基于奇異攝動(dòng)的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂魯棒控制

摘 要：針對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂在擾動(dòng)過大情況下難以實(shí)現(xiàn)高精確度軌跡跟蹤的問題，提出一種基于奇異攝動(dòng)的魯棒控制方案。該方法不需要對(duì)連桿角加速度及其高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，因此該方法不受高階導(dǎo)數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確的影響。首先，用奇異攝動(dòng)法對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行解耦，得到快慢兩個(gè)異時(shí)間尺度的二階子系統(tǒng)。然后，對(duì)慢子系統(tǒng)設(shè)計(jì)二次補(bǔ)償控制律，用擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)后，進(jìn)行首次補(bǔ)償；設(shè)計(jì)基于Hamilton-Jacobi-Issacs不等式理論的魯棒控制器進(jìn)行二次補(bǔ)償，并證明當(dāng)擾動(dòng)有界時(shí)，系統(tǒng)跟蹤誤差將很快收斂于零。最后，對(duì)快子系統(tǒng)添加阻尼項(xiàng)，并通過Lyapunov穩(wěn)定性定理與Lasalle不變性定理證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。將所提控制方案與反饋線性化方案及奇異攝動(dòng)PD 控制方案相對(duì)比， 結(jié)果表明，所提控制方案設(shè)計(jì)的系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力及更好的動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能。

關(guān)鍵詞：柔性關(guān)節(jié)；奇異攝動(dòng)；機(jī)械臂；軌跡跟蹤；Hamilton-Jacobi-Issacs不等式；魯棒控制

DOI：10.15938/j.emc.2024.10.018

中圖分類號(hào)：TH165

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-449X（2024）10-0193-08

收稿日期： 2023-01-17

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（12162007）

作者簡(jiǎn)介：孟范偉（1981—），男，博士，副研究員，研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)的魯棒設(shè)計(jì)、非線性控制；

曠 建（1999—），男，碩士， 研究方向?yàn)榉蔷€性控制、系統(tǒng)建模與仿真；

陳昊男（1999—），男，碩士， 研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)的魯棒設(shè)計(jì)、系統(tǒng)建模與仿真；

付中樂（1995—），男，碩士，研究方向?yàn)榉蔷€性控制。

通信作者：曠 建

Robust control of flexible joint manipulator based on singular perturbation

MENG Fanwei， KUANG Jian， CHEN Haonan， FU Zhongle

（School of Control Engineering， Northeastern University at Qinhuangdao， Qinhuangdao 066004， China）

Abstract：Aiming at the problem that in the flexible joint manipulator it is difficult to achieve high-precision trajectory tracking under the condition of large disturbance， a robust control scheme based on singular perturbation was proposed. This method does not need to calculate the angular acceleration of the connecting rod and its higher-order derivative， so it is not affected by the inaccurate estimation of the higher-order derivative. First， the singular perturbation method was used to decouple the original system， and two second-order subsystems with different time scales were obtained. Then， a multiple compensation control law was designed for the slow subsystem. After the disturbance was observed by the disturbance observer， the first compensation was performed; A robust controller based on Hamilton-Jacobi-Issacs inequality theory was designed for secondary compensation. And it is proved that when the disturbance is bounded， the system tracking error will quickly converge to zero. Finally， the damping term was added to the fast subsystem， and the stability of the system was proved by Lyapunov stability theorem and Lasalle invariance theorem. Comparing the proposed control scheme with the feedback linearization scheme and the singular perturbation PD control scheme， the results show that the system designed by the proposed control scheme has strong anti-interference ability and better dynamic and steady-state performance.

Keywords：flexible joint; singular perturbation; mechanical arm; track tracking; Hamilton-Jacobi-Issacs inequality; robust control

