基于改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的車間布局優(yōu)化模型及其應(yīng)用

摘 要：為提升車間作業(yè)效率，克服傳統(tǒng)系統(tǒng)布置設(shè)計(jì)（System Layout Planning，SLP）方法過(guò)度依賴經(jīng)驗(yàn)的缺點(diǎn)，本文構(gòu)建了以最小化搬運(yùn)成本和最大化作業(yè)單元非物流關(guān)系為目標(biāo)的車間布局優(yōu)化模型。鑒于問(wèn)題的復(fù)雜性，設(shè)計(jì)了改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法（Improved Whale Optimization Algorithm，IWOA）對(duì)其進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明，IWOA優(yōu)化后的布局顯著提升了車間各作業(yè)單元布局的合理性，提高了作業(yè)效率。

關(guān)鍵詞：改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法；車間設(shè)施；布局優(yōu)化

中圖分類號(hào)：TB 49" " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

隨著市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的加劇，制造企業(yè)如何充分利用車間現(xiàn)有資源，采用合理、有效的車間布局方案，減少搬運(yùn)時(shí)間、提高生產(chǎn)效率并降低成本成為一個(gè)備受關(guān)注的議題。

在長(zhǎng)期發(fā)展中，車間布局優(yōu)化中具有代表性的SLP方法出現(xiàn)效率低且準(zhǔn)確性差的缺點(diǎn)[1]。目前，智能算法成為車間布局優(yōu)化的重要工具[2]，文獻(xiàn)[1]開發(fā)了一種遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）對(duì)車間布局優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[2]使用GA與和聲優(yōu)化的混合算法對(duì)車間布局進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]開發(fā)了一種自適應(yīng)遺傳模擬退火算法，獲得車間布局優(yōu)化的最優(yōu)解。此外，候鳥優(yōu)化算法[4]、粒子群算法[5]和人工蜂群算法（Artificial Bee Colony Algorithm，ABC）[6]在車間布局優(yōu)化中也逐漸得到了應(yīng)用。

盡管智能算法在車間布局優(yōu)化領(lǐng)域得到了有效應(yīng)用，但根據(jù)沒(méi)有免費(fèi)午餐的理論[7]，沒(méi)有一種算法可以解決所有優(yōu)化問(wèn)題，總有一種算法會(huì)表現(xiàn)出更優(yōu)異的性能，有必要根據(jù)特定問(wèn)題不斷開發(fā)和改進(jìn)新的算法。鯨魚優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）作為最新涌現(xiàn)的尖端算法，具有操作簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[8]，但其在車間布局優(yōu)化的應(yīng)用較少。因此，本文設(shè)計(jì)了基于IWOA的車間布局優(yōu)化模型。

1 車間布局優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

針對(duì)車間布局優(yōu)化問(wèn)題特性，以最小化搬運(yùn)成本（f1）和最大化非物流關(guān)系指數(shù)（f2）為目標(biāo)，構(gòu)建車間空間布局優(yōu)化模型。搬運(yùn)成本如公式（1）所示，由作業(yè)單元間的搬運(yùn)成本、搬運(yùn)量和距離的乘積計(jì)算得出。公式（2）表示的是非物流關(guān)系指數(shù)，由作業(yè)單元間非物流關(guān)系的緊密程度和關(guān)聯(lián)因子的乘積計(jì)算得出。

（1）

式中：cij為作業(yè)單元i與j間的搬運(yùn)成本；fij為作業(yè)單元i與j間的搬運(yùn)量；dij為作業(yè)單元i與j間的距離，采用曼哈頓距離進(jìn)行表示，dij=|xi-xj|+|yi-yj|；M為車間中的作業(yè)單元總數(shù)。

（2）

式中：Tij為作業(yè)單元i與j非物流關(guān)系的緊密程度；bij為作業(yè)單元i與j非物流關(guān)系等級(jí)與距離的關(guān)聯(lián)因子。

為方便處理，將其轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)函數(shù)。由于量綱不同，對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，分別如公式（3）、公式（4）所示。

（3）

式中：dmax為任意2個(gè)生產(chǎn)設(shè)備間的最大距離；cij為作業(yè)單元i與j間的搬運(yùn)成本；fij為作業(yè)單元i與j間的搬運(yùn)量；dij為作業(yè)單元i與j間的距離，采用曼哈頓距離進(jìn)行表示，dij=|xi-xj|+|yi-yj|；M為車間中的作業(yè)單元總數(shù)。

