坦扮演著批判者的角色，其批判更像是一種“治療”。他反對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念，卻未提供任何可供代替的方案，僅從各種數(shù)學(xué)觀念中保留了他認(rèn)為合理的部分。后期維特根斯坦不再局限于早期的邏輯視角，他對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義的批判較為徹底，表現(xiàn)在他試圖將邏輯完全排除在數(shù)學(xué)哲學(xué)研究之外。實(shí)際上，他通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義的批判，間接實(shí)現(xiàn)了對(duì)其他數(shù)學(xué)觀念的批判。因此，本文的任務(wù)是雙重的：一方面，立足于后期維特根斯坦對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義所作批判的三重維度，揭示其獨(dú)特的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想；另一方面，進(jìn)一步探討維特根斯坦從人類社會(huì)視角出發(fā)，尤其是通過(guò)語(yǔ)言實(shí)踐活動(dòng)來(lái)理解和分析數(shù)學(xué)所帶來(lái)的影響和啟示。

一、數(shù)學(xué)邏輯主義的基本主張及其問(wèn)題

隨著近代自然科學(xué)的飛速崛起，數(shù)學(xué)與邏輯都獲得了巨大的發(fā)展。二者的關(guān)系不再如以往那樣形同陌路，而是互相交織。正如羅素在《數(shù)學(xué)哲學(xué)導(dǎo)論》中所述：“在歷史上，數(shù)學(xué)與邏輯是兩門完全不同的學(xué)科：數(shù)學(xué)與科學(xué)有關(guān)，邏輯與希臘文有關(guān)。但是在近代，二者有了很大的發(fā)展，邏輯更數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)也更邏輯化，結(jié)果在二者之間完全不能劃出一條界線；事實(shí)上二者也確實(shí)是一門學(xué)科。他們的不同就像兒童與成人的不同：邏輯是數(shù)學(xué)的少年時(shí)代，數(shù)學(xué)是邏輯的成人時(shí)代?！?sup>［1^］199由此，數(shù)學(xué)被人們視作一門具有邏輯嚴(yán)密性的科學(xué)。20世紀(jì)初，羅素等人的研究推翻了以康托爾（Georg Cantor）集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理想觀點(diǎn)，并試圖在邏輯上重建全部數(shù)學(xué)，這種觀點(diǎn)最終形成了數(shù)學(xué)邏輯主義1902年羅素發(fā)現(xiàn)了康托爾集合論中最著名的悖論，即所謂的羅素悖論（Russell’s paradox），悖論的提出引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。對(duì)悖論產(chǎn)生原因和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的討論吸引了多個(gè)領(lǐng)域的研究者，并逐漸形成了三大數(shù)學(xué)流派：邏輯主義、直覺主義和形式主義。鑒于本文旨在說(shuō)明維特根斯坦對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義的批判，故維特根斯坦對(duì)其他流派產(chǎn)生的影響不在探討范圍之內(nèi)。。該流派的主要代表人物有羅素、弗雷格和懷特海等，其基本主張可以概括為三方面：

第一，邏輯是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)被視為邏輯的延伸，并且全部數(shù)學(xué)都可以還原為邏輯。一言以蔽之，數(shù)學(xué)工作實(shí)際上就是邏輯概念研究。例如，弗雷格用一系列獨(dú)創(chuàng)的邏輯概念重新定義自然數(shù)理論中“0”“數(shù)”等基本概念。此外，數(shù)學(xué)邏輯主義還主張數(shù)學(xué)和邏輯之間可以互相轉(zhuǎn)換，即不僅全部數(shù)學(xué)可以被還原為邏輯，從邏輯出發(fā)也可以推導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)。像羅素和懷特海則將數(shù)學(xué)視為一個(gè)形式系統(tǒng)，并計(jì)劃從形式邏輯出發(fā)推導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)。按照數(shù)學(xué)邏輯主義的說(shuō)法，如果全部數(shù)學(xué)都能完美還原為邏輯，那么數(shù)學(xué)必定能在邏輯基礎(chǔ)上堅(jiān)實(shí)地被重新建立起來(lái)。然而，將全部數(shù)學(xué)都簡(jiǎn)單的還原為邏輯是一種理想化狀態(tài)，在還原工作的實(shí)際進(jìn)行中，其復(fù)雜性和多樣性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了簡(jiǎn)單的邏輯體系所能涵蓋的范圍。除此之外，人內(nèi)在直覺和想象力的考察也在邏輯體系之外，并深刻影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展。由此可見，在邏輯上重建數(shù)學(xué)的想法，是一個(gè)過(guò)于理想化的設(shè)定。