0 引 言

在過去的幾十年中， 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂被應(yīng)用到各種場(chǎng)景，其軌跡跟蹤控制問題也因此受到了廣泛的研究^［1］。早期的研究中往往假設(shè)機(jī)械臂是完全剛性的，針對(duì)這一假設(shè)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種控制方法，例如直接轉(zhuǎn)矩控制^［2-3］、魯棒控制^［4］、自適應(yīng)控制^［5］等。然而，由于關(guān)節(jié)中存在柔性齒輪、傳動(dòng)帶、軸承等能量傳遞元件，傳統(tǒng)的控制方法對(duì)于一些剛性輕型機(jī)械臂難以獲得滿意的效果^［6-7］。文獻(xiàn)［8］的研究強(qiáng)調(diào)了在控制器設(shè)計(jì)中考慮關(guān)節(jié)柔性的重要性。文獻(xiàn)［9］將柔性元件等效為線性扭轉(zhuǎn)彈簧，提出了柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型。此后，對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂控制問題的研究大部分都是基于此模型的。

與剛性模型相比，柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型微分方程的階數(shù)明顯增加，此外機(jī)械臂工作環(huán)境的外部擾動(dòng)和建模誤差導(dǎo)致控制器設(shè)計(jì)難度顯著增加^［10］。為了提高控制系統(tǒng)的性能，多種方法被應(yīng)用至柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制上，文獻(xiàn)［11］提出一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人PD控制方案，利用擾動(dòng)觀測(cè)器消除了擾動(dòng)的影響并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)方案的有效性。文獻(xiàn)［12］在考慮輸出受限的情況下，設(shè)計(jì)了一種全狀態(tài)反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方案，不僅提升了機(jī)器人的安全性，而且提升了控制系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)［13］對(duì)兩連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂設(shè)計(jì)了一種滑模變結(jié)構(gòu)控制器，系統(tǒng)狀態(tài)可以快速到達(dá)切換面，并具有較高的控制精確度。文獻(xiàn)［14］引入命令濾波器解決了柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂反步控制中對(duì)虛擬控制求導(dǎo)時(shí)項(xiàng)數(shù)爆炸的問題，并證明了閉環(huán)跟蹤誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

跟蹤精確度越高的控制系統(tǒng)運(yùn)行中往往需要越多狀態(tài)變量反饋，才能獲得理想的性能。一般來說， 高階導(dǎo)數(shù)值只能通過連桿角位移測(cè)量值多次求導(dǎo)或基于數(shù)學(xué)模型來計(jì)算^［15］。然而，在極端工作環(huán)境下，受傳感器性能的影響，所獲得的反饋量未必準(zhǔn)確^［16］，對(duì)測(cè)量值多次求導(dǎo)則會(huì)帶來更大的誤差。避免求取連桿角位移高階導(dǎo)數(shù)值帶來的巨大誤差， 奇異攝動(dòng)法提供了一種理想的解決方案，可以將原系統(tǒng)進(jìn)行解耦， 得到快慢兩個(gè)二階子系統(tǒng)進(jìn)而分別設(shè)計(jì)控制器^［17-19］。文獻(xiàn)［20］首先設(shè)計(jì)前饋控制律消除了非線性，然后利用奇異攝動(dòng)法對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型進(jìn)行解耦處理，對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了PD控制器，利用勞斯判據(jù)證明了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性并給出選擇增益的方法。文獻(xiàn)［21］對(duì)解耦后的邊界層系統(tǒng)設(shè)計(jì)了增廣自適應(yīng)控制律，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)可以有效抑制關(guān)節(jié)振動(dòng)。然而在深空、深海、深地、極地等極端環(huán)境下，柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂受高真空、強(qiáng)輻射、高低溫等各種外場(chǎng)及其耦合作用干擾^［22］，這些控制方法顯然難以達(dá)到理想的效果。為了克服傳統(tǒng)控制方案的不足，設(shè)計(jì)了奇異攝動(dòng)魯棒控制的方案。

相比以往的成果，主要?jiǎng)?chuàng)新之處在于：1）設(shè)計(jì)多次補(bǔ)償控制律，設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)對(duì)未知干擾的有效觀測(cè)，對(duì)未知干擾進(jìn)行首次補(bǔ)償；2）將全局終端滑模作為Hamilton-Jacobi-Issacs不等式理論的魯棒控制律的評(píng)價(jià)函數(shù)，設(shè)計(jì)基于Hamilton-Jacobi-Issacs不等式理論的魯棒控制器，對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行二次補(bǔ)償，并證明當(dāng)擾動(dòng)有界時(shí)，擾動(dòng)可以很快被補(bǔ)償。