（4）

式中：Tij為作業(yè)單元i與j非物流關(guān)系的緊密程度；bij為作業(yè)單元i與j非物流關(guān)系等級(jí)與距離的關(guān)聯(lián)因子；M為車間中的作業(yè)單元總數(shù)。

在公式（3）中，將搬運(yùn)成本除以任意2個(gè)生產(chǎn)設(shè)備間的最大距離、作業(yè)單元間的搬運(yùn)成本和作業(yè)單元間的搬運(yùn)量的乘積，得到標(biāo)準(zhǔn)化搬運(yùn)成本。在公式（4）中，將非物流關(guān)系指數(shù)除以作業(yè)單元間非物流關(guān)系的緊密程度的總和，得到標(biāo)準(zhǔn)化的非物流關(guān)系指數(shù)。

然后將公式（3）、公式（4）相結(jié)合構(gòu)建單目標(biāo)函數(shù)。在該函數(shù)中引入2個(gè)權(quán)重參數(shù)Z1和Z2，分別表示總搬運(yùn)成本和非物流關(guān)系所占的權(quán)重，如公式（5）所示。

minF=Z1f *1-Zf *2 " " （5）

式中：Z1為總搬運(yùn)成本所占權(quán)重；Z2為非物流關(guān)系所占權(quán)重。

1.2 約束條件

為了更貼近現(xiàn)實(shí)作業(yè)，對(duì)上述目標(biāo)設(shè)定約束條件，如公式（6）～公式（11）所示。

（6）

式中：xi、xj為作業(yè)單元i和j的X軸中心坐標(biāo)；li、lj為作業(yè)單元i和j的長(zhǎng)度；s為作業(yè)單元間的最小間距。

（7）

式中：yi、yj為作業(yè)單元i和j的Y軸中心坐標(biāo)；wi、wj為作業(yè)單元i和j的寬度；s為作業(yè)單元間的最小間距。

（8）

式中：xi為作業(yè)單元i的X軸中心坐標(biāo)；li為作業(yè)單元i的長(zhǎng)度；s為作業(yè)單元間的最小間距。

（9）

式中：yi為作業(yè)單元i的Y軸中心坐標(biāo)；wi為作業(yè)單元i的寬度；s為作業(yè)單元間的最小間距。

（10）

式中：xi為作業(yè)單元i的X軸中心坐標(biāo)；L為作業(yè)車間的長(zhǎng)度；li為作業(yè)單元i的長(zhǎng)度；s為作業(yè)單元間的最小間距。

（11）

式中：yi為作業(yè)單元i的Y軸中心坐標(biāo)；W為作業(yè)車間的寬度；wi為作業(yè)單元i的寬度；s為作業(yè)單元間的最小間距。

在上述約束中，公式（6）、公式（7）可確保作業(yè)單元間有適當(dāng)?shù)拈g距。在X軸和Y軸上，任何2個(gè)作業(yè)單元i和j的中心坐標(biāo)的差的絕對(duì)值應(yīng)大于或等于它們的長(zhǎng)度或?qū)挾戎偷囊话爰由献钚￠g距s。公式（8）、公式（9）可確保各作業(yè)單元與車間墻壁間有足夠的距離。在X軸和Y軸上，每個(gè)作業(yè)單元i的中心坐標(biāo)應(yīng)大于或等于它的長(zhǎng)度或?qū)挾鹊囊话爰由献钚￠g距s。公式（10）、公式（11）避免了各作業(yè)單元超出車間的長(zhǎng)度或?qū)挾?。在X軸和Y軸上，每個(gè)作業(yè)單元i的中心坐標(biāo)應(yīng)小于或等于車間的長(zhǎng)度L或?qū)挾萕減去該作業(yè)單元的長(zhǎng)度或?qū)挾鹊囊话牒妥钚￠g距s。

2 改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法

WOA算法是一種高效的群智能優(yōu)化算法，在非線性函數(shù)尋優(yōu)任務(wù)中表現(xiàn)出色。該算法擁有諸多優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)也存在不足[9]。為有效優(yōu)化上述問(wèn)題，本文引入非線性遞減收斂因子和隨機(jī)差分變異策略對(duì)WOA進(jìn)行改進(jìn)，具體步驟如下所示。

