離散組裝八面體超材料設(shè)計(jì)與性能調(diào)控

摘要：

為解決八面體超材料大規(guī)模應(yīng)用受制備工藝限制的問題，提出了一種八面體超材料離散組裝設(shè)計(jì)與性能調(diào)控方法。首先將傳統(tǒng)三維八面體超材料分解為二維模塊化片體結(jié)構(gòu)，采用穩(wěn)定、易拆裝的螺栓連接方式組裝成三維八面體超材料及周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，并推導(dǎo)了離散組裝設(shè)計(jì)模型的參數(shù)化形式。然后分析了模塊化片體結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性，采用有限元分析方法驗(yàn)證了離散組裝模型的力學(xué)性能。最后，提出了基于數(shù)字編碼思想的三階魔方排布性能調(diào)控方法，對(duì)離散組裝八面體超材料正交方向的性能差異進(jìn)行了優(yōu)化。研究結(jié)果表明，基于螺栓連接的離散組裝設(shè)計(jì)豐富了八面體超材料的制造和擴(kuò)展形式，三階魔方調(diào)控模型效解決了離散組裝設(shè)計(jì)帶來的性能偏差，為八面體超材料的低成本制造和大規(guī)模應(yīng)用提供了創(chuàng)新解決方案。

關(guān)鍵詞：八面體超材料；離散組裝；性能調(diào)控；數(shù)字編碼；有限元仿真

中圖分類號(hào)：TH122

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.12.020

Design and Performance Regulation of Discretely Assembled

Octahedral Metamaterials

FU Junjian1，2，4 MENG Yonggen1 WU Haihua1 HU Huan3 LI Xiang1，2 ZHOU Xiangman1

1.College of Mechanical amp; Power Engineering，China Three Gorges University，Yichang，

Hubei，443002

2.Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery amp; Maintenance，Yichang，Hubei，443002

3.HXF Saw Co.，Ltd，Yichang，Hubei，443003

4.State Key Laboratory of Intelligent Manufacturing Equipment and Technology，Wuhan，430074

Abstract： To address the limitations imposed by manufacturing processes on the large-scale applications of octahedral metamaterials， a discrete assembly design and performance control method for octahedral metamaterials was proposed. Firstly， the traditional three-dimensional octahedral metamaterial was disassembled into two-dimensional modular units， which were assembled into three-dimensional octahedral metamaterials and periodically extended structures using stable and easily disassembled bolt connections， and a parametric form of the discrete assembly design model was derived. Secondly， the mechanics characteristics of the modular unit structure were analyzed， and finite element analysis was employed to verify the mechanics performance of the discrete assembly model. Finally， based on digital coding and employing a third-order Rubik’s Cube arrange cube array， a method for performance regulation was proposed to optimize the performance differences in the orthogonal directions of the discrete assembly octahedral metamaterials. The results demonstrate that the manufacturing and extension forms of octahedral metamaterials are enriched by the discrete assembly design facilitated by bolt connections. The performance deviation resulting from the discrete assembly design is effectively addressed by the third-order Rubik’s Cube model of regulation， providing an innovative solution for achieving low-cost manufacturing and facilitating the large-scale applications of octahedral metamaterials.

Key words： octahedral metamaterial; discrete assembly; performance regulation; digital encoding; finite element simulation

收稿日期：2024-01-25

基金項(xiàng)目：智能制造裝備與技術(shù)全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題（IMETKF2023016）

0 引言

機(jī)械超材料是一種輕質(zhì)、高強(qiáng)度、低密度的人工設(shè)計(jì)新型結(jié)構(gòu)材料［1-2］，大多數(shù)為周期性擴(kuò)展的多孔結(jié)構(gòu)［3-4］，具有負(fù)泊松比［5-7］、負(fù)剛度［8-10］、高比剛度［11-12］、負(fù)壓縮性［13-14］等超常的力學(xué)性能。八面體超材料屬于機(jī)械超材料的一種，其單胞是典型的拉伸主導(dǎo)型［15］，具有孔隙率高、結(jié)構(gòu)對(duì)稱的形狀特征，同時(shí)具有高強(qiáng)度、高比剛度的優(yōu)異性能，在航空、航天、汽車等領(lǐng)域具有極高的應(yīng)用價(jià)值。然而，八面體超材料周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型復(fù)雜，制備通常依賴于增材制造技術(shù)，制造成本極高，制備規(guī)模也受到設(shè)備的尺寸限制，導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)難以擴(kuò)展、實(shí)際應(yīng)用受限［16-18］，因此，亟需突破八面體超材料制備工藝的限制，以滿足更為廣泛的工程需求。

離散組裝設(shè)計(jì)為周期性機(jī)械超材料大規(guī)模應(yīng)用提供了解決方案［19］，目前機(jī)械超材料的離散組裝設(shè)計(jì)主要采用嵌鎖組裝（interlocking assembly）［20］和數(shù)字建造（digital fabrication）［21］的方法。嵌鎖組裝方法通常從結(jié)構(gòu)層面出發(fā)，通過設(shè)計(jì)與制備二維嵌片，利用嵌槽連接得到三維機(jī)械超材料。嵌鎖組裝的關(guān)鍵在于嵌片的設(shè)計(jì)，可通過改變嵌片結(jié)構(gòu)形式實(shí)現(xiàn)不同構(gòu)型的超材料制備。常見的嵌片結(jié)構(gòu)有多邊形片體形狀［22-23］、桁架形狀［24-25］ 、圓弧形狀［26］等。但是，嵌鎖組裝結(jié)構(gòu)的單胞之間一般有通用零件，且連接節(jié)點(diǎn)通常需采用焊接工藝進(jìn)行固定，導(dǎo)致組裝結(jié)構(gòu)的替換性不強(qiáng)。考慮到結(jié)構(gòu)單元的獨(dú)立性問題，有學(xué)者提出數(shù)字建造的方法［21］，從超材料單胞層面出發(fā)，通過制備離散單元來構(gòu)建擴(kuò)展結(jié)構(gòu)。主要可分為三種設(shè)計(jì)方法：可擴(kuò)展單胞結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［27］、半開放結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［28］、二維模塊化零件設(shè)計(jì)［29］。該方法的關(guān)鍵在于將超材料單胞分解成數(shù)量有限、易于加工的模塊化單元結(jié)構(gòu)，利用機(jī)械連接完成單胞的離散組裝，并通過功能性擴(kuò)展設(shè)計(jì)，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)空間結(jié)構(gòu)的制備以及結(jié)構(gòu)向機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)變［30-31］。因此，通過數(shù)字建造方法組裝的單胞，獨(dú)立性更強(qiáng)，結(jié)構(gòu)擴(kuò)展更加靈活，可利用其結(jié)構(gòu)特性和空間排布實(shí)現(xiàn)特定的功能性結(jié)構(gòu)。針對(duì)此類特征，有學(xué)者提出數(shù)字編碼超材料的方法［32-34］，將超材料的性能進(jìn)行數(shù)字編碼，通過超材料的空間狀態(tài)定義序列規(guī)則實(shí)現(xiàn)特定功能性結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，進(jìn)而簡(jiǎn)化超材料的功能結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程。例如，剛度可編程的齒輪機(jī)械超材料［35］、可編程的多形狀機(jī)械超材料［36］、基于二進(jìn)制編碼的機(jī)械超材料［37］等，通過將結(jié)構(gòu)功能特性研究轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型分析，以抽象化的編程方法實(shí)現(xiàn)特定的超材料功能。