1 動(dòng)力學(xué)模型

將一個(gè)具有柔性關(guān)節(jié)的連桿機(jī)械臂作為被控對(duì)象，根據(jù)文獻(xiàn)［9］所做的研究，同時(shí)考慮機(jī)械臂工作環(huán)境中存在的擾動(dòng)，可以得到被控對(duì)象的動(dòng)力學(xué)模型為：

M（q）q··+C（q，q·）q·+g（q）=K（θ－q）+d₁；（1）

Jθ··+K（θ－q）=u+d₂。（2）

式中：d₁∈Rⁿ和d₂∈Rⁿ分別為連桿側(cè)和電機(jī)側(cè)未知外界的集總擾動(dòng)；q、q·、q··∈Rⁿ分別為連桿角位移、速度和加速度向量；θ、θ·、θ··∈Rⁿ分別為經(jīng)減速器作用后電機(jī)的轉(zhuǎn)子角位移、角速度和角加速度向量；M（q）∈R^n×n為慣性矩陣；C（q，q·）q·∈Rⁿ為機(jī)械臂的科氏力和離心力向量；g（q）∈Rⁿ為重力向量；對(duì)角正定矩陣K∈R^n×n表示關(guān)節(jié)剛度；對(duì)角矩陣J∈R^n×n為電機(jī)慣量矩陣；u為控制器輸出向量。

性質(zhì)1 慣性矩陣M（q）為對(duì)稱正定矩陣，即滿足

性質(zhì)2 矩陣M·（q）－2C（q，q·）為反對(duì)稱矩陣，即對(duì)于任意向量ξ 滿足

ξ^T［M·（q）－2C（q，q·）］ξ=0。（4）

柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制問題即初始狀態(tài)下設(shè)計(jì)控制律u使q（t）－q_d（t）的值快速收斂至0，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間的軌跡跟蹤，其中q_d（t）為連桿角位移q（t）的給定參考角度。

2 二時(shí)間尺度分解

首先利用奇異攝動(dòng)法進(jìn)行模型解耦，由于機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型中關(guān)節(jié)剛度矩陣K的元素遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于模型中其他矩陣的元素，令K-=ε²K，其中ε為奇異攝動(dòng)參數(shù)且滿足0lt;εlt;1，定義μ=K（θ－q），則式（1）～式（2）可以寫成奇異攝動(dòng)形式為：

M（q）q··+C（q，q·）q·+g（q）=μ+d₁；（5）

ε²Jμ··+K-μ=K-（u+d₂－Jq··）。（6）

式中：q為慢變量；μ為快變量。令ε=0，此時(shí)原系統(tǒng)被降階成為慢子系統(tǒng)，原系統(tǒng)中的控制輸入u變化成為慢子系統(tǒng)控制輸入u_s。 μ的近似值即快變量的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)為

μ-=u_s+d₂－Jq··。（7）

將式（7）代入式（5）中可得到解耦后的慢子系統(tǒng)為

［M（q）+J］q··+C（q，q·）q·+g（q）=u_s+d₁+d₂。（8）

定義向量y為μ的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)μ-的偏差，即y=μ－μ-，將其代入式（6）可得關(guān)于y的方程為

ε²J（y··+μ-··）=－K-y+K-u_f。（9）

其中u_f=u－u_s，引入新的時(shí)間尺度變量τ并令dτ/dt=1/ε，則式（9）在快時(shí)間尺度下可以寫為

Jd²ydτ²+Jd²μ-dτ²=－K-y+K-u_f。（10）

在τ時(shí)間尺度下，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)μ-變化緩慢可視為常數(shù)，可令d²μ-/dτ²=0，則式（10）可重新寫為

d²ydτ²+J^－1K-y=J^－1K-u_f。（11）

至此得到兩個(gè)二階子系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程分別為式（8）和式（11），原系統(tǒng)的控制律為兩個(gè)子系統(tǒng)控制律之和，即μ=μ_s+μ_f，通過對(duì)μ_s和μ_f分別設(shè)計(jì)，使原系統(tǒng)的復(fù)合控制律僅需連桿角位移和速度反饋成為可能。

3 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

3.1 慢子系統(tǒng)設(shè)計(jì)