2.1 種群初始化

為形成符合約束的初始個(gè)體，以基于坐標(biāo)的方式表示車間各作業(yè)單位位置。將作業(yè)單元逐個(gè)放入車間，并在放入過(guò)程中檢查其是否滿足約束條件。如果放置不符合約束條件，進(jìn)行重新放置，直至生成符合滿足約束的個(gè)體為止。

2.2 包圍獵物

包圍獵物是IWOA重要的尋優(yōu)環(huán)節(jié)[10]。采用公式（12）執(zhí)行，鯨魚的新位置x（it+1）由當(dāng)前全局最佳獵物位置x*it減去距離向量D和控制因子A的乘積計(jì)算得出。

x（it+1）=x*it-AD " " （12）

距離向量D的計(jì)算過(guò)程如公式（13）所示，由鯨魚的當(dāng)前位置x（it）和當(dāng)前全局最佳獵物位置xit*的差經(jīng)過(guò)一個(gè)比例系數(shù)C縮放求得。C是根據(jù)公式（14）得到的常數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)數(shù)r2的2倍，r2在（0，1）隨機(jī)產(chǎn)生。

D=|Cxit*-x（it）| " （13）

式中：it表示當(dāng)前迭代次數(shù)，xit*表示當(dāng)前全局最佳獵物位置；x（it）表示鯨魚的當(dāng)前位置；D表示鯨魚與獵物間的距離向量。

C=2·r2 （14）

式中：r2為（0，1）隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)。

控制因子A的計(jì)算過(guò)程如公式（15）所示，由線性遞減的控制參數(shù)a和一個(gè)隨機(jī)數(shù)r1的乘積減去a求得?？刂茀?shù)a的值由公式（16）計(jì)算得出。

A=2a·r1-a " （15）

式中：r1為（0，1）隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)；a為從2線性遞減至0的控制參數(shù)。

（16）

式中：it表示當(dāng)前迭代次數(shù)；maxit為算法最大迭代次數(shù)。

在WOA中，a按照固定速率下降，這會(huì)降低算法尋優(yōu)精度[11]。因此，IWOA引入非線性遞減收斂因子控制a的動(dòng)態(tài)調(diào)整，其計(jì)算方式如公式（17）所示。公式（17）是一個(gè)分段函數(shù)，它的值取決于隨機(jī)數(shù)rand是否小于或等于控制系數(shù)Pc。公式（17）的結(jié)果會(huì)隨迭代次數(shù)增加而遞減，但遞減速度會(huì)隨迭代次數(shù)的增加而減慢，最終使控制參數(shù)a的下降速率可以動(dòng)態(tài)調(diào)整。

（17）

式中：it表示當(dāng)前迭代數(shù)；maxit表示最大迭代次數(shù)；Pc為控制系數(shù)，Pc∈[0，1]；rand為[0，1]的隨機(jī)數(shù)。

通過(guò)上述動(dòng)態(tài)調(diào)整，可以有效提升IWOA的收斂速度和全局搜索能力。

2.3 泡泡網(wǎng)攻擊

包圍獵物完成后，IWOA進(jìn)入泡泡網(wǎng)攻擊階段。該階段通過(guò)搖擺包圍和螺旋吐泡2種獨(dú)特的機(jī)制進(jìn)行[12]。1）搖擺包圍。該機(jī)制與包圍獵物具有很高的相似性，區(qū)別在于A的取值被調(diào)整為（-1，1）。2）螺旋吐泡。在該階段，鯨魚先測(cè)量自身與獵物（截至目前的最佳位置）間的距離。然后采用螺旋狀的方式向上游移動(dòng)，并釋放各種大小的氣泡以捕獲魚蝦。該行為的數(shù)學(xué)模型如公式（18）所示。

x（it+1）=Dp·ebl·cos（2πl(wèi)）+x*it （18）

式中：Dp=|x*it-xit|，通過(guò)計(jì)算自身與當(dāng)前最佳獵物的距離獲得；ebl和cos（2πl(wèi)）共同構(gòu)成了一個(gè)螺旋形的路徑，其中b是一個(gè)表示螺旋形常數(shù)的參數(shù)，被設(shè)置為2，l是在（-1，1）隨機(jī)生成的數(shù)，用于控制螺旋的方向和緊密度；x*it表示當(dāng)前全局最佳獵物位置；it表示當(dāng)前迭代次數(shù)。