針對(duì)八面體超材料的離散組裝設(shè)計(jì)，有學(xué)者提出采用桁架嵌片的嵌鎖方法［38］將線切割的兩種不同的桁架單元進(jìn)行卡扣組裝，實(shí)現(xiàn)八面體超材料的離散制備，并通過真空釬焊粘合嵌鎖節(jié)點(diǎn)。上述嵌鎖組裝方法為八面體超材料的制備提供了新途徑，但該方法制備的結(jié)構(gòu)難以實(shí)現(xiàn)可逆組裝，若能引入連接件，其制備或許會(huì)更加靈活?；诖?，有學(xué)者采用數(shù)字建造的方法，設(shè)計(jì)了模塊化十字形片體及其連接件，通過注塑工藝進(jìn)行制備，實(shí)現(xiàn)八面體超材料的可逆組裝［39］。此類離散組裝方法制備的結(jié)構(gòu)具備優(yōu)異的比剛度和比強(qiáng)度，且裝配工藝簡(jiǎn)單，但該類結(jié)構(gòu)的連接件不通用，單胞替換困難。為了優(yōu)化連接方式，有學(xué)者提出了緊固件連接的方法［27］，通過注塑工藝制備八面體超材料單胞，單胞之間通過螺栓連接完成擴(kuò)展。采用此種傳統(tǒng)機(jī)械連接方式，單胞的組裝更加可靠，但一體化注塑工藝存在金屬材料無法制備的問題，若能結(jié)合模塊化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)機(jī)械連接的優(yōu)勢(shì)，則有望實(shí)現(xiàn)制備更加簡(jiǎn)單、組裝更加靈活的離散組裝結(jié)構(gòu)，同時(shí)為將數(shù)字編碼思想融入機(jī)械超材料特定功能設(shè)計(jì)提供可能。

針對(duì)現(xiàn)有連接方式可靠性不高、替換性不強(qiáng)、未考慮離散組裝后性能出現(xiàn)差異的問題，本文提出了一種八面體超材料離散組裝設(shè)計(jì)與性能調(diào)控方法。通過模塊化分解設(shè)計(jì)了二維片體結(jié)構(gòu)，利用螺栓連接形成了離散組裝八面體超材料單胞及其周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，展開了數(shù)字編碼和三階魔方相結(jié)合的調(diào)控策略研究，實(shí)現(xiàn)了八面體超材料的離散組裝設(shè)計(jì)和性能調(diào)控。

1 八面體超材料離散組裝設(shè)計(jì)

1.1 八面體超材料的描述

八面體超材料單胞是由3個(gè)正方形組成的中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)，具有6個(gè)頂點(diǎn)，如圖1所示。圖中定義了該單胞及其組成片體的相關(guān)參數(shù)，描述了組成片體的基本尺寸和單胞的設(shè)計(jì)域尺寸，該單胞組成片體的體積如下：

V0=［12（l+2h）2-12（l-2w）2-4h2］s（1）

式中，V0為八面體超材料組成片體的體積；l為八面體超材料單胞和后續(xù)設(shè)計(jì)組裝單胞的外形尺寸，根據(jù)設(shè)計(jì)需求確定為常數(shù)；w為組成片體中與x、y軸平行的短邊厚度；h為組成片體外輪廓線延長(zhǎng)線與x、y軸相交構(gòu)成封閉三角形的高度，

其取值范圍為（0，l2）；s為組成片體的厚度，其取值范圍為（0，l3）。

通過合理近似，可取w=h，則上述體積公式進(jìn)一步簡(jiǎn)化如下：

V0=4（2l-h）hs（2）

因此，八面體超材料的相對(duì)密度ρ-由設(shè)計(jì)單胞體積與固體體積之比得出：

ρ-=3V0l3=12（2l-h）hsl3（3）

由式（3）可知，八面體超材料單胞相對(duì)密度可通過改變參數(shù)h和s來進(jìn)行調(diào)控。此外，多個(gè)單胞之間通過頂點(diǎn)進(jìn)行連接，形成周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，如圖2所示。此類結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型復(fù)雜，導(dǎo)致傳統(tǒng)工藝難以加工。

1.2 離散組裝設(shè)計(jì)與周期性擴(kuò)展

為了解決八面體超材料由于拓?fù)錁?gòu)型復(fù)雜難以制備的問題，本文進(jìn)行了八面體超材料單胞的離散組裝設(shè)計(jì)，如圖3所示。

首先，分析八面體超材料的構(gòu)型（圖3a），引入數(shù)字建造的設(shè)計(jì)思想，通過片體縮放、改變構(gòu)型角度的方法，設(shè)計(jì)了可離散分解的八面體超材料骨架，如圖3b所示，該骨架的線條在配合處均保持一定的距離d，實(shí)現(xiàn)離散分解結(jié)構(gòu)的間隙配合。基于此骨架設(shè)計(jì)了具有可組裝的八面體超材料單胞，如圖3c所示。