利用奇異攝動(dòng)法已得到慢子系統(tǒng)式（8），該子系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)目標(biāo)為使q與參考角度q_d的偏差e=q－q_d快速收斂至0。令系統(tǒng)的總擾動(dòng)d=d₁+d₂，D（q）=M（q）+J，慢子系統(tǒng)可重新寫為

D（q）q··+C（q，q·）q·+g（q）=u_s+d。（12）

擾動(dòng)的存在將影響軌跡跟蹤性能，為了提高控制系統(tǒng)抗擾動(dòng)能力，首先設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器得到復(fù)合擾動(dòng)的估計(jì)值并將其應(yīng)用于控制律中補(bǔ)償原擾動(dòng)，觀測(cè)器設(shè)計(jì)為：

式中：ω為輔助變量；d^為擾動(dòng)d的估計(jì)值；N為待設(shè)計(jì)的常數(shù)可逆正定矩陣。

定理1 假設(shè)擾動(dòng)的變化速率與式（13）中其他變量相比可忽略不計(jì)，令d·=0，擾動(dòng)估計(jì)值d^可收斂至d的充分條件為N滿足矩陣不等式

N+N^T－N^TD·（q）N≥0。（14）

注：對(duì)于任意矩陣A，A≥0指矩陣A為半正定矩陣。

證明：由式（13）對(duì)擾動(dòng)估計(jì)值d^求導(dǎo)得

令擾動(dòng)觀測(cè)偏差d～=d^－d，由于假設(shè)d·=0，所以有d^·=d～·，代入式（15）可得

d～·=－N^－1D^－1（q）d～。（16）

定義Lyapunov函數(shù)為

V_d=d～^TN^TD（q）Nd～=（Nd～）^TD（q）（Nd～）。（17）

由于D（q）=M（q）+J且M（q）和J均為對(duì)稱正定矩陣，所以D（q）也為正定矩陣，有V_d≥0。

對(duì)V_d求導(dǎo)得

由式（18）可得，當(dāng)N+N^T－N^TD·（q）N≥0時(shí)，有V·_d≤0，進(jìn)而得到擾動(dòng)觀測(cè)值d^可收斂至機(jī)械臂慢子系統(tǒng)的實(shí)際擾動(dòng)d，證畢。

對(duì)慢子系統(tǒng)設(shè)計(jì)復(fù)合控制律u_s=u_s1+u_s2，利用擾動(dòng)觀測(cè)值d^和機(jī)械臂參考角度軌跡q_d以及實(shí)際的連桿角位移q設(shè)計(jì)u_s1為

u_s1=D（q）q··_d+C（q，q·）q·_d－d^。（19）

式中d～可視為補(bǔ)償后新的擾動(dòng)信號(hào)。將其代入式（12）可得到以軌跡跟蹤偏差為狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程為

D（q）e··+C（q，q·）e·+g（q）+d～=u_s2。（20）

對(duì)于向量a=［a₁ a₂ … a_n］^T∈Rⁿ和常數(shù)b，定義a^b=［a^b₁ a^b₂ … a^b_n］^T，為了使系統(tǒng)穩(wěn)定且具有較強(qiáng)的魯棒性，定義系統(tǒng)式（19）的評(píng)價(jià)信號(hào)為

η=e·+αe+βe^m/n。（21）

式中：矩陣α=diag［α₁，α₂，…，α_i，…，α_n］，α_igt;0；矩陣β=diag［β₁，β₂，…，β_i，…，β_n］，β_igt;0；m和n均為正奇數(shù)，且ngt;m。則當(dāng)設(shè)計(jì)控制律使‖η‖收斂至0時(shí)，偏差‖e‖也在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂至0。

在d～存在的情況下，‖η‖的值越小意味著系統(tǒng)的抗擾動(dòng)能力越強(qiáng)，定義魯棒性能指標(biāo)信號(hào)為

σ=sup‖d～‖≠0‖η‖₂‖d～‖₂。（22）

式中‖η‖₂=（∫^∞₀η^Tηdt）^0.5。

引理1 （Hamilton-Jacobi-Issacs不等式理論^［23］）對(duì)于任意小的正數(shù)χ，式（22）中的魯棒性能指標(biāo)σ≤χ的充分條件為存在光滑函數(shù)V≥0滿足

