面積邊長(zhǎng)固定的四邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)算法及應(yīng)用

摘 要：不動(dòng)產(chǎn)宗地界址的恢復(fù)可簡(jiǎn)化為根據(jù)四邊形的面積和邊長(zhǎng)確定其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的問(wèn)題。本文通過(guò)研究四邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)與面積間的關(guān)系，建立了求解四邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的算法模型。在四邊形四個(gè)邊長(zhǎng)和面積固定的約束條件下，經(jīng)迭代計(jì)算求解對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度。根據(jù)已知界址點(diǎn)的坐標(biāo)用距離交會(huì)法計(jì)算四邊形的兩個(gè)待定點(diǎn)坐標(biāo)，從而恢復(fù)宗地界址。

關(guān)鍵詞：宗地界址恢復(fù)；四邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)與面積關(guān)系；弦截迭代公式；距離交會(huì)

中圖分類(lèi)號(hào)：P 20" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

許多老舊的宗地圖受當(dāng)時(shí)測(cè)繪技術(shù)條件的限制，只有邊長(zhǎng)和面積，沒(méi)有坐標(biāo)，也沒(méi)有可參照的地形地物。在新的不動(dòng)產(chǎn)登記調(diào)查作業(yè)中，要恢復(fù)其形狀和界址點(diǎn)坐標(biāo)的同時(shí)，還要保證面積邊長(zhǎng)不變，手工調(diào)整難度很大。

任何形狀的宗地在大致確定各界址點(diǎn)位置后，均可將該宗地證載面積減去其他不可調(diào)整的固定部分面積后的剩余面積，歸算到一個(gè)四邊形上。在保證四邊形四個(gè)邊長(zhǎng)一定，面積等于宗地剩余面積的約束條件下，通過(guò)迭代計(jì)算四邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，從而將不穩(wěn)定的四邊形變?yōu)閮蓚€(gè)共邊的穩(wěn)定三角形，這樣就穩(wěn)定了該四邊形的形狀。根據(jù)四邊形與宗地其他部分的兩個(gè)銜接點(diǎn)坐標(biāo)，按照距離交會(huì)法可以計(jì)算其他兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，從而恢復(fù)老宗地圖的界址點(diǎn)。

1 四邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)與面積關(guān)系

四邊形是一個(gè)不穩(wěn)定的圖形，邊長(zhǎng)一定的四邊形其面積是無(wú)法固定的。固定四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)后，四邊形就成了兩個(gè)共邊的穩(wěn)定三角形，四邊形也變得穩(wěn)定且具有唯一的固定的面積。

圖1為典型四邊形，根據(jù)海倫公式可以求出三角形123和三角形134的面積，這兩個(gè)三角形的面積之和便是該四邊形的面積，于是便得出四邊形的面積S與對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度d的函數(shù)關(guān)系，如公式（1）和公式（2）所示。

（1）

（2）

2 求解角線(xiàn)長(zhǎng)度

當(dāng)四邊形的面積一定時(shí)，公式（1）或公式（2）可求出對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度d或f。由于公式（1）和公式（2）不是線(xiàn)性方程，因此無(wú)法直接求解，須采用迭代法進(jìn)行計(jì)算。

2.1 對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的取值范圍及面積極值

在圖1中，設(shè)1、2頂點(diǎn)是固定的已知點(diǎn)，3、4頂點(diǎn)為待定點(diǎn)。當(dāng)壓縮或拉伸對(duì)角線(xiàn)d時(shí)，面積S也將隨之變小或變大。

2.1.1 對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的最小值

在圖1的基礎(chǔ)上，使頂點(diǎn)3向頂點(diǎn)1靠近，不斷縮短d。受4個(gè)固定邊長(zhǎng)的約束，凸四邊形將會(huì)壓縮為凹四邊形，面積逐漸變小，較短的邊會(huì)向里折疊，最終有2條邊折疊在一條直線(xiàn)上，此時(shí)的圖形為一個(gè)小三角形加一段回頭線(xiàn)，d壓縮至最?。▓D2）。