其次，引入離散組裝的思想，將八面體超材料單胞（圖3c）分解為3類構(gòu)型簡(jiǎn)單且易于加工的模塊化片體，后面統(tǒng)一簡(jiǎn)稱為片體，如圖3d所示，包括小尺寸正方形片體A、菱形片體B、大尺寸正方形片體C，后文統(tǒng)一簡(jiǎn)稱3類片體分別為片體A、片體B、片體C。采用零間隙配合設(shè)計(jì)，通過設(shè)計(jì)兩個(gè)零件的尺寸，使它們?cè)谘b配時(shí)沒有間隙，形成緊密的連接。模塊化片體的零間隙配合設(shè)計(jì)過程如下：片體A外部輪廓的水平尺寸和豎直尺寸均設(shè)定為l-2d，片體B的內(nèi)部輪廓豎直尺寸和外部輪廓水平尺寸均設(shè)定為l-2d，片體C內(nèi)部輪廓的水平尺寸和豎直尺寸均設(shè)定為l-2d。基于此，可實(shí)現(xiàn)三類片體內(nèi)外輪廓對(duì)應(yīng)拼接，如圖3e所示。在3類片體上設(shè)置安裝孔，通過短螺栓緊固連接形成八面體超材料組裝單胞，如圖3f所示。

最后，通過長(zhǎng)螺釘連接多個(gè)八面體超材料組裝單胞，可實(shí)現(xiàn)組裝單胞的周期性擴(kuò)展，如圖4所示。通過嚴(yán)絲合縫的片體拼接設(shè)計(jì)，有效實(shí)現(xiàn)了組裝結(jié)

構(gòu)的模型創(chuàng)建和實(shí)物搭建。同時(shí)，采用螺栓連接片體的組裝形式，大大降低了制造成本，豐富了八面體超材料周期性擴(kuò)展形式。

1.3 離散組裝單胞的參數(shù)化表示

為了有效控制組裝單胞的體積分?jǐn)?shù)，圖5定義了離散組裝八面體超材料及其片體的相關(guān)參數(shù)，描述了片體A、B、C的基本尺寸和組裝單胞的設(shè)計(jì)域尺寸。片體A、C的外形呈正方形，但尺寸不同，片體C的尺寸稍大，而片體B的外形呈一般菱形，即α2gt;π4，β2lt;π4。由此得出片體A、B、C的體積如下：

VA=［（l-2w+2h）2-（l-2w）2］s（4）

VB=［（l-2w+2h1）（l+2h1）-（l-2w）l］s（5）

VC=［（l+2h）2-l2］s（6）

式中，h1為在片體B中與x、y軸平行的短邊寬度的1/2。

通過合理近似，取w=h，h1≈h，則片體A、B、C的體積進(jìn)一步化簡(jiǎn)如下：

VA=12［l2-（l-2w）2］s（7）

VB=12［l（l+2w）-（l-2w）l］s（8）

VC=12［（l+2w）2-l2］s（9）

分析離散組裝八面體超材料的幾何特征可知，若不考慮機(jī)械連接，其相對(duì)密度ρ-由設(shè)計(jì)單胞體積與固體體積之比得出：

ρ-=VA+VB+VCl3=6wsl3（10）

離散片體的連桿寬度t與短邊厚度w關(guān)系為w=2t，則相對(duì)密度ρ-可表示為

ρ-=62tsl3（11）

綜上，由式（10）、式（11）可知，離散組裝八面體超材料的相對(duì)密度可通過改變s和w（或t）等參數(shù)來進(jìn)行調(diào)控。

2 離散組裝模型受力分析

為了描述離散組裝結(jié)構(gòu)的力學(xué)特征，基于剛體的靜平衡理論，分析了3類片體的結(jié)構(gòu)承載特性。具體分析過程如下：針對(duì)圖6所示的三類片體，分別沿兩個(gè)承載方向施加外部負(fù)載，即沿X方向和Y方向施加力Fxi和Fyi（其中，i取A、B、C，表示片體A、B、C），通過靜平衡分析來對(duì)比三類片體的承載能力。

當(dāng)外部載荷為Fyi時(shí)，F(xiàn)1=F2=Fyi2sin βj，F(xiàn)xi=Fyitan βj（j=1，2，3），則對(duì)于三類片體，取相同Y方向載荷Fyi=Fy時(shí)，有

FxA=FxC=Fygt;FxB（12）

當(dāng)外部載荷為Fxi時(shí)，F(xiàn)1=F2=Fxi2cos βj，F(xiàn)yi=Fxitan βj，則對(duì)于三類片體，

取相同X方向載荷Fxi=Fx時(shí)，有

FyA=FyC=Fxlt;FyB（13）

其中，β1、β2、β3分別為三種片體的構(gòu)型角，記為βj，β1=β3=π4lt;β2，即tan β2gt;1。

由上述分析可知，片體A、C的構(gòu)型一致，二者在X軸和Y軸承載方向上表現(xiàn)出來的力學(xué)特性基本一致。對(duì)于片體B，由于內(nèi)角的差異設(shè)計(jì)，出現(xiàn)了承載性能差異，該片體沿Y軸方向的承載性能增強(qiáng)，沿X軸方向的承載性能減弱。

為了研究片體B的性能差異對(duì)組裝結(jié)構(gòu)的影響，分別沿組裝單胞X、Y、Z方向施加外部負(fù)載2F，如圖7所示，通過靜平衡條件來判斷三個(gè)方向的承載狀態(tài)。以沿X方向施加外部載荷為例，將外部負(fù)載直接作用下的兩個(gè)片體B、C視為受力塊體，可將每一個(gè)受力片體視為四個(gè)二力桿，由于二力桿件處于平衡狀態(tài)，由力的平衡可知，桿件兩端所受的合力方向相反，力的大小相等，基于此得出片體B、C的作用力如圖7a所示，且具有向外運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)。