V·≤12χ²‖d～‖²－12‖η‖²。（23）

慢子系統(tǒng)復(fù)合控制律中的u_s2設(shè)計(jì)為

u_s2=－Dαe·－Cαe+g（q）－（12χ²+12）η－

mnDβdiag（e^m/n－1_i）e·－Cβe^m/n。（24）

定理2 當(dāng)系統(tǒng)式（20）中的控制律u_s2為式（24）時(shí)，該系統(tǒng)定義為式（22）的魯棒性能指標(biāo)σ可以小于等于任意正數(shù)λ。

證明：對(duì)評(píng)價(jià)信號(hào)式（21）求導(dǎo)得

η·=e··+αe·+mnβdiag（e^m/n－1_i）e·。（25）

同時(shí)代入式（20）可得

將式（24）的控制律代入可得

Dη·=－Cη－d～－（12χ²+12）η。（27）

定義函數(shù)V為

V=12η^TDη。（28）

對(duì)其求導(dǎo)得

V·=12η·^TDη+12η^TD·η+12η^TDη·=η^TDη·+

12η^TD·η=η^T（－12χ²η－12η－d～）+

12η^T（D·－2C）η。（29）

由于D=M+J，且矩陣J為常數(shù)矩陣，所以有D·=M·，根據(jù)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的性質(zhì)2可得η^T（D·－2C）η=0，則式（29）可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

V·=－12χ²η^Tη－12η^Tη－η^Td～。（30）

令I(lǐng)=0.5χ²‖d～‖²－0.5‖η‖²，則可以得到

V·－I=－12χ²η^Tη－12η^Tη－η^Td～－12χ²‖d～‖²+

12‖η‖²=－12（1χ²η^Tη+2η^Td～+

χ²‖d～‖²）=－121χη+χd～²。（31）

由上式可得V·－I≤0，即V·≤0.5χ²‖d～‖²－0.5‖η‖²。

根據(jù)引理1可知定理2得證。

3.2 快子系統(tǒng)設(shè)計(jì)

前文已利用奇異攝動(dòng)法解耦得到快子系統(tǒng)方程為

d²ydτ²+J^－1K-y=J^－1K-u_f。（32）

該系統(tǒng)為二階非線性無阻尼系統(tǒng)，在控制律u_f 中加入阻尼項(xiàng)，設(shè)計(jì)控制律為

u_f=－εK-^－1K₁μ·=－K-^－1K₁dμdτ。（33）

式中K₁為對(duì)角正定系數(shù)矩陣。

在快子系統(tǒng)τ時(shí)間尺度下，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)μ-相對(duì)其他變量變化緩慢可視為常量且y=μ－μ-，控制律式（33）可重新寫為

u_f=－K-^－1K₁dydτ。（34）

將控制律代入式（32）可得

d²ydτ²+J^－1K₁dydτ+J^－1K-y=0。（35）

定義Lyapunov函數(shù)為

V_f=12y^′Ty^′+12y^TJ^－1K-y。（36）

式中y^′=dy/dτ，另外在快時(shí)間尺度下，慢變量q變化緩慢可視為常量，所以可令（M^－1）^′=0，對(duì)Lyapunov函數(shù)在時(shí)間尺度求導(dǎo)得

dV_fdτ=12y^″Ty^′+12y^′Ty^″+12y^′TJ^－1K-y+

12y^TJ^－1K-y^′+12y^T（J^－1K-）^′y=y^′Ty^″+

y^′TJ^－1K-y=y^′T（－J^－1K-y－J^－1K₁y^′）+

y^′TJ^－1K-y=－y^′TJ^－1K₁y^′。（37）

由于矩陣J^－1、K₁和M^－1均為正定矩陣，所以有V_fgt;0，dV_f/dτ≤0，當(dāng)V^′_f≡0時(shí)，y^′=0，根據(jù)Lasalle不變性定理^［24］，當(dāng)選擇合適的增益時(shí)邊界層系統(tǒng)是穩(wěn)定的，證畢。

連立式（19）、式（24）、式（34）可得復(fù)合控制器為

u=u_s+u_f=D（q）q··_d+C（q，q·）q·_d－d^－

Dαe·－Cαe+g（q）－（12χ²+12）η－

mnDβdiag（e^m/n－1_i）e·－Cβe^m/n－K-^－1K₁εμ·。（38）

4 仿真分析

以圖2所示的雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂作為被控對(duì)象進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真分析。

