類比推理，從“幾個(gè)幾”開始

“乘法的初步認(rèn)識(shí)”是人教版二年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四單元第47頁例1及相關(guān)內(nèi)容，是小學(xué)階段“數(shù)運(yùn)算”知識(shí)的一次跨越?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要引導(dǎo)學(xué)生“感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。周佳泉數(shù)學(xué)名師工作室團(tuán)隊(duì)多名教師多次執(zhí)教“乘法的初步認(rèn)識(shí)”，以乘法意義的理解為載體，在促進(jìn)學(xué)生類比推理能力提升方面取得了良好的效果?，F(xiàn)撰文記之，與廣大同仁共勉。

一、成人眼光中的“乘法”

在實(shí)際教學(xué)中，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)老師認(rèn)為“乘法”很容易：無非就是把幾個(gè)相同加數(shù)的加法算式改寫成乘法算式。這么簡單的內(nèi)容，甚至都不用老師教，學(xué)生自己看看數(shù)學(xué)例題就能學(xué)會(huì)。因此，很多老師在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中以“學(xué)生是否會(huì)把加法算式改寫成乘法算式”為教學(xué)的終極目標(biāo)，一旦學(xué)生改寫“成功”，就覺得“乘法的初步認(rèn)識(shí)”這節(jié)課的教學(xué)已大功告成。接下來，就是海量的練習(xí)加以鞏固。到了后續(xù)高年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法、比例的相關(guān)知識(shí)的時(shí)候，學(xué)生對(duì)于乘法意義的擴(kuò)展（求一個(gè)數(shù)的零點(diǎn)幾倍是多少？求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？比例中的“恒量”是誰？）的理解卻舉步維艱。究其原因，就是二年級(jí)“乘法的初步認(rèn)識(shí)”這節(jié)課上飄了。

老師之所以會(huì)有“乘法”很容易的想法，主要原因有三個(gè)：一是部分教師覺得乘法同加法一樣，在學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中應(yīng)該是“天生”就會(huì)的；二是部分學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法的過程中（尤其現(xiàn)行教材不再區(qū)分“被乘數(shù)”與“乘數(shù)”的情況下），對(duì)加法與乘法的改寫（僅停留在文字符號(hào)層面）確實(shí)上手很快，就給老師造成了“乘法”很容易的錯(cuò)覺；三是部分家長對(duì)孩子“乘法口訣”的前置輔導(dǎo)，讓學(xué)生很容易落入以“口訣”代“意義”的歧途中——用已知的計(jì)算結(jié)果來反推算式。這些錯(cuò)覺，都很容易導(dǎo)致把乘法意義理解簡單化、片面化、淺表化。

因此，“乘法的初步認(rèn)識(shí)”這節(jié)“種子課”的價(jià)值非同一般，老師眼中的“容易”也未必真的容易。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)中的“乘法”

通過細(xì)致的課堂教學(xué)觀察和課后學(xué)業(yè)測評(píng)反饋，我們不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“乘法意義”的理解確實(shí)存在諸多困難。主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

1. “A個(gè)B”與“B個(gè)A”相混淆

實(shí)際教學(xué)中，“3個(gè)盤子里每盤裝2個(gè)蘋果”與“2個(gè)盤子里每盤裝3個(gè)蘋果”寫成乘法算式都一樣（因?yàn)楝F(xiàn)行教材不再區(qū)分兩個(gè)因數(shù)誰前誰后），都可以用“2×3”或“3×2”來表示。（如下圖）

但是，還原成加法算式卻不一樣：第一幅圖應(yīng)該表示為“3+3”（也就是2個(gè)3相加），第二幅圖應(yīng)該表示為“2+2+2”（也就是3個(gè)2相加）。即兩個(gè)情境中，把誰看作“1個(gè)單位”和有幾個(gè)“單位”是完全不同的。

“幾個(gè)幾”區(qū)分不清，將會(huì)對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生極其嚴(yán)重的負(fù)面影響。

2. “算式”與“情境”相脫離

由上述第一個(gè)“困難”，就自然生發(fā)出學(xué)生理解乘法意義的第二個(gè)“困難”——只識(shí)其“式”，不知其“意”。也就是在具體情境中，學(xué)生能理解乘法的含義并用乘法算式正確表示。如：“5個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友發(fā)3顆糖，一共要發(fā)多少顆糖？”學(xué)生能理解是“5個(gè)3相加”，用乘法算式表示為“3×5”或“5×3”。但是單獨(dú)給出算式“3×5”，讓學(xué)生去說出它的含義并描述一個(gè)相應(yīng)的“情境”時(shí)，相當(dāng)一部分學(xué)生是困難的：自己界定的含義是“3個(gè)5相加”，描述的情境卻是“5個(gè)3相加”。

這就反映出教師在教學(xué)中，對(duì)于“情境—意義—算式”的鏈接是不牢固的，學(xué)生對(duì)乘法意義的認(rèn)知是片面的。學(xué)生雖然可以熟練地進(jìn)行乘法運(yùn)算，但在實(shí)際應(yīng)用情境中，卻難以將數(shù)學(xué)表達(dá)與具體場景結(jié)合起來，未能深刻理解乘法的實(shí)質(zhì)。這就是前面談到的以“口訣”代“意義”——根據(jù)計(jì)算結(jié)果反推算式的具體表現(xiàn)。

3. “會(huì)寫不會(huì)說”是普遍現(xiàn)象

以上兩個(gè)問題如果不徹底解決，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中只能依靠大量機(jī)械練習(xí)“感知”某個(gè)問題應(yīng)該用乘法解決，并且也能夠根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)判斷解題的結(jié)果是否正確，但對(duì)于乘法意義的理解卻始終是模糊不清的。這種模糊“感知”的負(fù)面影響會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)中被疊加放大。如：