同理，得到沿Y方向、Z方向施加外部載荷時(shí)相應(yīng)的受力片體的作用力和運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，如圖7b、圖7c所示，其相應(yīng)的受力片體均具有向外的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。根據(jù)式（12）、式（13）對(duì)三個(gè)方向載荷作用下的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)強(qiáng)弱分析如下。

沿單胞X軸方向施加負(fù)載時(shí)，片體B、C通過螺栓連接作用于片體A，對(duì)片體A的作用力分別記為FBA和FCA，方向朝外，如圖7d所示，此狀態(tài)下，片體A充當(dāng)平衡片體，記為平衡片體A，則

FX-Z=FBA=F（14）

FX-Y=FCA=Ftan β2gt;F（15）

式中，F(xiàn)X-Z、FX-Y分別為負(fù)載沿X方向時(shí)，片體A沿Z方向和Y方向所需的平衡力的大小。

沿單胞Y方向施加負(fù)載時(shí)，片體A、C通過螺栓連接作用于片體B，對(duì)片體B的作用力分別記為FAB和FCB，方向朝外，如圖7e所示，此狀態(tài)下，片體B充當(dāng)平衡片體，記為平衡片體B，則

FY-X=FCB=F（16）

FY-Z=FAB=F（17）

式中，F(xiàn)Y-X、FY-Z分別為負(fù)載沿Y方向時(shí)，片體A沿X方向和Z方向所需的平衡力的大小。

沿單胞Z方向施加負(fù)載時(shí)，片體A、B通過螺栓連接作用于片體C，對(duì)片體C的作用力分別記為FAC和FBC，方向朝外，如圖7f所示，此狀態(tài)下，片體C充當(dāng)平衡片體，記為平衡片體C，則

FZ-Y=FBC=F（18）

FZ-X=FAC=Ftan β2lt;F（19）

式中，F(xiàn)Z-Y、FZ-X分別為負(fù)載沿Z方向時(shí)，片體A沿Y方向和X方向所需的平衡力的大小。

基于上述分析，在不同邊界條件作用下，組裝單胞對(duì)應(yīng)平衡片體的力學(xué)分析結(jié)果如圖8所示，負(fù)載沿單胞X方向施加時(shí)，所對(duì)應(yīng)的平衡片體A在連接處需要提供兩對(duì)平衡力，大小分別為FX-Z=F、FX-Ygt;F，如圖8a所示。負(fù)載沿單胞Y方向施加時(shí)，所對(duì)應(yīng)的平衡片體B在連接處需要提供兩對(duì)平衡力，大小分別為FY-X=F、FY-Z=F，如圖8b所示。負(fù)載沿單胞Z方向施加時(shí)，所對(duì)應(yīng)的平衡片體C在連接處需要提供兩對(duì)平衡力，大小分別為FZ-Y=F、FZ-Xlt;F，如圖8c所示。此外，在傳統(tǒng)單胞結(jié)構(gòu)中，由于其結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，沿任意軸向，

其受力情況均與組裝單胞沿Y方向施加負(fù)載一致，在連接點(diǎn)平衡力的大小均為F，且方向一致，如圖8d所示。

綜上，外部負(fù)載作用下，對(duì)于組裝單胞X、Y、Z三個(gè)軸向，其對(duì)應(yīng)平衡片體所需平衡力FZlt;FYlt;FX，其承載能力強(qiáng)弱關(guān)系為PXlt;PYlt;PZ。同時(shí)，由于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)沿各軸向的平衡狀態(tài)與組裝單胞沿Y軸向的平衡狀態(tài)相似，其平衡狀態(tài)下平衡片體的受力狀態(tài)基本一致，故二者的承載能力相近，因此，八面體超材料傳統(tǒng)單胞和組裝單胞三個(gè)軸向的承載能力強(qiáng)弱關(guān)系為PX＜PY（與傳統(tǒng)單胞近似）＜PZ。

3 離散組裝模型有限元分析

為了驗(yàn)證上述理論分析的正確性，分別對(duì)八面體超材料傳統(tǒng)單胞、組裝單胞及二者的周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析。結(jié)構(gòu)材料設(shè)置為PLA，具體材料屬性如下：泊松比 0.3，密度1200 kg/m3，彈性模量2751 MPa［40］，后續(xù)仿真材料與其保持一致。保持上述單胞相同體積分?jǐn)?shù)約為3%，單胞的最大外形尺寸取60 mm，其余參數(shù)由式（3）、式（10）和式（11）確定。

仿真邊界條件如圖9所示。對(duì)于單胞而言，下邊界施加固定約束，上邊界施加下壓位移約束（u=0.6 mm），如圖9a、圖9b所示。針對(duì)組裝單胞的承載能力強(qiáng)弱理論分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證性仿真分析，求解壓縮過程中的等效載荷F*，沿組裝單胞X方向、Y方向、Z方向以及八面體超材料單胞任意軸向（Z軸）施加位移約束時(shí)，壓縮過程中的等效載荷分別記為F*X、F*Y、F*Z、F*oct，通過對(duì)比上述等效載荷的大小關(guān)系來驗(yàn)證理論

分析的正確性。

八面體超材料組裝結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)仿真對(duì)比如圖10所示，離散組裝八面體超材料分別沿X、Y、Z方向進(jìn)行軸向壓縮仿真的等效負(fù)載關(guān)系為F*Xlt;F*Ylt;F*octlt;F*Z，說明仿真結(jié)果與理論分析有一定的差異，主要體現(xiàn)在組裝結(jié)構(gòu)的整體性能略微下降。

對(duì)于周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)而言，如圖9c所示，下邊界施加固定約束，上邊界施加位移約束u=0.6L，L=0.6n，n取整數(shù)。通過下式求解周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的等效彈性模量［41］：

E*=F*nLAu（20）

式中，F(xiàn)*n為施加在n階周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)端面上的等效負(fù)載；L為周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的等效高度；A為周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的等效橫截面積，A=L2；u為兩受力點(diǎn)的相對(duì)位移。