動(dòng)力學(xué)模型式（1）～式（2）中的參數(shù)矩陣分別為：

M（q）=n₁+n₂+2n₃cosq₂n₂+n₃cosq₂n₂+n₃cosq₂n₂；

C（q，q·）=－n₃q·₂sinq₂－n₃（q·₁+q·₂）sinq₂n₃q·₁sinq₂0；

G（q）=n₄gcosq₁+n₅gcos（q₁+q₂）n₅gcos（q₁+q₂）。

式中：q=［q₁q₂］^T；n₁=（m₁+m₂）l²₁；n₂=m₂l²₂；n₃=m₂l₁l₂；n₄=（m₁+m₂）l₁；n₅=m₂l₂。機(jī)械臂固有參數(shù)的設(shè)置如表1所示，關(guān)節(jié)剛度矩陣和電機(jī)慣量矩陣分別為：

K=10 0000010 000；J=1.3001.3。

表1中連桿2的質(zhì)量包括抓取物品的質(zhì)量及連桿2的本身質(zhì)量。首先設(shè)置所設(shè)計(jì)的控制器輸出u=u_s+u_f中的參數(shù)，令奇異攝動(dòng)參數(shù)ε=0.1，通過試錯(cuò)法，得到準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的控制律u_s中α=diag（3，3），β=diag（0.3，0.1），m=3，n=5，χ=0.035。在快子系統(tǒng)即邊界層系統(tǒng)中所設(shè)計(jì)的控制律u_f中，K₁=diag（100，570），系統(tǒng)的輸出即連桿的初始位置設(shè)定為q=［0 0］^T。

為了驗(yàn)證所提控制方案在柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制中具有更好的效果，將奇異攝動(dòng)PD控制器與反饋線性化控制方案參數(shù)調(diào)到最佳與所提出方案作對(duì)比。在忽略外界擾動(dòng)的情況下，令連桿1和連桿2的參考軌跡都為階躍信號(hào)，兩連桿的軌跡跟蹤曲線如圖3所示。

為了更加直觀地比較兩種控制方案對(duì)雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤性能，分別計(jì)算出3種控制方案的上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間，經(jīng)計(jì)算后的實(shí)際值如表2所示。

由表2可知，相比傳統(tǒng)的奇異攝動(dòng)PD控制方案與反饋線性化控制方案，所設(shè)計(jì)的奇異攝動(dòng)魯棒控制方案上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都明顯更小，具有更良好的瞬態(tài)性能，輸出角位移可以更快的跟蹤上參考軌跡。

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制方案在控制系統(tǒng)中存在未知外界擾動(dòng)的情況下，能夠克服擾動(dòng)的影響并實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的軌跡跟蹤，加入擾動(dòng)信號(hào)d₁=［3+5q·₁+10q₁，3+5q·₂+10q₂］，d₂=［4+5q·₁+10q₁，4+5q·₂+10q₂］，連桿1的參考軌跡為q_1d=2sin（t）+4cos（2t），連桿2的參考軌跡為q_2d=sin（2t）+2cos（0.5t），輸出即連桿的初始位置設(shè)定為q=［0 0］^T。同時(shí)與奇異攝動(dòng)PD控制方案及反饋線性化控制方案對(duì)比，雙連桿的軌跡跟蹤效果如圖4所示。

如圖4所示，與奇異攝動(dòng)PD控制方案及反饋線性化控制方案相比，當(dāng)加入擾動(dòng)時(shí)，3種控制方案的跟蹤性能展現(xiàn)出差距，所設(shè)計(jì)的奇異攝動(dòng)魯棒控制方案的軌跡跟蹤性能明顯優(yōu)于其余兩種控制方案，暫態(tài)性能也就是連桿角位移由0上升到參考軌跡的速度也明顯快于奇異攝動(dòng)PD控制方案與反饋線性化控制方案。

兩種控制方案的軌跡跟蹤誤差如圖5所示。

為了更直觀比較這3種具有抗擾動(dòng)能力控制律的性能，計(jì)算出采用每一種控制律的系統(tǒng)在連桿1和連桿2的平均調(diào)整時(shí)間（輸出角位移上升并保持與參考軌跡角位移偏差小于0.15 rad的時(shí)間）和平均跟蹤誤差E，E的定義為

