二次函數(shù)圖象的“生長”教學(xué)

函數(shù)是刻畫實(shí)際問題中變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生要能在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，研究具體的函數(shù)及性質(zhì)，借助函數(shù)的知識(shí)和方法解決問題，在操作層面認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)。函數(shù)圖象和性質(zhì)是函數(shù)研究的主要內(nèi)容。通過對函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究，從數(shù)量和圖形兩個(gè)角度及其相互聯(lián)系中，顯示出函數(shù)的本質(zhì)特征是數(shù)形聯(lián)系和變化，這也是函數(shù)教學(xué)的主線。下面，以“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的第二課時(shí)內(nèi)容為例試作探討。

一、學(xué)情分析

教材是課堂教學(xué)的起點(diǎn)，教師需要在充分研讀教材的前提下做好教學(xué)設(shè)計(jì)。從教材的安排上來看，二次函數(shù)的圖象是初中階段學(xué)生接觸的最后一個(gè)函數(shù)圖象，也是初中階段非常重要的函數(shù)內(nèi)容。學(xué)生在知識(shí)的儲(chǔ)備上已經(jīng)具有了對部分函數(shù)圖象探究的能力，掌握了“列表、描點(diǎn)、連線”的圖象探究基本方法。在第一課時(shí)，學(xué)生對于形如y=ax2的圖象進(jìn)行了研究，掌握了從對稱性、頂點(diǎn)、變化趨勢、最值等方面來探究二次函數(shù)圖象的方法。本節(jié)課的學(xué)習(xí)不僅是函數(shù)知識(shí)的自然延伸，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生探究函數(shù)圖象的方法應(yīng)用能力。

二、課例設(shè)計(jì)

課前準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)y=ax2（a[≠]0）的函數(shù)圖象性質(zhì)。

活動(dòng)1 自主探究：畫出二次函數(shù)y=x2+（ ）的圖象。

觀察表中所填數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）在平面直角坐標(biāo)系中描出表中各點(diǎn)，并把這些點(diǎn)連成平滑的曲線。

（3）歸納：二次函數(shù)y=ax2+k的圖象性質(zhì)。

【設(shè)計(jì)思路】二次函數(shù)圖象的研究始于最簡單的“y=x2”，在此基礎(chǔ)上教師提問：“比前面一節(jié)課稍微復(fù)雜一點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式可以是什么樣的？”自然引入到新課的教學(xué)中。這樣的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，拓展了學(xué)生對二次函數(shù)的研究空間，發(fā)展和完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在新函數(shù)圖象的研究中，以留空的形式讓學(xué)生自主選擇一個(gè)喜歡的常數(shù)，起到了低起點(diǎn)、激興趣的作用。

在學(xué)生通過自主探究畫出函數(shù)y=ax2+k的圖象后，教師在課堂上給予積極的引導(dǎo)：“既然兩種圖象可以通過上下平移得到，那么在平移的過程中圖象的性質(zhì)哪些發(fā)生了變化，哪些沒變？”引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形變化從二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向、對稱軸、增減性、最值等方面理解因“形”變而導(dǎo)致的性質(zhì)變化，同時(shí)再從“數(shù)”的角度進(jìn)行合理的代數(shù)推理。

在活動(dòng)1的自主探究和性質(zhì)歸納后，教師應(yīng)放手讓學(xué)生進(jìn)入活動(dòng)2的環(huán)節(jié)。

活動(dòng)2 列表、描點(diǎn)、畫出y=x2與y=（x+ ）2的圖象，并觀察圖象之間的關(guān)系。

通過探究，歸納：二次函數(shù)y=a（x+h）2的圖象性質(zhì)。

活動(dòng)3 函數(shù) y=-（x-1）2+2的圖象有什么性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)思路】經(jīng)過活動(dòng)1之后，學(xué)生自然會(huì)想到圖象既然有上下平移變化，那可否進(jìn)行左右平移呢？活動(dòng)2的設(shè)計(jì)演變成學(xué)生對新的猜想的驗(yàn)證。在活動(dòng)2的基礎(chǔ)上，學(xué)生探究出二次函數(shù)圖象的上下、左右平移變換，隨后聯(lián)想將兩種平移變換聯(lián)系到一起?；顒?dòng)3既是學(xué)生對知識(shí)的整合延伸，也可視作對活動(dòng)1和活動(dòng)2探究經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果反饋，從而依托“平移”的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的基本特征。

三、教學(xué)反思

當(dāng)前的課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)可能過于依賴教師的視角，未能充分激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考。改進(jìn)建議包括：設(shè)計(jì)更具開放性的問題，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維，鼓勵(lì)他們從多角度探索問題；安排小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在小組內(nèi)分享各自獨(dú)特的見解，從而拓寬他們的視野；通過小組合作學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生之間的思想碰撞，使他們能夠從同伴那里獲得靈感。

對于學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，教師需要提供更加個(gè)性化的關(guān)注和支持。改進(jìn)建議包括：設(shè)計(jì)分層次的任務(wù)，確保學(xué)生在自己的能力范圍內(nèi)參與并取得進(jìn)步；定期進(jìn)行一對一輔導(dǎo)，幫助這些學(xué)生克服學(xué)習(xí)障礙，增強(qiáng)他們的自信心；營造鼓勵(lì)提問的氛圍，耐心解答他們的疑惑，確保他們能夠跟上教學(xué)進(jìn)度；定期評估學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，根據(jù)反饋及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，以滿足他們的特定需求。

對于課堂知識(shí)容量，教師需要細(xì)致地規(guī)劃教學(xué)內(nèi)容，避免信息過載。改進(jìn)建議包括：合理分配教學(xué)內(nèi)容，確保學(xué)生有足夠的時(shí)間吸收和理解；穿插互動(dòng)環(huán)節(jié)，如小組討論和問題解答，以促進(jìn)學(xué)生的積極參與和知識(shí)內(nèi)化；設(shè)計(jì)簡短頻繁的課堂測驗(yàn)，幫助學(xué)生及時(shí)鞏固知識(shí)；提供課后學(xué)習(xí)資源，如在線教程和練習(xí)題，鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)從操作層面研究函數(shù)，以及從“數(shù)”和“形”的角度刻畫函數(shù)性質(zhì)。改進(jìn)建議包括：利用實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)，使抽象概念具體化，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受；鼓勵(lì)學(xué)生通過圖形和數(shù)據(jù)來觀察函數(shù)的變化，從而更深刻地把握函數(shù)的本質(zhì)；在課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納和總結(jié)，幫助他們構(gòu)建對函數(shù)性質(zhì)的全面理解。

（作者單位：江蘇省南京市攝山初級中學(xué)）