進(jìn)一步在擴(kuò)展結(jié)構(gòu)中對(duì)承載能力強(qiáng)弱理論分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證性仿真分析。分別對(duì)八面體超材料的周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)和離散組裝八面體超材料周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的X、Y、Z三個(gè)方向進(jìn)行壓縮仿真分析，結(jié)果如圖11所示。組裝結(jié)構(gòu)分別沿X、Y、Z方向進(jìn)行軸向壓縮仿真的等效彈性模量關(guān)系為E*X-nlt;E*Y-nlt;E*oct-nlt;E*Z-n。其中，E*oct-n表示傳統(tǒng)單胞n階周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的等效彈性模量，E*X-n表示負(fù)載沿X方向時(shí)，組裝單胞n階周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的等效彈性模量。E*Y-n、E*Z-n命名同理。

上述結(jié)果表明，沿組裝結(jié)構(gòu)三個(gè)軸向的承載能力由弱到強(qiáng)順序?yàn)镻Xlt;PYlt;PZ，與理論分析結(jié)果一致。由于組裝工藝導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的整體性能有所下降，體現(xiàn)在組裝結(jié)構(gòu)的Y軸方向上，與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)相比，組裝結(jié)構(gòu)的承載能力下降了約8%。

4 離散組裝八面體超材料性能調(diào)控

為了調(diào)控八面體超材料組裝結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的性能差異，本文基于數(shù)字編碼和排列組合的思想搭建了組裝結(jié)構(gòu)的性能調(diào)控模型，進(jìn)行組裝結(jié)構(gòu)的性能差異調(diào)控。

4.1 離散組裝單胞的數(shù)字編碼

為了實(shí)現(xiàn)組裝單胞的等效描述，簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)問題，采用魔方塊將組裝單胞標(biāo)定與編碼，如圖12所示。魔方塊體積表示組裝單胞的設(shè)計(jì)域大小，將組裝單胞X、Y、Z三個(gè)軸向編碼為-1，0，1，對(duì)應(yīng)表示減弱、保持、增強(qiáng)三種狀態(tài)。

為了等效描述組裝單胞的擴(kuò)展過程，其單胞間的連接用魔方塊的鄰接來簡(jiǎn)化表示（圖13）。如圖13c所示，在空間排布中，魔方塊具有三種異軸鄰接的連接方式：［-1，0］、［-1，1］、［0，1］，對(duì)應(yīng)描述組裝單胞沿不同軸向連接的三種形式：［X，Y］、［X，Z］、［Y，Z］。此外，魔方塊還具有三種同軸鄰接的連接方式，分別沿其X、Y、Z軸進(jìn)行鄰接，可形成魔方塊組X、Y、Z，如圖13d所示。例如，若組裝單胞按圖13a中的X、Y、Z三個(gè)方向進(jìn)行點(diǎn)陣，得到3×3×3排布的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，如圖13f所示。通過魔方塊簡(jiǎn)化表示可得到3階魔方，如圖13e所示。在此魔方的X、Y、Z三個(gè)軸向，也可視為如圖13f所示同軸連接的魔方塊組X、Y、Z進(jìn)行3×3陣列獲得。

類似于積木搭建，組裝單胞空間排布的過程中，其單胞之間的連接具有一定的隨機(jī)性，分析過程抽象且復(fù)雜，因此，需要進(jìn)一步將組裝單胞的擴(kuò)展過程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，實(shí)現(xiàn)組合排列問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，以便更加客觀地分析此類隨機(jī)性問題。

根據(jù)上述簡(jiǎn)化標(biāo)定，實(shí)現(xiàn)了單胞空間狀態(tài)的數(shù)學(xué)描述，

如圖 14a所示，在魔方框架中的全局坐標(biāo)系下，魔方塊自身的3個(gè)朝向可視為局部坐標(biāo)系，其軸向排布狀態(tài)用 XRC、YRC、ZRC進(jìn)行標(biāo)定，表示沿著某一個(gè)方向，魔方塊局部坐標(biāo)系中的XRC、YRC、ZRC方向沿著全局坐標(biāo)系中X、Y、Z某一個(gè)軸向方向的數(shù)量，例如，在圖13e的魔方中，沿著全局坐標(biāo)系中Z軸方向，每一層ZRC的數(shù)量為9，整個(gè)魔方中ZRC的數(shù)量為27，通過此類標(biāo)定，將組裝單胞的排布問題轉(zhuǎn)化為平面數(shù)組的尋優(yōu)問題，如圖14b～圖14d所示。組裝單胞的空間狀態(tài)在對(duì)應(yīng)的3個(gè)平面數(shù)組中等效表示為X（k）（y，z）、Y（k）（x，z）和Z（k）（x，y），三者均可取值1、0、-1，但具有一定的約束關(guān)系：

X（k）（y，z）+Y（k）（x，z）+Z（k）（x，y）=0（21）

其中，X、Y、Z分別表示魔方排布框架中全局坐標(biāo)系的三軸朝向，上標(biāo)k表示沿X、Y、Z朝向?qū)?yīng)Y-Z、X-Z、X-Y平面的層級(jí)，k取值1，2，3，下標(biāo)（y， z）表示Y-Z面中的特定位置，（x， z）、（x， y）同理。例如，圖14a所示位置排布的魔方塊空間狀態(tài)待定，當(dāng)沿Z軸方向的Z（2）（2，2）取1時(shí)，Y（2）（2，2）可取值0或-1，若Y（2）（2，2）取值0，則X（2）（2，2）=-1；若Y（2）（2，2）取值-1，則 X（2）（2，2）=0。因此，對(duì)于三階模型的平面數(shù)組，∑X（k）（y，z）、∑Y（k）（x，z）、∑Z（k）（x，y）的取值范圍均為［-27 ，27］。

4.2 基于三階魔方的調(diào)控模型

為了調(diào)控組裝結(jié)構(gòu)的軸向性能差異，基于上述魔方塊的簡(jiǎn)化表示方法，結(jié)合空間排布來搭建性能調(diào)控模型。由于組裝單胞三軸向的性能差異至少需要搭建三階擴(kuò)展結(jié)構(gòu)才能實(shí)現(xiàn)單胞不同狀態(tài)的均勻分布，因此，本文設(shè)計(jì)的承載性能調(diào)控框架為3×3×3形式的三階魔方編碼空間，包含27個(gè)塊體，用于表示待引入的組裝單胞的空間點(diǎn)位，如圖15所示，綠色塊體在Z方向上具有增強(qiáng)、保持、減弱3種布局形式。