E=1N∑Ni=1（‖e（i）‖²）。（39）

式中N為采樣次數(shù)，取為100 000，兩種控制方案的性能指標(biāo)對(duì)比如表3所示。

與奇異攝動(dòng)PD控制方案及反饋線性化控制方案相比，所設(shè)計(jì)的魯棒控制方案由于設(shè)計(jì)了合適形式的評(píng)價(jià)信號(hào)，設(shè)計(jì)控制律時(shí)也依照較高的性能指標(biāo)，保證了所設(shè)計(jì)控制律具有更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差，具有較高的軌跡跟蹤精確度。

5 結(jié) 論

針對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂受大干擾影響難以高精確度進(jìn)行軌跡跟蹤的問題，提出一種奇異攝動(dòng)魯棒控制方案，利用奇異攝動(dòng)法將柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂控制系統(tǒng)解耦為兩個(gè)二階系統(tǒng)， 降低了設(shè)計(jì)難度， 減少了計(jì)算量。對(duì)慢子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了二次補(bǔ)償控制律，設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器觀測(cè)干擾，對(duì)干擾進(jìn)行首次補(bǔ)償；設(shè)計(jì)了基于Hamilton-Jacobi-Issacs不等式的魯棒控制律進(jìn)行二次補(bǔ)償，并證明了當(dāng)擾動(dòng)有界時(shí)，擾動(dòng)可以很快被補(bǔ)償，邊界層子系統(tǒng)加入阻尼控制量使其穩(wěn)定， 并通過Lyapunov穩(wěn)定性定理與Lasalle不變性定理證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真分析結(jié)果表明，控制系統(tǒng)可以使雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂有效跟蹤參考軌跡， 具有良好的跟蹤性能和抗干擾能力， 可以很好地適用于一些干擾巨大的工作環(huán)境。

參 考 文 獻(xiàn)：

［1］OZGOLI S， TAGHIRAD H D. A survey on the control of flexible joint robots［J］. Asian Journal of Control， 2006， 8（4）： 332.

［2］GARCIA E， JIMENEZ M A， DE SANTOS P G， et al. The evolution of robotics research［J］. IEEE Robotics amp; Automation Magazine， 2007， 14（1）： 90.

［3］KAGAYA K， PATEK S N. Feed-forward motor control of ultrafast， ballistic movements［J］. Journal of Experimental Biology， 2016， 219（3）： 319.

［4］秦化淑，李樹榮，程代展.剛性機(jī)械臂跟蹤控制的魯棒控制器設(shè)計(jì)［J］.控制與決策， 1991， 1（1）： 14.

QIN Huashu， LI Shurong， CHENG Daizhan. Design of robust controller for tracking control of rigid manipulator ［J］. Control and Decision， 1991， 1（1）： 14.

［5］AMBROSINO G， CELENTANO G， GAROFALO F. Robust model tracking control for a class of nonlinear plants［J］. IEEE Transactions on Automatic Control， 1985， 30（3）： 275.

｛6｝ SAYAHKARAJY M， MOHAMED Z， MOHD FAUDZI A A. Review of modelling and control of flexible-link manipulators［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part I： Journal of Systems and Control Engineering， 2016， 230（8）： 861.

［7］孟范偉，何朕，王廣雄，等.撓性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)和H∞回路成形法［J］. 控制理論與用， 2013， 30（8）： 1014.

MENG Fanwei， HE Zhen， WANG Guangxiong， et al. Control design of flexible systems and H∞ loop shaping method［J］. Control theory amp; Application， 2013， 30（8）： 1014.

［8］SWEET L， GOOD M. Redefinition of the robot motion-control problem［J］. IEEE Control Systems Magazine， 1985， 5（3）： 18.

［9］SPONG M W. Modeling and control of elastic joint robots［J］.Mathematical and Computer Modelling，1989，12（7）：912.

［10］KIM J. Two-time scale control of flexible joint robots with an improved slow model［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronscs， 2017， 65（4）： 3317.

