基于GGB的指數(shù)函數(shù)可視化設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究

關(guān)鍵詞：GeoGebra；指數(shù)函數(shù)；可視化教學(xué)

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2024）26-0102-03開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID） ：

函數(shù)教學(xué)貫穿著職校數(shù)學(xué)教學(xué)整個(gè)過程，是職校數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和核心。函數(shù)教學(xué)可以讓學(xué)生理解生活處處是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來源于生活。而指數(shù)函數(shù)是職校數(shù)學(xué)教學(xué)過程中出現(xiàn)的第一個(gè)基本初等函數(shù)，也是在研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性之后的繼而學(xué)習(xí)的函數(shù)。指數(shù)函數(shù)知識(shí)較為抽象，對(duì)數(shù)形結(jié)合要求較高，往往讓學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒。指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提升學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”思想的理解與應(yīng)用，這對(duì)于職校學(xué)生是必要的。值得注意的是，職校學(xué)生基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，數(shù)形結(jié)合能力不強(qiáng)，給指數(shù)函數(shù)教學(xué)帶來了極大的挑戰(zhàn)。

顯而易見，數(shù)學(xué)可視化教學(xué)有利于知識(shí)呈現(xiàn)、學(xué)生接受和師生互動(dòng)。楊海麗[1]指出可視化方式主要有文本表格、圖式和視頻等；廖彩云[2]將可視化工具分為外在表征工具和心理表征工具，其中心理表征工具包括背景、故事、模擬實(shí)驗(yàn)等通用工具和數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等專門工具；司業(yè)佳[3]借助GeoGebra構(gòu)造了輔助函數(shù)教學(xué)三個(gè)案例，有助于學(xué)生概念理解。周后卿、徐幼專[4]將Matlab引入復(fù)變函數(shù)教學(xué)，通過大量的代碼，實(shí)現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)可視化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解；李昌志等人[5]運(yùn)用Matlab和幾何畫板構(gòu)建了函數(shù)和幾何兩個(gè)模塊的教學(xué)案例，提升課堂趣味性，引起學(xué)生的興趣，提高課堂效率；努爾色曼·買買提[6]編寫了相對(duì)應(yīng)代碼，展示了Matlab在函數(shù)及其極限中的應(yīng)用；高芹[7]將GeoGebra貫穿在備課設(shè)計(jì)、課上設(shè)計(jì)和測(cè)試反饋三個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)中職課堂教學(xué)優(yōu)化顯著；王榮亮[8]基于GeoGebra的中職數(shù)學(xué)《函數(shù)》全過程可視化設(shè)計(jì)，克服了職校函數(shù)教學(xué)的抽象性；張茜[9]將Matlab應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)原理探究、數(shù)值計(jì)算和數(shù)學(xué)三大模塊，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)效果；袁蘭蘭[10]利用GeoGebra進(jìn)行數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)概念可視化設(shè)計(jì)，更利于學(xué)生理解概念，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移。韋美成[11]指出GeoGebra具有功能齊全、操作方便、動(dòng)態(tài)交互、易安裝、網(wǎng)上直接使用等優(yōu)點(diǎn)，也開展了數(shù)學(xué)教學(xué)探究，顯著提高了學(xué)生的及格率、優(yōu)秀率。王榮亮[12]將GeoGebra應(yīng)用到線性規(guī)劃教學(xué)過程中，通過實(shí)踐表明：GeoGebra的使用可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的動(dòng)力，提升學(xué)生的操作能力。

可見，Matlab輔助數(shù)學(xué)教學(xué)可視化對(duì)編程要求較高，而GeoGebra 具有交互性能，更易于操作。采用GeoGebra輔助教學(xué)，呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)圖像繪制過程、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)圖像特征，可深化學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)相關(guān)概念、性質(zhì)與特征理解更直觀、更深刻，進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”思想。本文通過指數(shù)函數(shù)中的4個(gè)模塊展示了GeoGebra輔助職校指數(shù)函數(shù)教學(xué)過程，凸顯了GeoGebra的動(dòng)態(tài)功能在教學(xué)中的重要作用，為職校數(shù)學(xué)教學(xué)提供一種思路和參考。

1 設(shè)計(jì)原則

在指數(shù)函數(shù)可視化案例設(shè)計(jì)過程中，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的教學(xué)需要和學(xué)生的特點(diǎn)，要充分體現(xiàn)以下4個(gè)原則：

1） 注重應(yīng)用性。數(shù)學(xué)來源于生活，函數(shù)在生活中隨處可見。從細(xì)胞分裂引出指數(shù)函數(shù)的基本概念，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力和素養(yǎng)。