以同軸排布的三階點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)為例，沿X、Y、Z軸分別僅布局減弱、保持、增強(qiáng)的單胞狀態(tài)，對(duì)應(yīng)用魔方塊進(jìn)行簡(jiǎn)化表示，如圖15b所示。在該調(diào)控結(jié)構(gòu)中，沿X、Y、Z軸分層的單胞排布狀態(tài)可分別用全為-1、0、3的3×3平面數(shù)組進(jìn)行描述，如圖15c所示。綜上，同軸排布的三階點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)分別沿X、Y、Z軸對(duì)應(yīng)的3層數(shù)組求和分別為-27、0、27，對(duì)應(yīng)表示性能最優(yōu)、與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)相近、性能最弱三種極端屬性狀態(tài)。由于軸向差異調(diào)控結(jié)構(gòu)搭建的關(guān)鍵在于構(gòu)建組裝單胞狀態(tài)均勻分布的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，即在調(diào)控框架中滿足∑X（k）（y，z）=∑Y（k）（x，z）=∑Z（k）（x，y）=0，得出相應(yīng)的單胞排列組合。綜上，基于三階魔方的調(diào)控框架，分5個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)調(diào)控模型的創(chuàng)建。

（1）構(gòu)建三階魔方，即搭建八面體的三階周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，將三階魔方視為一個(gè)整體，即三階周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)視為一個(gè)單胞集。

（2）組裝單胞在排列組合的過程中，需要保證在周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)中沿著三個(gè)軸向所包含的單胞朝向數(shù)量均等，即在圖14a中的分別沿著X、Y、Z方向所在平面上的XRC、YRC、ZRC的數(shù)量均等，以確保在魔方構(gòu)型中實(shí)現(xiàn)單胞的三個(gè)軸向狀態(tài)分布均勻，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)軸向性能差異的優(yōu)化。

（3）采用魔方塊的簡(jiǎn)化表示來求解步驟（2）的排列組合，即本文將XRC、YRC、ZRC朝向的狀態(tài)用數(shù)字-1，0，1進(jìn)行表示。因此，求解魔方（圖14a）全局坐標(biāo)系下的X、Y、Z軸方向所在平面（圖14b～圖14d）數(shù)組總和∑X（k）（y，z）、∑Y（k）（x，z）、∑Z（k）（x，y），通過約束∑X（k）（y，z）=∑Y（k）（x，z）=∑Z（k）（x，y）=0，得到離散組裝八面體超材料的布局優(yōu)化等效模型。

（4）考慮工藝因素，為了便于組裝，本文構(gòu)建了同軸向鄰接的魔方塊組圖（圖13f），并按照對(duì)稱設(shè)計(jì)的思路構(gòu)建了優(yōu)化模型。具體過程如下：首先，在X-Y面上對(duì)稱排布三類魔方塊組，如圖16a所示，得到3種排布方案。以方案1為例，對(duì)角線上放置編碼為“-1”的魔方塊組，編碼為“0”，“1”的魔方塊組對(duì)稱分布于其兩側(cè)，確保沿X軸、Y軸方向每一層均包含3類魔方塊組。隨后，魔方塊組繞其中心軸旋轉(zhuǎn)，如圖16b、圖16c所示，確保沿X軸、Y軸方向每一層所對(duì)應(yīng)的3×3數(shù)組均包含全為-1、0、1的一維列數(shù)組，即沿X、Y軸對(duì)應(yīng)的分層Y-Z面、X-Z面對(duì)稱排布，如圖17所示，得到基于魔方構(gòu)型的布局優(yōu)化模型方案1，同理得到方案2和方案3的布局模型。

（5）對(duì)照優(yōu)化模型方案1、方案2、方案3搭建相關(guān)的八面體擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，得到結(jié)構(gòu)性能差異調(diào)控模型，如圖18所示。

4.3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證圖18所構(gòu)建的3種調(diào)控模型的調(diào)控效果，本文分別對(duì)調(diào)控模型三種方案進(jìn)行有限元分析，并與樣例模型的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證結(jié)構(gòu)性能的調(diào)控效果，見圖19。

如圖19a所示，對(duì)三類調(diào)控結(jié)構(gòu)分別沿X、Y、Z三個(gè)軸向進(jìn)行壓縮仿真，仿真材料參數(shù)設(shè)置與之前仿真算例保持一致。

調(diào)控結(jié)構(gòu)的下邊界施加固定約束，上邊界施加位移約束u=1.8 mm。調(diào)控結(jié)構(gòu)的外型尺寸L=180 mm。仿真分析調(diào)控結(jié)構(gòu)在下壓過程中承載能力，求解壓縮過程中的等效負(fù)載F，通過式（20）得到等效彈性模量來驗(yàn)證調(diào)控效果。

結(jié)果如表1所示，與樣例的周期性擴(kuò)展結(jié)構(gòu)相比，離散組裝八面體超材料性能差異從26.46%分別降低到1.35%、1.06%、2.04%。表明調(diào)控結(jié)構(gòu)方案1、方案2、方案3能夠有效地調(diào)控離散組裝八面體超材料的X、Y、Z三個(gè)軸向上的性能差異，如圖19b所示。

4.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證調(diào)控結(jié)構(gòu)的實(shí)際性能調(diào)控效果，選擇仿真中調(diào)控效果最優(yōu)的方案2，組裝三套對(duì)應(yīng)