第二，數(shù)學(xué)與邏輯在形式上是同一的，并且二者的命題建構(gòu)都遵循相同的邏輯規(guī)則。數(shù)學(xué)邏輯主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)命題的建構(gòu)是一種形式化的建構(gòu)，它類似于邏輯命題的建構(gòu)。首先，這兩類命題都具有嚴(yán)格且相似的邏輯結(jié)構(gòu)。邏輯命題（分子命題）可以進(jìn)一步分解為簡(jiǎn)單命題（原子命題）；而數(shù)學(xué)命題也可以被進(jìn)一步分解為邏輯常項(xiàng)和變?cè)壿嫵ｍ?xiàng)指的是那些不隨特定命題內(nèi)容而改變的邏輯元素，而變?cè)獎(jiǎng)t代表可以替換的具體內(nèi)容。。其次，它們都采用符號(hào)化或者形式語(yǔ)言來(lái)表示。例如，在邏輯中，“∨”符號(hào)表示析取運(yùn)算（Disjunction），而在數(shù)學(xué)中表示并集運(yùn)算（Union）。再者，它們的真值具有唯一性，要么為真，要么為假。實(shí)際上，二者的相似性源自它們相同的建構(gòu)規(guī)則，即形式邏輯規(guī)則。正如羅素所言：“一切純數(shù)學(xué)——算術(shù)、分析和幾何，都是由邏輯的原始概念漸次組合而成的……因此，形式邏輯學(xué)科已表明自己和數(shù)學(xué)是同一的。”^［2］就此而言，數(shù)學(xué)與邏輯是一體兩面、無(wú)法分離的。然而，嚴(yán)格按照固定邏輯規(guī)則建構(gòu)的數(shù)學(xué)命題卻不能滿足日常生活的復(fù)雜需求，反而使其建構(gòu)過(guò)程變得機(jī)械化。

第三，邏輯推理在數(shù)學(xué)證明中起決定性作用，其必然性確保了數(shù)學(xué)證明是客觀有效的。邏輯推理，或者說(shuō)，邏輯的演繹法^［1］148是一種不涉及命題的具體內(nèi)容或語(yǔ)義，只關(guān)乎命題之間的形式關(guān)系的必然性推理，即在確保前提無(wú)誤的情況下，只要嚴(yán)格按照推理規(guī)則執(zhí)行，就能獲得準(zhǔn)確的結(jié)論，從而確保數(shù)學(xué)證明的有效性和客觀性。因此，數(shù)學(xué)邏輯主義強(qiáng)調(diào)邏輯推理在數(shù)學(xué)證明中具有不可替代的位置，并起著決定性的作用。正如羅素所斷言的那樣：“在數(shù)學(xué)中用數(shù)學(xué)的方法所能知道的東西就是能從純邏輯推演出來(lái)的東西。”^［1］148邏輯推理也間接地確保了數(shù)學(xué)真理的客觀性。然而，邏輯推理作為數(shù)學(xué)證明方式，主要適用于處理固定邏輯規(guī)則下建構(gòu)的形式化數(shù)學(xué)命題，而無(wú)法涵蓋諸如概率論、拓?fù)鋵W(xué)等非形式化的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。除此之外，邏輯推理在某些情況下亦可能會(huì)受到邏輯系統(tǒng)中潛在的悖論和不完備性問(wèn)題的影響。譬如，哥德爾不完全性定理（Gdel incompleteness theorems）

哥德爾不完全性定理陳述：在任何一致的形式系統(tǒng)里，都有一個(gè)句子，既不能被證明為真，也不能被證明為假；一個(gè)算術(shù)形式系統(tǒng)的一致性不能在那個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部證明。就揭示了即使在嚴(yán)格的邏輯推理之下，仍然存在一些數(shù)學(xué)命題無(wú)法被證明。

誠(chéng)然，早期維特根斯坦在一定程度上受到了邏輯主義的影響。特別是在《邏輯哲學(xué)論》的序言中，他提到：“我只想指出，對(duì)我的思想的大部分刺激來(lái)源于弗雷格的偉大著作和我的朋友伯特蘭·羅素先生的著作?！?sup>［3^］4然而，即便是早期的維特根斯坦也并沒(méi)有想要為邏輯主義辯護(hù)。相反，到了后期，他表現(xiàn)出徹底的反邏輯主義傾向，并試圖將邏輯從數(shù)學(xué)的研究中抽離出去。正如他所述：“有人認(rèn)為，有一門被稱為邏輯的科學(xué)，數(shù)學(xué)就立足于這門科學(xué)之上。但是我要說(shuō)明的是，數(shù)學(xué)絕不是立足于邏輯之上的，邏輯公式與數(shù)學(xué)形式相一致，但這個(gè)事實(shí)絕沒(méi)有表明數(shù)學(xué)立足于邏輯之上?！?sup>［4^］就此而言，后期維特根斯坦基于日常語(yǔ)言分析，對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義在數(shù)學(xué)本性、命題建構(gòu)論和證明方式這三重維度進(jìn)行了深刻的批判。他批判的目的是為了徹底摧毀原有的數(shù)學(xué)觀，從而重新對(duì)數(shù)學(xué)展開系統(tǒng)性考察。