2） 體現(xiàn)直觀性。在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)之前，學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)了解相對(duì)較少，而學(xué)生對(duì)純粹的代數(shù)推導(dǎo)過程和文字呈現(xiàn)往往會(huì)產(chǎn)生排斥心理。故而，將函數(shù)圖像有效地呈現(xiàn)出來讓學(xué)生通過圖像探討函數(shù)的單調(diào)性和圖像特征，可以加深學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)和圖像特征的理解和記憶。

3） 突出主體性。在教學(xué)可視化設(shè)計(jì)過程中要突出學(xué)生主體性的原則。突出學(xué)生主體性，就是在教學(xué)可視化設(shè)計(jì)過程中讓學(xué)生參與教學(xué)，與學(xué)生產(chǎn)生互動(dòng)，將課堂交還學(xué)生，營(yíng)造一個(gè)學(xué)生主動(dòng)參與、獨(dú)立思考的環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的興趣。

4） 強(qiáng)調(diào)可操作性?？刹僮餍栽瓌t是保證設(shè)計(jì)的案例能被教師移植、學(xué)生參與的一個(gè)重要原則。在教學(xué)可視化設(shè)計(jì)過程中，要在保證邏輯性和正確性的基礎(chǔ)上，充分考慮案例可被其他教師所用，易于學(xué)生接受并參與操作。

2 可視化模塊與設(shè)計(jì)思路

指數(shù)可視化模塊主要包括案例構(gòu)建、函數(shù)繪制、性質(zhì)探討和拓展研究等4部分。其中，案例構(gòu)建模塊主要通過模擬單個(gè)細(xì)胞分裂過程，讓學(xué)生對(duì)指數(shù)式增長(zhǎng)有個(gè)直觀的感受。函數(shù)繪制模塊以單細(xì)胞分裂過程中的指數(shù)函數(shù)y=2^x為例，通過取值、描點(diǎn)、連線等步驟繪制出函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)繪制的三個(gè)基本步驟。性質(zhì)探討模塊通過改變參數(shù)，繪制不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察不同底數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域等函數(shù)的基本性質(zhì)。拓展模塊通過繪制底數(shù)互為倒數(shù)的指數(shù)函數(shù)，觀察每對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖像之間關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生歸納出指數(shù)互為倒數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像特征?？梢暬K和設(shè)計(jì)思路如圖1所示。

3 可視化案

例指數(shù)函數(shù)教學(xué)可視化案例主要包括案例構(gòu)建、函數(shù)繪制、性質(zhì)探討和拓展研究等模塊。

3.1 案例構(gòu)建模塊

案例構(gòu)建模塊主要以細(xì)胞分裂為模型。如圖2所示，滑動(dòng)條i 取值范圍為1～6，每次增加步長(zhǎng)為1。通過拖動(dòng)滑動(dòng)條，改變滑動(dòng)條i 的取值；文本表格中x顯示的是分裂的次數(shù)，y顯示的是經(jīng)過x 次分裂后細(xì)胞的個(gè)數(shù)。例如滑動(dòng)條i=1時(shí)，x=1，y=2，代表細(xì)胞分裂1 次，得到2個(gè)細(xì)胞，而當(dāng)滑動(dòng)條i=6時(shí)，x=1，y=2，代表細(xì)胞分裂6次，得到64個(gè)細(xì)胞。

在細(xì)胞分裂過程中，學(xué)生可以參與計(jì)算經(jīng)過分裂i 次后的細(xì)胞，并根據(jù)模擬的動(dòng)態(tài)過程直觀感受到細(xì)胞分裂過程中細(xì)胞個(gè)數(shù)以2x形式增長(zhǎng)，增長(zhǎng)的速度很快。模擬細(xì)胞分裂可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力，培養(yǎng)學(xué)生探究精神。

3.2 函數(shù)繪制模塊

函數(shù)繪制模塊主要復(fù)習(xí)繪制函數(shù)圖像的3個(gè)基本步驟：取值、描點(diǎn)、連線。如圖3所示，函數(shù)繪制模塊以案例導(dǎo)入中細(xì)胞分裂次數(shù)和個(gè)數(shù)為坐標(biāo)點(diǎn)，然后在繪圖區(qū)2中描出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，再進(jìn)行連線。通過函數(shù)繪制模塊，學(xué)生可以回顧和鞏固繪制函數(shù)圖像的3個(gè)基本步驟。

3.3 性質(zhì)探討模塊

性質(zhì)探討模塊主要討論不同底數(shù)情況指數(shù)函數(shù)圖像的基本性質(zhì)。如圖4和圖5所示，本模塊主要分為底數(shù)大于1和底數(shù)在0和1之間兩種情況。

圖4中，滑動(dòng)條a 的取值范圍設(shè)置為1.1～6，每次增加步長(zhǎng)為0.1。通過拖動(dòng)滑動(dòng)條a，可以觀察到指數(shù)函數(shù)圖像在底數(shù)大于1情況下函數(shù)的圖像。觀察函數(shù)圖像后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)底數(shù)大于1情況下指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)、值域?yàn)椋?，+∞）、單調(diào)性為單調(diào)遞增函數(shù)，且底數(shù)越大函數(shù)圖像也抖，增長(zhǎng)速度越快。