d的最小值dmin如公式（3）所示。

dmin=max（|d1-d2|，|d3-d4|）" " " " " " " " " " " " "（3）

式中：max（）為取最大值函數(shù)。

根據(jù)海倫公式，可求出d最小時(shí)的面積，當(dāng)dmin=|d1-d2|時(shí)，如公式（4）所示。

（4）

當(dāng)dmin=|d3-d4|時(shí)，如公式（5）所示。

（5）

同理，計(jì)算f的最小值如公式（6）所示。

fmin=max（|d2-d3|，|d4-d1|）" " （6）

當(dāng)fmin=|d2-d3|時(shí)，計(jì)算四邊形面積如公式（7）所示。

（7）

當(dāng)fmin=|d4-d1|時(shí)，計(jì)算四邊形面積如公式（8）所示。

（8）

注意圖2，這個(gè)時(shí)候的f已經(jīng)跑到了四邊形的外面，因此這時(shí)的f變得沒(méi)有意義，就不能再用f去求解四邊形了。對(duì)角線(xiàn)d或f必須在四邊形內(nèi)部，當(dāng)d或f跑到四邊形外面時(shí)，使得公式（1）或公式（2）不成立。

在d達(dá)到圖2所示的最小值后，若將f變小，則會(huì)使d也跑到四邊形的外面，而且這時(shí)的四邊形就會(huì)自相交，這在圖形的拓?fù)潢P(guān)系中也是不允許存在的。因此，在后續(xù)的研究中，本文僅考慮d或f在四邊形內(nèi)部時(shí)的情形。

2.1.2 對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的最大值

在圖1的基礎(chǔ)上，將頂點(diǎn)3向外拉伸，使其與頂點(diǎn)1的距離增加，d不斷變大。受4個(gè)固定邊長(zhǎng)的約束，圖形將會(huì)逐漸撐開(kāi)變?yōu)橥顾倪呅?，在該過(guò)程中，面積逐漸變大。當(dāng)變化到4個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)，四邊形的面積達(dá)到最大極值。此時(shí)繼續(xù)拉伸d，四邊形將會(huì)變得瘦長(zhǎng)，最終2條較短的邊被拉伸為一條直線(xiàn)，圖形變?yōu)橐粋€(gè)大三角形，d拉伸最大（圖3）。

此時(shí)得到公式（9）。

dmax=min（d1+d2，d3+d4）" " " " " " " " " "（9）

式中：min（）為取最小值函數(shù)。

同理，計(jì)算f的最大值如公式（10）所示。

fmax=min（d2+d3，d4+d1）" " " " " " " （10）

2.1.3 四邊形面積的最大值

已有研究表明，當(dāng)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)面積最大[1]，最大面積如公式（11）所示。

（11）

如上所述，四邊形面積最大時(shí)四個(gè)頂點(diǎn)共圓，即為圓內(nèi)接四邊形。根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)可知，圖1中的∠123與∠341之和為π。設(shè)∠123為θ，則∠341為π-θ。設(shè)面積最大時(shí)1-3對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度為dSmax，根據(jù)余弦定理并顧及cos（π-θ）=-cosθ，得出公式（12）和公式（13）。

dS2 max=d12+d22+2·d1·d2·cosθ " " " " " " " " " " " " " " " " （12）

dS2 max=d32+d42-2·d3·d4·cosθ " " " " " " " " " " " " " " " "（13）

解上述方程組可得公式（14）。

（14）

同理可得，計(jì)算面積最大時(shí)2-4對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度如公式（15）所示。

（15）

2.2 構(gòu)建迭代模型

2.2.1 S（d）與S（f）函數(shù)曲線(xiàn)的特性分析

由上文可知，當(dāng)d或f在四邊形內(nèi)部時(shí)，將其作為2個(gè)三角形的共邊，以此計(jì)算四邊形的面積才是有意義的。在觀察對(duì)角線(xiàn)d變化過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，d與f是聯(lián)動(dòng)的關(guān)系。在d和f均在四邊形內(nèi)部的區(qū)間內(nèi)，d變大f必然變小。反之，f變大d就變小。在該區(qū)間內(nèi)，d與f是互替的關(guān)系，即求解d與求解f可以得到相同的四邊形。