［11］KIM M J， CHUNG W K. Disturbance-observer-based PD control of flexible joint robots for asymptotic convergence［J］. IEEE Transactions on Robotics， 2015， 31（6）： 1508.

［12］HE W， YAN Z， SUN Y， et al. Neural-leaming-based control for a constrained robotic manipulator with flexible joints［J］. IEEE Transactions on Neural Ner-works amp; Leaning Systems， 2018， 29（12）：5993.

［13］汪允鶴， 李宏勝， 張偉. 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的滑模變結(jié)構(gòu)控制［J］. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)， 2017（10）： 91.

WANG Yunhe， LI Hongsheng， ZHANG Wei. Sliding mode variable structure control of flexible jointmanipulator ［J］. Modular Machine Tools and Automatic Processing Technology， 2017（10）： 91.

［14］李鵬飛， 張銀河， 張蕾， 等. 考慮誤差補(bǔ)償?shù)娜嵝躁P(guān)節(jié)機(jī)械臂命令濾波反步控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2020，37（8）：24.

LI Pengfei， ZHANG Yinhe， ZHANG Lei， et al. Command filtering backstepping control of flexible joint manipulator considering error compensation［J］. Control Theory amp; Application， 2020， 37（8）： 24.

［15］TADOLE S E， KOLHE J P， PHADKE S B. Extended-stale-observer-based control of flexible-joint system with experimental validaition［J］. IEEE Transactions on Inductrial Electronics， 2009， 57（4）： 1411.

［16］劉福才， 閆莉莉， 秦利， 等. 變負(fù)載空間機(jī)械臂混沌運(yùn)動(dòng)分析與控制［J］. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào)， 2019， 23（10）：120.

LIU Fucai， YAN Lili， QIN Li， et al. Chaotic motion analysis and control of space manipulators with variable loads［J］. Electric Machines and Control， 2019， 23（10）： 120.

［17］劉華山， 朱世強(qiáng)， 王宣銀. 扭矩輸入有界的機(jī)器人模糊PD軌跡跟蹤［J］. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào)， 2010， 14（1）： 78.

LIU Huashan， ZHU Shiqiang， WANG Xuanyin. Rajectory racking control for robot manipulators with bnounded torque inputs via fuzzy PD［J］.Electric Machines and Control，2010，14（1）：78.

［18］KHAH H K. GRIZZLE J W. Nonlinear systems upper saddle river［M］. Premtice Hall， 2002.

［19］劉福才，劉林， 徐智霸. 柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂奇異攝動(dòng)模糊PID控制仿真研究［J］. 高技術(shù)通訊， 2019， 29（7）： 661.

LIU Fucai， LIU Lin， XU Zhiba. Simulation study on singular perturbation fuzzy PID control of flexible joint space manipulator［J］. High Technology Communication， 2019， 29（7）： 661.

［20］KIM J， CROFT E A. Full-state tracking control for flexible joint robots with singular perturbation techniques［J］. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2019， 27（1）： 63.

［21］陳志勇， 陳力. 帶有柔性補(bǔ)償?shù)娜嵝躁P(guān)節(jié)空間機(jī)囂人的增廣自適應(yīng)控制及關(guān)節(jié)振動(dòng)抑制［J］. 宇航學(xué)報(bào)， 2013， 34（12）： 1599.

CHEN Zhiyong， CHEN Li. Augmented adaptive control and joint vibration suppression of flexible joint space robot with flexible compensation［J］. Astronautica Sinica， 2013， 34（12）： 1599.

［22］?？煽?， 陳雷雷， 周若男， 等. 極端環(huán)境表面工程及其共性科學(xué)問題研究進(jìn)展［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2022，33（12）：1388.

CHANG Keke， CHEN Leilei， ZHOU Ruonan， et al. Research progress of extreme environment surface engineering and its common scientific problems［J］.China Mechanical Engineering， 2022， 33（12）： 1388.

［23］WANG Y N， SUN W， XIANG Y Q， et al. Neural network-based robust tracking control for robots［J］. Intelligent Automation and Soft Computing， 2009， 15（2）： 211.

［24］ZHAO B， XIAN B. Nonlinear robust adaptive tracking control of a quadrotor UAV via immersionand invariance methodology［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics，2015，62（5）：2891.

（編輯：邱赫男）