二、維特根斯坦對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義數(shù)學(xué)本性的批判

一直以來(lái)，數(shù)學(xué)的進(jìn)步被認(rèn)為依賴于自然科學(xué)的發(fā)展。然而，集合論的興起表明了純粹數(shù)學(xué)的研究是可能的。這使得數(shù)學(xué)有望擺脫自然科學(xué)的束縛，成為一門獨(dú)立的科學(xué)。在此背景下，數(shù)學(xué)邏輯主義認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門建立在邏輯基礎(chǔ)上的嚴(yán)格科學(xué)，將視其為邏輯的延伸。后期維特根斯坦對(duì)上述觀點(diǎn)進(jìn)行了猛烈的批判，其批判主要圍繞以下3個(gè)問(wèn)題展開：（1）數(shù)學(xué)是否為科學(xué)？（2）數(shù)學(xué)是否為邏輯的一部分？（3）數(shù)學(xué)是否需要邏輯作為其基礎(chǔ)？

數(shù)學(xué)邏輯主義接受了數(shù)學(xué)柏拉圖主義的觀點(diǎn)，即認(rèn)為數(shù)學(xué)家的工作是發(fā)現(xiàn)或揭示數(shù)學(xué)的屬性和關(guān)系，就如同物理學(xué)家的工作是發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)世界中的事實(shí)一樣。因此，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門關(guān)于邏輯演繹的科學(xué)，其研究對(duì)象是概念、定理，研究方法依賴于嚴(yán)密的邏輯推理。如，羅素在《數(shù)學(xué)哲學(xué)導(dǎo)論》中提到：“數(shù)學(xué)是一門演繹的科學(xué)：從某些前提出發(fā)，通過(guò)一個(gè)嚴(yán)格的演繹過(guò)程，達(dá)到許多定理，這些就構(gòu)成數(shù)學(xué)?！?sup>［1^］147后期維特根斯坦反對(duì)用自然科學(xué)范式來(lái)思考數(shù)學(xué)。為此，他主張數(shù)學(xué)的澄清工作應(yīng)從明確其定位和目標(biāo)開始。在他看來(lái)，數(shù)學(xué)實(shí)際上是一系列技術(shù)實(shí)踐活動(dòng)的組合，或者說(shuō)，一種“證明的混雜技術(shù)”^{［5］PartⅡ-46}。與自然科學(xué)不同，數(shù)學(xué)的目的在于技術(shù)性的應(yīng)用，而非揭示自然界的客觀規(guī)律。維特根斯坦認(rèn)為，人們逐漸忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，因?yàn)樗麄兂撩杂趯?duì)純粹數(shù)學(xué)的研究。他將數(shù)學(xué)比作家中不常使用的“掃帚”：過(guò)去掃帚用于打掃房屋，現(xiàn)在卻被當(dāng)作家具。因此，對(duì)于維特根斯坦而言，數(shù)學(xué)實(shí)際上是人類解決問(wèn)題的技術(shù)手段，并在實(shí)踐中展現(xiàn)其應(yīng)用性。

維特根斯坦并不否認(rèn)邏輯與數(shù)學(xué)之間的密切關(guān)系，甚至在早期著作中提到：“數(shù)學(xué)是邏輯的一種方法”^［3］80。然而，后期維特根斯坦逐漸意識(shí)到，早期將數(shù)學(xué)視為邏輯的一部分源于對(duì)邏輯的過(guò)度“崇拜”，這種思維模式錯(cuò)誤地認(rèn)為邏輯可以解釋一切事物，尤其是數(shù)學(xué)。在他看來(lái)，這種觀點(diǎn)不僅是錯(cuò)誤的，而且是危險(xiǎn)的，“邏輯對(duì)數(shù)學(xué)的‘災(zāi)難性入侵’……邏輯技術(shù)的害處是，它使我們忘記特別的數(shù)學(xué)技術(shù)，而邏輯技術(shù)只是數(shù)學(xué)中的輔助性技術(shù)。例如，它在不同技術(shù)之間建立了某些聯(lián)系”^{［5］PartⅣ-24}。也就是說(shuō)，邏輯應(yīng)該被視為數(shù)學(xué)活動(dòng)的一種輔助性工具，而非其核心。而所謂的數(shù)理邏輯、量詞邏輯等邏輯技術(shù)都只是數(shù)學(xué)技術(shù)活動(dòng)的一個(gè)分支。因此，一方面，數(shù)學(xué)的復(fù)雜性超出了邏輯框架的范圍，無(wú)法簡(jiǎn)單的通過(guò)邏輯來(lái)解釋；另一方面，數(shù)學(xué)是一系列技術(shù)活動(dòng)的綜合體，邏輯只是其中的一部分，不應(yīng)被視為是數(shù)學(xué)的全部。