兩幅圖中的問題都可以用“5×３/４”來解決，結(jié)果也都是“3.75千克”。但相當(dāng)一部分學(xué)生在“做對(duì)”的前提下，也沒有能力把兩道題的真實(shí)含義說清楚：第一幅圖表示的意義是“5個(gè)３/４的和是多少？”，第二幅圖表示的意義是“5的３/４是多少？”。到了初中和高中，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的相關(guān)函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于“恒量”“自變量”“因變量”的理解就更加困難了。

教師在乘法教學(xué)中，不僅要注重運(yùn)算技能的培養(yǎng)，更要幫助學(xué)生在具體情境中建構(gòu)乘法概念，提升他們的數(shù)學(xué)表達(dá)與理解能力。通過更多的實(shí)際情境練習(xí)與語言表達(dá)訓(xùn)練，學(xué)生才能真正掌握乘法的意義，做到“會(huì)算、會(huì)說、會(huì)用”。

“會(huì)寫不會(huì)說”的“啞巴”數(shù)學(xué)，著實(shí)害人不淺。

三、學(xué)習(xí)乘法的“橋梁”

針對(duì)學(xué)生理解乘法意義的實(shí)際困難，為學(xué)生架設(shè)思維的橋梁就成了教好“乘法的初步認(rèn)識(shí)”這節(jié)課的必經(jīng)之路。

1. “一個(gè)幾”是認(rèn)識(shí)乘法的基石

通過以上分析不難看出，理解乘法意義的核心是分清楚“幾個(gè)幾”，而“幾個(gè)幾”的概念建立源自“一個(gè)幾”。這對(duì)初識(shí)乘法的學(xué)生來說是困難的——“把3個(gè)蘋果裝在一個(gè)盤子里”（其實(shí)就是看作1個(gè)單位）叫作“1個(gè)3”，這樣的表述對(duì)學(xué)生來說是陌生的，理解也是有困惑的——一年級(jí)的時(shí)候我們明明說“3個(gè)一組成3”，現(xiàn)在怎么變成“1個(gè)3”了呢？這就需要老師巧設(shè)方法讓學(xué)生理解，“3個(gè)”是一個(gè)整體（1個(gè)單位），叫作“1個(gè)3”。再來這樣的一個(gè)單位，就是“2個(gè)3”……以此類推。

在變換情境的再認(rèn)識(shí)中，學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到：要數(shù)清“幾個(gè)幾”，先確定“一個(gè)幾”（圈出第1份）是個(gè)好辦法。在學(xué)生能準(zhǔn)確找到“一個(gè)幾”，并能用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出“幾個(gè)幾”后，出示不同類型的幾個(gè)幾，豐富數(shù)學(xué)表象。最后，利用想一想、說一說、擺一擺的活動(dòng)，再次鞏固幾個(gè)幾，打牢乘法的基石。

2. “每份數(shù)”不變是累加的根本

在正確區(qū)分“幾個(gè)幾”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生逐步理解“每份數(shù)”不變是累加的根本。如果第一份數(shù)是“1個(gè)8”，“照這樣計(jì)算”數(shù)下去的結(jié)果就是“n個(gè)8”；如果第一份數(shù)是“1個(gè)6”，“照這樣計(jì)算”數(shù)下去的結(jié)果就是“n個(gè)6”……

在舉一反三的類比中，使學(xué)生逐步深入理解乘法的基本含義——同數(shù)累加。變化的是加數(shù)的個(gè)數(shù)與最終的積，不變的是“每份數(shù)”。在部分題目中雖然沒有直接呈現(xiàn)相同加數(shù)累加，但經(jīng)過類比推理，尋求方法的突破，也可以轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算。例如：3+4+5=？看起來題目中的每份數(shù)是不同的，但是經(jīng)過移多補(bǔ)少，可以轉(zhuǎn)化為4+4+4，也能滿足乘法的計(jì)算要求。

3. 兩個(gè)因數(shù)的地位其實(shí)不一樣

雖然現(xiàn)行教材中不再區(qū)分兩個(gè)因數(shù)的位置和具體名稱（統(tǒng)稱為因數(shù)），其實(shí)兩個(gè)因數(shù)的地位是不一樣的。

要數(shù)清楚“幾個(gè)幾”，“一個(gè)幾”至關(guān)重要，它規(guī)定了我們“數(shù)數(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)（或單位）。也就是說，從因果關(guān)系來判斷，是先有了“一個(gè)幾”（每份數(shù)），我們才有辦法按照這樣的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)下去，數(shù)完了才知道有幾個(gè)（份數(shù)）這樣的數(shù)。因此，把每份數(shù)寫在乘號(hào)的前面（被乘數(shù)的位置），把份數(shù)寫在乘號(hào)的后面（乘數(shù)的位置）是否會(huì)更合理一些呢？

當(dāng)然，從讀寫一致的角度來看，“3個(gè)5”寫成“3×5”也更方便學(xué)生的記憶。對(duì)于這個(gè)問題，廣大同仁見仁見智，不可一概而論。

“乘法的初步認(rèn)識(shí)”既是小學(xué)數(shù)運(yùn)算意義的一大臺(tái)階，更是培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的良好載體。善用之，細(xì)品之，韻味無窮！

【注：本文系2022年度云南省教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目“基于核心素養(yǎng)的小學(xué)生推理意識(shí)培養(yǎng)的策略研究”（批號(hào)：BFJC22020）階段性研究成果】