圖5中，滑動(dòng)條a 的取值范圍設(shè)置為0.1～0.9，每次增加步長(zhǎng)為0.1。通過拖動(dòng)滑動(dòng)條a，可以觀察到指數(shù)函數(shù)圖像在底數(shù)在0和1之間的函數(shù)的圖像。觀察函數(shù)圖像后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)底數(shù)在0和1之間指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)、值域?yàn)椋?，+∞）、單調(diào)性為單調(diào)遞減函數(shù)，且底數(shù)越小函數(shù)圖像越抖，減少速度越快。

3.4 拓展研究模塊

拓展研究模塊主要研究底數(shù)互為倒數(shù)的一對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖像特征。如圖6所示，滑動(dòng)條底數(shù)a 的取值范圍為1.1～9，每次增加0.1個(gè)步長(zhǎng)；變量b 設(shè)置為底數(shù)a 的倒數(shù)；A點(diǎn)x 坐標(biāo)亦采用滑動(dòng)條，并在圖中繪出點(diǎn)A（x，a^x）和點(diǎn)A1（-x，b^x）。通過觀察繪制底數(shù)互為倒數(shù)的一對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像，以及A和A點(diǎn)之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)讛?shù)互為倒數(shù)的一對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

4 實(shí)踐效果分析

為了分析GeoGebra輔助指數(shù)函數(shù)教學(xué)效果，討論GeoGebra是否可以激發(fā)和提升職校學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)職校學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力，選取j2O/QuzA13bqqgQJuHTkcolKYGn1m2W4zj/jHAneQ1Q=了宿遷科技學(xué)校兩個(gè)平行班，一個(gè)為實(shí)驗(yàn)班，一個(gè)為對(duì)照班。實(shí)驗(yàn)班的教學(xué)老師教學(xué)過程中采用GeoGebra輔助指數(shù)函數(shù)可視化教學(xué)模塊，而對(duì)照班主要采用傳統(tǒng)的以粉筆和黑板為主導(dǎo)的授課方式。

對(duì)比兩個(gè)班級(jí)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)前后的兩次周末檢測(cè)成績(jī)（滿分為50分），如表1所示。兩個(gè)班級(jí)在實(shí)驗(yàn)前成績(jī)沒有顯著差異，但是經(jīng)過實(shí)驗(yàn)過后可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)班相對(duì)對(duì)照班成績(jī)有較大差異。這說明GeoGebra 輔助數(shù)學(xué)教學(xué)相較于傳統(tǒng)的板書式授課方式更有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的吸收和掌握。

對(duì)實(shí)驗(yàn)班的43名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷內(nèi)容包括2個(gè)主題，6個(gè)選擇題，回收有效問卷43份，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。調(diào)查結(jié)果顯示100%的學(xué)生希望使用GeoGebra輔助職校數(shù)學(xué)教學(xué)，95.3%的學(xué)生認(rèn)為在職校數(shù)學(xué)教學(xué)過程中GeoGebra使用可以提高學(xué)習(xí)興趣，95.3%的學(xué)生認(rèn)為在職校數(shù)學(xué)教學(xué)過程中GeoGebra 的使用有助于學(xué)生自身專注度的提升，95.3%的學(xué)生認(rèn)為在職校數(shù)學(xué)教學(xué)過程GeoGebra的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)功能可以幫助對(duì)概念的理解，93%學(xué)生認(rèn)可在職校數(shù)學(xué)教學(xué)過程采用GeoGebra以增加互動(dòng)性并認(rèn)為這樣可以提升學(xué)生的探究能力，88.4%的學(xué)生認(rèn)為職校數(shù)學(xué)教學(xué)過程中GeoGebra的使用可以降低知識(shí)難度。有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。

綜上，在職校數(shù)學(xué)教學(xué)過程中采用GeoGebra，有助于學(xué)生對(duì)概念的理解、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、夯實(shí)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)。

5 小結(jié)

指數(shù)函數(shù)是職校數(shù)學(xué)課程中首先接觸到基本初等函數(shù)，具有一定的實(shí)際應(yīng)用背景，也關(guān)乎學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的把握和理解，對(duì)數(shù)形結(jié)合要求也相對(duì)較高，在教學(xué)過程中應(yīng)理論性和實(shí)踐性相結(jié)合。GeoGebra 強(qiáng)大的繪圖功能和動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)功能，有助于指數(shù)函數(shù)教學(xué)的可視化，降低知識(shí)難度，幫助學(xué)生更好地理解概念，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。在職校數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過程中，應(yīng)當(dāng)不斷拓展其應(yīng)用，更好地提高教學(xué)質(zhì)量。