顯然，將邏輯視為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的設(shè)想是無(wú)法站穩(wěn)腳跟的，因?yàn)檫壿媰H具輔助性功能，無(wú)法支撐起整個(gè)數(shù)學(xué)體系。后期維特根斯坦從反基礎(chǔ)主義的立場(chǎng)出發(fā)指出：“數(shù)學(xué)為什么需要一個(gè)基礎(chǔ)呢？我相信，數(shù)學(xué)不需要這樣的基礎(chǔ)，正如那些涉及物理對(duì)象的命題或者那些涉及感覺印象的命題不需要分析一樣?！?sup>［6^］他又說(shuō)：“對(duì)我們而言，所謂基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題不再是基礎(chǔ)，就像畫上的石頭也不能支撐畫上的塔樓一樣?！?sup>［^7］417也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)不需要基礎(chǔ)，那么數(shù)學(xué)邏輯主義對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的追問(wèn)是如何產(chǎn)生的呢？維特根斯坦認(rèn)為，他們對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的追問(wèn)應(yīng)歸結(jié)于語(yǔ)言的誤用。這是因?yàn)?，在日常生活中人們傾向于使用類比的方式來(lái)解釋事物。然而，某些類比實(shí)際上是語(yǔ)言誤用，這些類比造成了一系列無(wú)意義的問(wèn)題。如，將時(shí)間類比物質(zhì)運(yùn)動(dòng)來(lái)解釋時(shí)間：時(shí)間在“流動(dòng)”，又或者說(shuō)，詢問(wèn)時(shí)間來(lái)自哪里、流向何處等等。事實(shí)上，這些問(wèn)題可以被我們思考，卻無(wú)法給出答案，因?yàn)閱?wèn)題本身是無(wú)意義的。后期維特根斯坦將這類語(yǔ)言誤用問(wèn)題統(tǒng)稱為語(yǔ)法問(wèn)題，他明確指出，語(yǔ)法問(wèn)題不僅是無(wú)意義的，而且還是導(dǎo)致人們形而上學(xué)傾向的根源?？傊?，數(shù)學(xué)邏輯主義將數(shù)學(xué)與邏輯進(jìn)行類比，并試圖通過(guò)邏輯來(lái)解釋數(shù)學(xué)，這顯然是語(yǔ)言的誤用。因而，他們對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的追問(wèn)也將不再單純是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是一個(gè)語(yǔ)法問(wèn)題。

三、維特根斯坦對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義命題建構(gòu)論的批判

數(shù)學(xué)邏輯主義認(rèn)為，由于數(shù)學(xué)與邏輯在形式上的一致性，邏輯學(xué)的原理和方法可以直接運(yùn)用于分析和構(gòu)造數(shù)學(xué)命題。然而，后期維特根斯坦反對(duì)這種觀點(diǎn)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)邏輯主義的命題建構(gòu)論實(shí)際上是人工語(yǔ)言的產(chǎn)物，并且這種固定邏輯規(guī)則下的命題建構(gòu)呈現(xiàn)出機(jī)械復(fù)制的特征，難以滿足生活形式的多樣性需求。為此，他指出，人工語(yǔ)言不能完全代替日常語(yǔ)言，并通過(guò)對(duì)日常語(yǔ)言的分析提出了一種動(dòng)態(tài)的命題建構(gòu)論。

就數(shù)學(xué)邏輯主義而言，命題的建構(gòu)是一個(gè)純粹形式化的過(guò)程，與命題的內(nèi)容和性質(zhì)無(wú)關(guān)，而僅僅取決于其形式。早期維特根斯坦在邏輯主義的影響下，詳細(xì)論述了命題建構(gòu)的基本規(guī)則。如，他認(rèn)為一般命題可以還原為基本的、不可再分的命題單元。在《邏輯哲學(xué)論》中，他指出：“命題是得自于所有基本命題的總和（當(dāng)然也是得自于如下之點(diǎn)：它是它們?nèi)康目偤停┑乃袞|西。因此，在某種意義上，人們可以說(shuō)，所有的命題都是諸基本命題的一般化。”^［3］43換而言之，所有命題在被建構(gòu)之前已經(jīng)存在，建構(gòu)命題只是遵循人工語(yǔ)言的邏輯規(guī)則去發(fā)現(xiàn)它們。然而，后期維特根斯坦反對(duì)人工語(yǔ)言概念。他強(qiáng)調(diào)日常語(yǔ)言本身就擁有完美的秩序，無(wú)需額外建構(gòu)一種完美的語(yǔ)言系統(tǒng)，并進(jìn)一步指出：“數(shù)理邏輯將我們?nèi)粘ＵZ(yǔ)言的形式膚淺的理解為對(duì)事實(shí)結(jié)構(gòu)的分析，從而完全扭曲了數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家的思想。”^{［5］PartⅣ-48}他認(rèn)為是數(shù)理邏輯的介入干擾了我們的判斷，導(dǎo)致我們過(guò)分簡(jiǎn)化了對(duì)事物的分析，誤將其視為一系列規(guī)則命題的靜態(tài)組合。基于這一認(rèn)識(shí)，維特根斯坦在批判數(shù)學(xué)邏輯主義命題的建構(gòu)論的同時(shí)，重新思考了命題的建構(gòu)及其可能性。