調(diào)控結(jié)構(gòu)的實(shí)物模型，利用萬能試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)，如圖20所示。分別沿調(diào)控結(jié)構(gòu)的X、Y、Z三個(gè)方向壓縮，進(jìn)行三組實(shí)驗(yàn)。并繪制了對(duì)應(yīng)壓縮過程中的下壓位移-力曲線，如圖20c～圖20e所示，線彈性階段為曲線的直線段，其斜率對(duì)應(yīng)調(diào)控結(jié)構(gòu)的剛度，大小與調(diào)控結(jié)構(gòu)的等效彈性模量成比例關(guān)系，可直接用于調(diào)控結(jié)構(gòu)三個(gè)軸向承載能力對(duì)比的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，調(diào)控結(jié)構(gòu)沿X、Y、Z三個(gè)軸向的等效剛度分別為5.26×105，4.79×105，5.11×105 N/m，因此，從整體角度出發(fā)，沿不同軸向進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)，調(diào)控結(jié)構(gòu)的軸向性能差異分別為4.09%、5.21%、1.12%，相比同軸排布的結(jié)構(gòu)的仿真結(jié)果，其最大差異從24.46%下降到5.21%，進(jìn)而說明調(diào)控結(jié)構(gòu)的軸向性能差異調(diào)控效果良好。相比于仿真結(jié)論其最大差異從1.06%上升到了5.21%，屬于合理范圍之內(nèi)。

5 結(jié)論

基于螺栓連接的離散組裝形式可以有效實(shí)現(xiàn)八面體超材料單胞的制備和周期性拓展，但會(huì)帶來八面體超材料單胞正交方向的性能差異。通過數(shù)字編碼思想建立三階魔方調(diào)控模型，仿真結(jié)果表明，組裝結(jié)構(gòu)的性能最大差異從26.46%縮小至1.06%，并通過壓縮實(shí)驗(yàn)有效驗(yàn)證了調(diào)控結(jié)構(gòu)的調(diào)控效果。本文所提出的離散組裝設(shè)計(jì)與性能調(diào)控的方法，豐富了八面體超材料的離散組裝形式，為八面體超材料的低成本制造和大規(guī)模應(yīng)用提供了創(chuàng)新方案。

參考文獻(xiàn)：

［1］ HUANG J， ZHANG J， XU D， et al. From Jammed Solids to Mechanical Metamaterials：a Brief Review［J］. Current Opinion in Solid State and Materials Science， 2023， 27（1）：101053.

［2］ YU X， ZHOU J， LIANG H， et al. Mechanical Metamaterials Associated with Stiffness， Rigidity and Compressibility：a Brief Review［J］. Progress in Materials Science， 2018， 94：114-173.

［3］ 付君健，張躍，杜義賢，等. 周期性多孔結(jié)構(gòu)特征值拓?fù)鋬?yōu)化［J］. 振動(dòng)與沖擊， 2022， 41（3）：73-81.

FU Junjian， ZHANG Yue， DU Yixian， et al. Eigenvalue Topology Optimization of Periodic Cellular Structures［J］. Journal of Vibration and Shock， 2022， 41（3）：73-81.

［4］ 湯永鋒，路平，劉斌，等. 不同梯度變化方式的不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與力學(xué)性能分析［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2022， 33（23）：2859-2866.

TANG Yongfeng， LU Ping， LIU Bin， et al. Design and Mechanics Property Analysis for Different Graded Irregular Porous Structures［J］. China Mechanical Engineering， 2022， 33（23）：2859-2866.

［5］ LAKES R. Foam Structures with a Negative Poisson’s Ratio［J］. Science， 1987， 235（4792）：1038-1040.

［6］ XUE X，LIN C，WU F， et al. Lattice Structures with Negative Poisson’s Ratio：a Review［J］. Materials Today Communications， 2023， 34：105132.

［7］ 沈建邦，肖俊華. 負(fù)泊松比可變弧角曲邊內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2019， 30（17）：2135-2141.

SHEN Jianbang， XIAO Junhua. Mechanics Properties of Negative Poisson’s Ratio Honeycomb Structures with Variable Arc Angle Curved Concave Sides［J］. China Mechanical Engineering， 2019， 30（17）：2135-2141.

［8］ CHEN S，LIU X，HU J， et al. Elastic Architected Mechanical Metamaterials with Negative Stiffness Effect for High Energy Dissipation and Low Frequency Vibration Suppression［J］. Composites Part B：Engineering， 2023， 267：111053.

［9］ CHEN B，CHEN L，DU B， et al. Novel Multifunctional Negative Stiffness Mechanical Metamaterial Structure：Tailored Functions of Multi-stable and Compressive Mono-stable［J］. Composites Part B：Engineering， 2021， 204：108501.

［10］ TAN X，CHEN S，WANG B， et al. Real-time Tunable Negative Stiffness Mechanical Metamaterial［J］. Extreme Mechanics Letters， 2020， 41：100990.

［11］ ZHENG X，LEE H，WEISGRABER T H， et al. Ultralight， Ultrastiff Mechanical Metamaterials［J］. Science， 2014， 344（6190）：1373-1377.

［12］ BERGER J B， WADLEY H N G， MCMEEKING R M. Mechanical Metamaterials at the Theoretical Limit of Isotropic Elastic Stiffness［J］. Nature， 2017， 543（7646）：533-537.

［13］ NICOLAOU Z G， MOTTER A E. Mechanical Metamaterials with Negative Compressibility Transitions［J］. Nature Materials， 2012， 11（7）：608-613.

［14］ YAO Y，NI Y，HE L. Rutile-mimic 3D Metamaterials with Simultaneously Negative Poisson’s Ratio and Negative Compressibility［J］. Materials amp; Design， 2021， 200：109440.

［15］ 范華林，楊衛(wèi). 輕質(zhì)高強(qiáng)點(diǎn)陣材料及其力學(xué)性能研究進(jìn)展［J］. 力學(xué)進(jìn)展， 2007 （1）：99-112.

FAN Hualin，YANG Wei. Research Progress of Light and High Strength Lattice Materials and Mechanical Properties［J］. Advances in Mechanics， 2007（1）：99-112.

［16］ JENETT B， CAMERON C， TOURLOMOUSIS F， et al. Discretely Assembled Mechanical Metamaterials［J］. Science Advances， 2020， 6（47）：eabc9943.

［17］ 華林，魏鵬飛，胡志力. 高強(qiáng)輕質(zhì)材料綠色智能成形技術(shù)與應(yīng)用［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2020， 31（22）：2753-2762.