上述兩種攻擊方式在IWOA中被選擇的概率是相等的，即50%。

2.4 隨機(jī)搜尋獵物

此外，IWOA會(huì)根據(jù)A值進(jìn)行獵物的隨機(jī)搜索。當(dāng)|A|≥1時(shí)，新位置x（it+1）由隨機(jī)選擇的鯨魚的位置xrand減去距離向量D和控制因子A的乘積求得，如公式（19）所示[10]。

x（it+1）=xrand-AD " （19）

式中：xrand為當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇的鯨魚；A通過(guò)公式（15）計(jì)算得出；D通過(guò)公式（20）計(jì)算得出；it表示當(dāng)前迭代次數(shù)；x（it+1）表示更新后的鯨魚位置。

距離向量D的計(jì)算過(guò)程如公式（20）所示。

D=|Cxrand-x（it）| " （20）

式中：xrand為當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇的鯨魚；C通過(guò)公式（14）求得；it表示當(dāng)前迭代次數(shù)；x（it）表示鯨魚的當(dāng)前位置。

2.5 隨機(jī)差分變異策略

為了進(jìn)一步提升尋優(yōu)精度，IWOA引入隨機(jī)差分變異策略對(duì)種群進(jìn)行再次搜索，如公式（21）所示。新的鯨魚位置x（it+1）是鯨魚向全局最佳獵物位置和隨機(jī)選擇的鯨魚位置移動(dòng)的綜合結(jié)果：r1×（x*it-x（it+1））描述了鯨魚向全局最佳獵物位置的移動(dòng)，r2×（xrand-x（it））描述了鯨魚向隨機(jī)選擇的鯨魚位置的移動(dòng)。

x（it+1）=r1×（x*it-x（it+1））+r2×（xrand-x（it）） （21）

式中：r1和r2為（0，1）的隨機(jī)數(shù)；xrand為當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇的鯨魚；it表示當(dāng)前迭代次數(shù)；x（it）表示鯨魚的當(dāng)前位置；x（it+1）表示更新后的鯨魚位置；xit表示當(dāng)前全局最佳獵物位置。

需要指出的是，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的方案可能不符合約束，本文采用罰函數(shù)對(duì)其進(jìn)行處理。

3 實(shí)例分析

以A公司車間布局為例說(shuō)明算法和模型的有效性。該車間長(zhǎng)度為180m，寬度為80m，共14個(gè)作業(yè)單元，各作業(yè)單元尺寸見表1。

關(guān)聯(lián)因子bij設(shè)定見表2。表2可以具體量化非物流關(guān)系等級(jí)與距離間的數(shù)值關(guān)系。

各作業(yè)單元非物流關(guān)系緊密程度Tij如公式（22）所示，行和列代表作業(yè)單元，數(shù)字量化了各作業(yè)單元間的非物流關(guān)系緊密程度。

（22）

各作業(yè)單元搬運(yùn)成本cij如公式（23）所示，行和列同樣代表作業(yè)單元，數(shù)字量化了各作業(yè)單元間的搬運(yùn)成本。

（23）

經(jīng)文獻(xiàn)分析和預(yù)試驗(yàn)，設(shè)定s=2，Z1=，Z2=，maxit=500，Npop=200，pc=0.4。程序運(yùn)行一次，各作業(yè)單元坐標(biāo)分布情況見表3。在當(dāng)前布局下，所求最優(yōu)結(jié)果為f1=53875.40，f2==21.80，F(xiàn)=0.0077。

4 IWOA性能分析

為了驗(yàn)證IWOA有效性，選取GA、WOA和ABC對(duì)上述案例進(jìn)行求解。4種算法的優(yōu)化曲線如圖1所示。圖1中，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字為從上向下代表該算法收斂情況的曲線的順序。為確保公平，所有算法設(shè)定相同的迭代次數(shù)和種群規(guī)模，其他參數(shù)通過(guò)預(yù)試驗(yàn)和文獻(xiàn)分析設(shè)定。可以看到IWOA和求解精度明顯優(yōu)于其他3種算法，盡管GA的收斂速度比IWOA稍高，但其精度遠(yuǎn)低于IWOA。

5 結(jié)論

本文針對(duì)車間布局優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)建了相應(yīng)的優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)IWOA進(jìn)行模型求解。實(shí)際案例表明，IWOA在車間布局優(yōu)化方面效果顯著，能夠有效提升車間布局的效率和性能。與其他算法相比，IWOA展現(xiàn)出了其優(yōu)越性，為解決車間布局優(yōu)化問(wèn)題提供了一種有效途徑。

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