維特根斯坦承認(rèn)，命題并不是隨意創(chuàng)造的，它們是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的反映。因此，命題的建構(gòu)確實(shí)需要遵守一定的規(guī)則。正如他在后期著作中所述：“數(shù)學(xué)就是邏輯：它在我們的語(yǔ)言的規(guī)則之中活動(dòng)?！?sup>［8^］304但是，這些規(guī)則并不是數(shù)學(xué)邏輯主義所認(rèn)為的靜態(tài)邏輯規(guī)則，而是動(dòng)態(tài)的語(yǔ)法規(guī)則。他進(jìn)一步指出：“但是，如何——，它在這些規(guī)則中來(lái)回打轉(zhuǎn)嗎？——它總是創(chuàng)造新而又新的規(guī)則：總是構(gòu)建新的交通道路——通過(guò)擴(kuò)建舊的交通路網(wǎng)的方式?！?sup>［8^］304這表明，雖然命題的建構(gòu)受規(guī)則約束，但這些規(guī)則在日常語(yǔ)言的實(shí)踐中是不斷更新和變化的。規(guī)則與命題之間的關(guān)系就如同鐵軌與列車一般：規(guī)則就像鐵軌，而命題是鐵軌上運(yùn)行的列車。雖然離開鐵軌的列車無(wú)法正常行使，但鐵軌并不只有一條。鐵軌是無(wú)限的，它們之間交錯(cuò)縱橫，列車能在其中穿行。由此可見，命題建構(gòu)的可塑性和不確定性源于日常語(yǔ)言的多樣性和復(fù)雜性，這使得每個(gè)命題的建構(gòu)都可能創(chuàng)造出一條“鐵路線”。對(duì)于維特根斯坦而言，命題不僅僅是對(duì)事實(shí)的簡(jiǎn)單陳述，而是語(yǔ)言與規(guī)則交織的產(chǎn)物。當(dāng)我們嘗試建構(gòu)一個(gè)命題時(shí)，實(shí)際上是在遵循并適應(yīng)特定的語(yǔ)法規(guī)則，進(jìn)行一場(chǎng)語(yǔ)言游戲。這是一種發(fā)明創(chuàng)造過(guò)程，因?yàn)樵谌粘ＵZ(yǔ)言的實(shí)踐中，新的規(guī)則和用法不斷涌現(xiàn)，命題的建構(gòu)也必須根據(jù)這些新規(guī)則進(jìn)行調(diào)整和變化。因此，命題的建構(gòu)被視為一個(gè)動(dòng)態(tài)且持續(xù)的過(guò)程，并展現(xiàn)出一種無(wú)限的創(chuàng)造性。

有學(xué)者認(rèn)為，后期維特根斯坦的觀點(diǎn)是一種激進(jìn)的社會(huì)建構(gòu)論 社會(huì)建構(gòu)論將客觀性知識(shí)理解為社會(huì)的、文化的、公眾的和團(tuán)體的知識(shí)，與個(gè)人的、私自的或個(gè)體的信仰形成對(duì)比，而激進(jìn)的社會(huì)建構(gòu)論更是將所有陳述的必然性都?xì)w結(jié)為人類語(yǔ)言共同的約定，在此基礎(chǔ)上，他們將數(shù)學(xué)規(guī)則也視為人的約定。參見樊岳紅.維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)思想研究［M］.北京：科學(xué)出版社，2018：55-57.。達(dá)米特（Michael Dummett）認(rèn)為維特根斯坦將數(shù)學(xué)的公理、符號(hào)、對(duì)象甚至結(jié)論的正確性都當(dāng)作人們之間遵守規(guī)則的約定，間接否認(rèn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性，是一種“徹底的建構(gòu)主義”^［9］。此外，達(dá)米特進(jìn)一步指出，“遵守規(guī)則”是后期維特根斯坦考察的一個(gè)重要概念。不僅命題的建構(gòu)由規(guī)則決定，甚至命題的真假、存在與否也取決于規(guī)則。如，維特根斯坦認(rèn)為當(dāng)某人質(zhì)疑6+7=13這一普遍公認(rèn)的數(shù)學(xué)等式時(shí)，所展現(xiàn)出的并非是對(duì)一個(gè)普通事實(shí)觀點(diǎn)的分歧；相反，這暴露了他對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)使用規(guī)則的無(wú)知。事實(shí)上，維特根斯坦承認(rèn)確認(rèn)一個(gè)數(shù)學(xué)命題是否有效的方法在于證明，而證明依賴于規(guī)則。這一點(diǎn)契合了他對(duì)規(guī)則在命題建構(gòu)中重要性的強(qiáng)調(diào)。然而，他不贊同我們?cè)谝?guī)則范圍內(nèi)可以隨意建構(gòu)數(shù)學(xué)，盡管在證明過(guò)程中必須“盲目地”遵守規(guī)則。將維特根斯坦視為一個(gè)純粹的建構(gòu)主義者，是對(duì)他思想的誤讀。相反，他認(rèn)為我們不能自由地接受或拒絕任何證明結(jié)果，并且反復(fù)強(qiáng)調(diào)，在證明過(guò)程中我們是被迫得出某些結(jié)論的。