當(dāng)d拉伸至最大（大三角形）時(shí)，f還有繼續(xù)變小的可能。當(dāng)d為最大值時(shí)（如圖3所示），頂點(diǎn)2繼續(xù)向頂點(diǎn)4靠近，圖形將變形為凹四邊形。f繼續(xù)變小，圖形最終會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)帶回頭線(xiàn)的小三角形上。此時(shí)d已經(jīng)在四邊形外且開(kāi)始變小。在該區(qū)間內(nèi)，d失去其意義，根據(jù)f來(lái)確定四邊形的形狀。反之，當(dāng)f拉伸至最大，d仍繼續(xù)變小時(shí)，f也失去意義，須根據(jù)d來(lái)確定四邊形。這兩個(gè)區(qū)間是d與f的互補(bǔ)區(qū)間。典型的四邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度與面積關(guān)系曲線(xiàn)如圖4所示（為清楚地說(shuō)明d和f兩個(gè)對(duì)角線(xiàn)的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，將f軸的方向指向了與d相反的左邊）。

結(jié)合圖4，總結(jié)四邊形的S（d）曲線(xiàn)和S（f）曲線(xiàn)特性，得出以下結(jié)論。1）隨著對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的值由小變大，四邊形面積會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由小變大、達(dá)到極值后再由大到小的過(guò)程。在上升區(qū)間或下降區(qū)間內(nèi)S（d）和S（f）都具有單值屬性，因此在各自的上升區(qū)間或下降區(qū)間內(nèi)，給定S就可以迭代出d或f。2）S（d）的下降段（粗虛線(xiàn)部分）與S（f）對(duì)應(yīng)的上升段（細(xì)實(shí)線(xiàn)部分）是完全等效的，同一個(gè)面積值，二者計(jì)算的四邊形完全一樣。反之，S（f）的下降段（細(xì)虛線(xiàn)部分）與S（d）上升段（粗實(shí)線(xiàn)部分）對(duì)應(yīng)部分也是這樣。在上述區(qū)間內(nèi)，當(dāng)面積一定時(shí)求解d與f可以得到相同的四邊形，二者可以互替。3）對(duì)比圖2與圖3，Sdmin≤Sdmax，Sfmin≤sfmax。即圖4曲線(xiàn)的上升區(qū)間的面積值完全可以涵蓋下降區(qū)間的面積值。

由上述分析可以看出，將S（d）和S（f）的上升段（各自的實(shí)線(xiàn)部分）合并在一起而忽略其下降段（各自的虛線(xiàn)部分），就能得到一個(gè)完整的曲線(xiàn)圖。當(dāng)設(shè)計(jì)程序時(shí)，僅考慮S（d）和S（f）的上升段，會(huì)使解算模型變得較為簡(jiǎn)單。另外，由圖4可以看出，S（d）和S（f）的下降段比較陡，d或f的誤差對(duì)S的影響也會(huì)較大。因此，僅用S（d）和S（f）上升段的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)可獲得較好的精度。

若Sdmin≤S≤Smax，則可以用S（d）函數(shù)在dmin≤d≤dSmax區(qū)間迭代d的目標(biāo)值，以此得到四邊形的第一組解。若Sfmin≤S≤Smax，則可以用S（f）函數(shù)在fmin≤f≤fSmax區(qū)間迭代f的目標(biāo)值，以此得到四邊形的第二組解。若S在Sdmin和Sfmin間，則只能有一組解。

2.2.2 迭代公式

當(dāng)四邊形邊長(zhǎng)和面積確定后，要根據(jù)公式（1）和公式（2）分別迭代1-3對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度和2-4對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度。

假定對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度為x，根據(jù)公式（1）或公式（2）即可得出四邊形面積的計(jì)算值S（x）。設(shè)四邊形的給定面積為S，則面積殘差為：v（x）=S（x）-S。根據(jù)不動(dòng)產(chǎn)調(diào)查技術(shù)規(guī)程，面積精度為0.01，因此，將面積殘差的容許值ds（面積容差）設(shè)定在比其小10倍的0.001。當(dāng)殘差大于容差時(shí)，通過(guò)增加或減少x值，再次計(jì)算殘差，直至殘差小于或等于容差為止，這樣即可迭代出x的目標(biāo)值d或f。

實(shí)際計(jì)算時(shí)，采用弦截迭代公式，計(jì)算過(guò)程如公式（16）所示[2]。

（16）

弦截迭代公式需要兩個(gè)初值：x0和x1，這兩個(gè)初值均不能超過(guò)目標(biāo)值。v0和v1是根據(jù)兩個(gè)初值計(jì)算的面積殘差。當(dāng)?shù)鷇時(shí)，x0=dmin，當(dāng)?shù)鷉時(shí)，x0=fmin。x1=x0+dx，其中dx為一微小變化量。