HUA Lin， WEI Pengfei， HU Zhili. Green and Intelligent Forming Technology and Its Applications for High Strength Lightweight Materials［J］. China Mechanical Engineering， 2020， 31（22）：2753-2762.

［18］ 熊曉晨，秦訓(xùn)鵬，華林，等. 復(fù)合式增材制造技術(shù)研究現(xiàn)狀及發(fā)展［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2022， 33（17）：2087-2097.

XIONG Xiaochen， QIN Xunpeng， HUA Lin， et al. Research Status and Development of Hybrid Additive Manufacturing Technology［J］. China Mechanical Engineering， 2022， 33（17）：2087-2097.

［19］ CARNEY M E. Discrete Cellular Lattice Assembly［D］. Cambridge：Massachusetts Institute of Technology， 2015.

［20］ 熊健，李志彬，劉惠彬，等. 航空航天輕質(zhì)復(fù)合材料殼體結(jié)構(gòu)研究進(jìn)展［J］. 復(fù)合材料學(xué)報(bào)， 2021， 38（6）：1629-1650.

XIONG Jian， LI Zhibin， LIU Huibin， et al. Advances in Aerospace Lightweight Composite Shell Structure［J］. Acta Materiae Compositae Sinica， 2021， 38（6）：1629-1650.

［21］ GERSHENFELD N. How to Make Almost Anything：The Digital Fabrication Revolution［J］. Foreign Affairs， 2012， 91：43.

［22］ LIU W，SONG H，WANG Z， et al. Improving Mechanical Performance of Fused Deposition Modeling Lattice Structures by a Snap-fitting Method［J］. Materials amp; Design， 2019， 181：108065.

［23］ LIU W，SONG H，HUANG C. Maximizing Mechanical Properties and Minimizing Support Material of PolyJet Fabricated 3D Lattice Structures［J］. Additive Manufacturing， 2020， 35：101257.

［24］ DONG L，ZHANG S，YU K. Ti-6Al-4V Truss Lattices with a Composite Topology of Double-simple-cubic and Body-centered-cubic［J］. European Journal of Mechanics—A/Solids， 2022， 92：104486.

［25］ DONG L. Mechanical Responses of Snap-fit Ti-6Al-4V Warren-truss Lattice Structures［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2020， 173：105460.

［26］ GHOLIKORD M， ETEMADI E， IMANI M， et al. Design and Analysis of Novel Negative Stiffness Structures with Significant Energy Absorption［J］. Thin-Walled Structures， 2022， 181：110137.

［27］ GREGG C E， KIM J H， CHEUNG K C. Ultra-light and Scalable Composite Lattice Materials［J］. Advanced Engineering Materials， 2018， 20（9）：1800213.

［28］ CHAI X， MA Z， WU S， et al. Semi-open Discrete Mechanical Metamaterials and Application in Robotics［J］. Extreme Mechanics Letters， 2023：102031.

［29］ WARD J J D. Additive Assembly of Digital Materials［D］. Cambridge：Massachusetts Institute of Technology， 2010.

［30］ CRAMER N B，CELLUCCI D W，F(xiàn)ORMOSO O B， et al. Elastic Shape Morphing of Ultralight Structures by Programmable Assembly［J］. Smart Materials and Structures， 2019， 28（5）：055006.

［31］ OU J， MA Z， PETERS J， et al. KinetiX-designing Auxetic-inspired Deformable Material Structures［J］. Computers amp; Graphics， 2018， 75：72-81.

［32］ CRISTIAN D G，NADER E. Digital Metamaterials［J］. Nature Materials， 2014， 13（12）：1115-1121.

［33］ CUI T J， QI M Q， WAN X， et al. Coding Metamaterials， Digital Metamaterials and Programmable Metamaterials［J］. Light：Science amp; Applications， 2014， 3（10）：e218-e218.

［34］ MENG Z， YAN H， LIU M， et al. Encoding and Storage of Information in Mechanical Metamaterials［J］. Advanced Science， 2023， 10（20）：2301581.

［35］ FANG X， WEN J， CHENG L， et al. Programmable Gear-based Mechanical Metamaterials［J］. Nature Materials， 2022， 21（8）：869-876.

［36］ MENG Z，LIU M，YAN H， et al. Deployable Mechanical Metamaterials with Multistep Programmable Transformation［J］. Science Advances， 2022， 8（23）：eabn5460.

［37］ CHOE J K， YI J， JANG H， et al. Digital Mechanical Metamaterial：Encoding Mechanical Information with Graphical Stiffness Pattern for Adaptive Soft Machines［J］. Advanced Materials， 2023， 36（4）：2304302.

［38］ DONG L，DESHPANDE V，WADLEY H. Mechanical Response of Ti-6Al-4V Octet-truss Lattice Structures［J］. International Journal of Solids and Structures， 2015， 60：107-124.

［39］ XU B，YIN S，WANG Y， et al. Long-fiber Reinforced Thermoplastic Composite Lattice Structures：Fabrication and Compressive Properties［J］. Composites Part A：Applied Science and Manufacturing， 2017， 97：41-50.

［40］ ARRIETA S， CICERO S， SáNCHEZ M， et al. Estimation of Fracture Loads in 3D Printed PLA Notched Specimens Using the ASED Criterion［J］. Procedia Structural Integrity， 2023， 47：13-21.

［41］ MASKERY I，AREMU A，PARRY L， et al. Effective Design and Simulation of Surface-based Lattice Structures Featuring Volume Fraction and Cell Type Grading［J］. Materials amp; Design， 2018， 155：220-232.

（編輯 王艷麗）

作者簡(jiǎn)介：

付君健，男，1987年生，講師。研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化、超構(gòu)材料設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)缺陷識(shí)別。發(fā)表論文20余篇。E-mail：fjj@

ctgu.edu.cn。吳海華（通信作者），男，1970年生，教授。研究方向?yàn)槭?石墨烯增材制造技術(shù)。發(fā)表論文70余篇。E-mail：wuhaihua@ctgu.edu.cn。