四、維特根斯坦對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義證明方式的批判

維特根斯坦關(guān)于數(shù)學(xué)證明的評(píng)論是其為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究開辟新途徑的一種嘗試。他在反思數(shù)學(xué)邏輯主義證明方式的基礎(chǔ)上，提出了一種與眾不同的證明方式，即將數(shù)學(xué)證明作為一種直觀的圖畫呈現(xiàn)技術(shù)，旨在對(duì)具體對(duì)象進(jìn)行直觀描述。后期維特根斯坦的評(píng)論主要圍繞數(shù)學(xué)證明的客觀性、自明性及其合法性展開，并提出了對(duì)數(shù)學(xué)獨(dú)特的見解——“數(shù)學(xué)家是發(fā)明者而非發(fā)現(xiàn)者”^［8］305。

推理證明是一種生活中常用的證明方式。推理是指從一個(gè)或多個(gè)命題（前提）出發(fā)到達(dá)另外某個(gè)命題（結(jié)論）的過(guò)程。在此過(guò)程中，結(jié)論可能為“真”也可能為“假”。例如，當(dāng)我們觀察到天上有烏云，就將推斷今天可能會(huì)下雨。而數(shù)學(xué)邏輯主義所推崇的邏輯推理，或者說(shuō)形式邏輯推理，區(qū)別于一般推理，它是一種必然性推理。由此，數(shù)學(xué)邏輯主義主張邏輯推理是數(shù)學(xué)證明的決定性方式，因?yàn)橹挥屑兇庑问缴系耐评聿拍鼙ＷC數(shù)學(xué)證明的絕對(duì)客觀性，從而間接證明數(shù)學(xué)真理具有客觀性。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)證明與數(shù)學(xué)真理的客觀性都依賴于邏輯推理的必然性。在他們看來(lái)，三者的關(guān)系就類似于某種齒輪機(jī)構(gòu)，邏輯推理是主動(dòng)輪，提供整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力，而數(shù)學(xué)證明與數(shù)學(xué)真理是從動(dòng)輪，依托于主動(dòng)輪的傳動(dòng)才能運(yùn)轉(zhuǎn)。后期維特根斯坦對(duì)數(shù)學(xué)邏輯主義的證明方式的批駁，并非要否定邏輯推理的有效性，而是反對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)證明的強(qiáng)制關(guān)聯(lián)。就維特根斯坦而言，邏輯推理為眾多有效證明技術(shù)中的一種，它不能代替數(shù)學(xué)證明技術(shù)。正如他所言：“一種證明技術(shù)又如何能夠通過(guò)另一種證明技術(shù)來(lái)界定呢？”^{［5］PartⅡ-45}換言之，他認(rèn)為數(shù)學(xué)證明區(qū)別于其他證明方式，是不可代替的。此外，證明不僅是對(duì)數(shù)學(xué)命題真假的驗(yàn)證，更是賦予命題特定意義的過(guò)程。

維特根斯坦在其后期著作中反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)證明必須是清晰的，因果關(guān)系在證明中不起作用。”^{［5］PartⅢ-41}他認(rèn)為數(shù)學(xué)證明是顯而易見的、自明的，應(yīng)該被限制在可觀察的范圍之內(nèi)。為此，維特根斯坦主張，數(shù)學(xué)證明是一種能夠直觀描述的圖畫技術(shù)，抑或說(shuō)，數(shù)學(xué)證明意在確立某一技術(shù)之有用的圖畫。如，“2×3＝3×2”這個(gè)數(shù)學(xué)命題可以轉(zhuǎn)換為具體事實(shí)的圖畫（如圖1、圖2所示），我們只需從不同角度觀察圖畫，就能直接理解該命題包含的信息并驗(yàn)證其正確性。在圖1中，我們的觀察順序由行到列，獲得兩行三列的數(shù)量關(guān)系；在圖2中，我們將圖畫旋轉(zhuǎn)90°再觀察，同樣的觀察順序下獲得了三行兩列的數(shù)量關(guān)系。維特根斯坦認(rèn)為，證明過(guò)程使得命題的空間位置發(fā)生了轉(zhuǎn)變，即命題從原初位置轉(zhuǎn)換到新位置上。他指出：“一個(gè)數(shù)學(xué)證明將一個(gè)數(shù)學(xué)命題納入到了一個(gè)新的演算之中，它改變了它在數(shù)學(xué)中的位置?！?sup>［8^］97也就是說(shuō)，呈現(xiàn)命題間轉(zhuǎn)換的過(guò)程，就是對(duì)命題“2×3＝3×2”的證明。按照維特根斯坦的觀點(diǎn)，“數(shù)學(xué)證明是這樣的某種東西，它向我們展示了我們所相信的東西” ^［8］102 。維特根斯坦進(jìn)一步解釋，這種證明方式之所以可行，是因?yàn)槲覀冊(cè)谌粘Ｉ钪薪邮芰顺朔ń粨Q律，即“a×b=b×a”這一公理，并且賦予其功能，選擇認(rèn)為它是毫無(wú)疑問(wèn)的“真理”。