要保證dx引起的面積變化量小于容差。以迭代d為例，由圖1和圖3可以看出，當(dāng)f最大時(shí)，d的變化對(duì)面積的影響最大，可表示為ds=dx·fmax，因此取dx=ds/fmax。同理，當(dāng)?shù)鷉時(shí)，dx=ds/dmax。由于設(shè)定面積容差值時(shí)已經(jīng)留有充分冗余，因此求出的初值不會(huì)超過(guò)目標(biāo)值。

2.2.3 迭代過(guò)程

以迭代對(duì)角線(xiàn)d為例。

確定兩個(gè)初值：x0=dmin、x1=x0+dx，其中dx=ds/fmax，ds=0.001。

計(jì)算初值的四邊形面積殘差：將d=x0、d=x1 代入式（1），計(jì)算d取兩個(gè)初值時(shí)的四邊形面積S（x0）、S（x1），然后按照殘差公式v（x）=S（x）-S計(jì)算四邊形面積的兩個(gè)殘差：v0=v（x0）、v1=v（x1）。

將兩個(gè)初值x0、x1和兩個(gè)殘差v0、v1代入公式（14）計(jì)算第一次迭代值x，并按殘差公式計(jì)算四邊形面積殘差v。

若vlt;ds或xgt;=dSmax則結(jié)束迭代，取d=x；否則x0=x1，v0=v（x0），x1=x，v1=v（x1）重復(fù)公式（2）～公式（4）。

3 計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)

計(jì)算對(duì)角線(xiàn)d和f后，根據(jù)頂點(diǎn)1和2的坐標(biāo)，用距離交會(huì)法可求出頂點(diǎn)3和4的坐標(biāo)。距離交會(huì)法可以計(jì)算兩個(gè)相交圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。以交會(huì)頂點(diǎn)3（x，y）為例，已知點(diǎn)1（x1，y1）和點(diǎn)2（x2，y2）到頂點(diǎn)3的距離分別為r1和r2，通過(guò)求解兩個(gè)圓的聯(lián)立方程即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），如公式（17）所示。

（17）

式中：；

r2=（x2-x1）2+（y2-y1）2。

需要說(shuō)明的是，兩個(gè)相交圓將會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)與圓心構(gòu)成的三角形1-2-3為順時(shí)針，另一個(gè)則為逆時(shí)針。宗地圖中的界址點(diǎn)是按順時(shí)針進(jìn)行編號(hào)的，因?yàn)楫?dāng)對(duì)圖1所示的四邊形的頂點(diǎn)和邊長(zhǎng)進(jìn)行編號(hào)時(shí)也是采用的順時(shí)針，所以公式（17）所取的是順時(shí)針的那個(gè)解（將b反符號(hào)后是逆時(shí)針的那個(gè)解）。

4 計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)過(guò)程

計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)過(guò)程有以下步驟。1）拾取已定的1、2點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)反算邊長(zhǎng)d1，錄入面積和其他3個(gè)邊長(zhǎng)。2）根據(jù)四邊形“任意三邊之和大于第四邊”，檢查錄入的邊長(zhǎng)數(shù)據(jù)的合理性。若不合理，則終止。3）計(jì)算dmin、Sdmin、fmin、Sfmin、Smax、dSmax、fSmax、dmax、fmax，同時(shí)求出面積的最小值：Smin=min（Sdmin，Sfmin）。4）根據(jù)面積的上下限，檢查錄入面積數(shù)據(jù)的合理性。若不合理，則終止。5）迭代計(jì)算求出d和（或）f。6）根據(jù)距離交會(huì)法計(jì)算待定頂點(diǎn)坐標(biāo)。7）在CAD中展繪計(jì)算結(jié)果。

當(dāng)解算結(jié)果有兩組時(shí)，須人工判別最合適的結(jié)果。

5 結(jié)語(yǔ)

宗地界址恢復(fù)作業(yè)時(shí)，首先將能夠確定的宗地界址繪制在CAD圖上，其次將剩余面積歸算到一個(gè)待定的四邊形上，借助計(jì)算 邊長(zhǎng)和宗地剩余面積確定待定的兩個(gè)頂點(diǎn)，最后恢復(fù)所有宗地界址點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

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