在數(shù)學(xué)柏拉圖主義的長(zhǎng)期影響下，數(shù)學(xué)真理被認(rèn)為是先天存在的，整個(gè)數(shù)學(xué)世界是一個(gè)有待發(fā)現(xiàn)的世界。數(shù)學(xué)邏輯主義部分接受了這一觀點(diǎn)，并將邏輯推理作為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的重要途徑。與此不同，維特根斯坦認(rèn)為原初的數(shù)學(xué)世界更接近于“白板”，不存在任何先天的數(shù)學(xué)真理。他并不是要否定數(shù)學(xué)真理的客觀存在，相反，他認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是人類不斷發(fā)明和經(jīng)驗(yàn)積累的產(chǎn)物。顯然，維特根斯坦的上述觀點(diǎn)面臨著一個(gè)問(wèn)題，即數(shù)學(xué)證明的合法性問(wèn)題。具體來(lái)說(shuō)，他的證明方式能否確保其驗(yàn)證結(jié)果是客觀的？維特根斯坦試圖引入“自明的公理”來(lái)解決數(shù)學(xué)證明的合法性問(wèn)題。他認(rèn)為，公理的自明性源于共同體對(duì)規(guī)則的自覺遵守。展開來(lái)說(shuō)，在語(yǔ)言實(shí)踐中會(huì)形成一系列規(guī)則，而遵守規(guī)則的群體被稱為共同體。在長(zhǎng)期遵守規(guī)則的過(guò)程中，共同體間逐漸達(dá)成了某種默契：先遵守規(guī)則，然后將其規(guī)范成公理。如，計(jì)算一道規(guī)律題：Sn=2n-2（n取自然數(shù)）A與B兩學(xué)生有不同答案，學(xué)生A：-2，0，2，4，6……；學(xué)生B：-2，0，2，4，8……。此時(shí)，老師需要對(duì)學(xué)生作出肯定（表?yè)P(yáng)）A同學(xué)或否定（批評(píng)）B同學(xué)的信號(hào)來(lái)訓(xùn)練學(xué)生，使他們意識(shí)到何種計(jì)算方式才是對(duì)規(guī)則正確的遵守，并在長(zhǎng)期以往的訓(xùn)練中達(dá)到對(duì)正確規(guī)則的自覺遵守，最終確定毋庸置疑的自明公理，從而確保證明的合法性。

五、維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)的啟示

維特根斯坦將數(shù)學(xué)視為一種社會(huì)性的語(yǔ)言游戲，并將其與具體情境下語(yǔ)言的實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)，從而拓展了數(shù)學(xué)的論域。數(shù)學(xué)不再僅僅是數(shù)學(xué)家們苦苦尋找的“亞特蘭蒂斯”，而是與社會(huì)和生活密切相關(guān)的一部分。盡管維特根斯坦激進(jìn)的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)與主流數(shù)學(xué)研究有所偏離，引發(fā)了諸多質(zhì)疑。如，拉姆塞（Frank Ramsey）認(rèn)為維特根斯坦的論證方式僅適用于簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)命題的證明；圖靈（Alan Turing）則批評(píng)維特根斯坦過(guò)分強(qiáng)調(diào)規(guī)則的自明性，忽視了數(shù)學(xué)和邏輯本身的客觀性和精確性。然而，維特根斯坦獨(dú)特的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)不僅深化了我們對(duì)數(shù)學(xué)的理解，還挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀念，這為我們?cè)谛碌臄?shù)學(xué)研究中提供了寶貴的啟示。

其一，數(shù)學(xué)完全是人類社會(huì)的產(chǎn)物，是人類文化的一部分。任何試圖將數(shù)學(xué)形式化、機(jī)械化的做法都是不可取的，它將指向一種數(shù)學(xué)非人化的特征，即數(shù)學(xué)不再受人類活動(dòng)影響。如龐加萊（Jules Henri Poincaré）指出，如果數(shù)學(xué)僅由重復(fù)性的過(guò)程組成，那么人類從一開始就與真正新奇的事物無(wú)緣了，因?yàn)橛?jì)算機(jī)完全可以取代這項(xiàng)工作^［10］。維特根斯坦認(rèn)為，遵守規(guī)則是人類的一種實(shí)踐活動(dòng)，而這一過(guò)程也沒(méi)有神秘之處，只是按照規(guī)則從一個(gè)命題推導(dǎo)至另一個(gè)命題^{［11］143-144}，而這一觀點(diǎn)似乎表明數(shù)學(xué)僅是遵守規(guī)則的活動(dòng)。就此而言，純粹遵循規(guī)則本身就是一種形式化活動(dòng)，那么用機(jī)器來(lái)代替人類也是可能的？實(shí)際上，維特根斯坦強(qiáng)調(diào)不能“盲目地”遵守規(guī)則，規(guī)則只有在社會(huì)實(shí)踐中才具有意義，就如同名稱只有置于命題之中才能談?wù)撈湟饬x。換言之，實(shí)踐是規(guī)范地遵守規(guī)則的前提。盡管機(jī)器可以按照預(yù)先設(shè)定的程序執(zhí)行，表面上是一種遵守規(guī)則的行為，但它們無(wú)法證明自己使用規(guī)則的合理性，也無(wú)法在特定情況下發(fā)展和解釋規(guī)則。因此，在數(shù)學(xué)語(yǔ)言游戲中，遵守規(guī)則是基于特定原因和目的的行為，而擁有這種意志和目的的只能是人類。

其二，數(shù)學(xué)的清晰，離不開語(yǔ)法問(wèn)題的消解。數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)不表達(dá)任何東西，數(shù)學(xué)命題也不陳述任何事實(shí)，它們僅為我們提供一種語(yǔ)言結(jié)構(gòu)。這種語(yǔ)言結(jié)構(gòu)不是先天存在的，它不依賴于任何現(xiàn)有的數(shù)學(xué)實(shí)在。因而，這是一種推導(dǎo)、建構(gòu)過(guò)程，而不是陳述過(guò)程。在此過(guò)程中，概念是逐漸形成或確定的，而不是被發(fā)現(xiàn)的。維特根斯坦認(rèn)為，我們應(yīng)該避免問(wèn)“xxx是什么？”這類語(yǔ)法問(wèn)題，因這類問(wèn)題可能會(huì)誤導(dǎo)我們認(rèn)為事物之間存在共同的本質(zhì)，就像認(rèn)為存在某種絕對(duì)的物理測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)一樣。數(shù)學(xué)家們接受數(shù)學(xué)具有共同本質(zhì)，并將其作為一勞永逸的解答，由此落入形而上學(xué)的陷阱之中。而哲學(xué)家的工作在于澄清這一誤區(qū)，消解語(yǔ)法問(wèn)題，引導(dǎo)受形而上學(xué)影響的人走出困境。正如維特根斯坦所述：“哲學(xué)的清晰對(duì)數(shù)學(xué)成長(zhǎng)的影響與陽(yáng)光對(duì)土豆嫩枝生長(zhǎng)的影響是同樣的（在陰暗的地窖中它們會(huì)長(zhǎng)數(shù)米長(zhǎng)）?！?sup>［8^］110但哲學(xué)絕不干涉語(yǔ)言的實(shí)際使用，它最終只能描述它。就像在《哲學(xué)研究》中提到的：“哲學(xué)恰恰只是將一切擺放在那里，它不解釋任何東西而且不推導(dǎo)出任何東西。因?yàn)橐磺芯呀?jīng)公開地?cái)[放在那里了，也沒(méi)有什么要解釋的?！?sup>［11^］91就此而言，哲學(xué)讓一切保持原樣，同樣，它也讓數(shù)學(xué)是其所是。

其三，數(shù)學(xué)的發(fā)展在主體的自主性與規(guī)則約束之間存在張力。一方面，數(shù)學(xué)探索具有高度創(chuàng)造性和自由度。數(shù)學(xué)家是發(fā)明者，而非發(fā)現(xiàn)者，沒(méi)在任何外在因素迫使他們以特定的方式發(fā)展數(shù)學(xué)。另一方面，數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，我們總是受到某些東西的引導(dǎo)，這些東西就是已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的社會(huì)實(shí)踐和語(yǔ)言游戲。因此，我們確實(shí)是朝著某些方向發(fā)展數(shù)學(xué)的，但這些方向又完全是主體自主的選擇，因?yàn)閿?shù)學(xué)的意義完全取決于我們對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言游戲的語(yǔ)法規(guī)則的實(shí)踐使用情況。也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)中，只有作為主體的“人”才能建構(gòu)出新的數(shù)學(xué)規(guī)則，而這些新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言規(guī)則在實(shí)踐活動(dòng)中不斷形成，并且不斷沖擊著舊規(guī)則的概念范疇，最終使得數(shù)學(xué)得以發(fā)展。這種主體的自主性與規(guī)則約束之間的張力在維特根斯坦的早期著作《邏輯哲學(xué)論》中已經(jīng)初見端倪。維特根斯坦認(rèn)為，雖然書中已經(jīng)清晰地闡明了能夠表達(dá)的命題，但更重要的是那些不可言說(shuō)的命題。人們總是嘗試說(shuō)出一些不可言說(shuō)的命題，如倫理命題、邏輯命題等，正是對(duì)這些命題的言說(shuō)不斷沖擊著我們現(xiàn)有的語(yǔ)言邊界，才使得我們語(yǔ)言的邊界能夠發(fā)生變化。

綜上所述，維特根斯坦的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想是極具啟發(fā)的。他通過(guò)深入研究數(shù)學(xué)語(yǔ)言游戲，不僅揭示了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，還將數(shù)學(xué)的意義置于更廣泛的社會(huì)背景中。在這個(gè)背景下，數(shù)學(xué)不再僅僅是抽象的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，而是與經(jīng)濟(jì)、政治、科學(xué)以及文化多樣性密切交織在一起，反映和影響著人類社會(huì)的各個(gè)方面。

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［10］ POINCAR" J H.Mathematical Creation［J］.The Monist，1910，3：321-335.

［11］ 維特根斯坦.維特根斯坦文集：第4卷［M］.韓林合，譯.北京：商務(wù)印書館，2019.

［責(zé)任編輯：范 君］