中考視角下二次函數(shù)壓軸題分析及教學思考

【摘要】二次函數(shù)中考壓軸題主要考查學生學習數(shù)學的綜合能力，能有效區(qū)分不同層次學生的能力水平.近三年安徽中考的二次函數(shù)綜合題，從不同層面、不同角度考查學生的核心素養(yǎng)，教師在教學時不僅要關(guān)注試題考查的知識點和技能點，更要挖掘蘊含在試題中的思想方法，關(guān)注學生在作答過程中存在的問題，為改進教學提出相應(yīng)策略.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；二次函數(shù)；解題方法

1 問題背景

函數(shù)部分是整個初中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，它貫穿了整個數(shù)學學習過程中，是解決各種實際問題及其他學科必不可少的工具.滬科版初中數(shù)學教材中函數(shù)的內(nèi)容有：正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù).《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中要求要引導學生理解函數(shù)圖象與表達式的對應(yīng)關(guān)系，理解函數(shù)與對應(yīng)的方程、不等式之間的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，增強幾何直觀，提升學生學習數(shù)學的興趣，進一步發(fā)展應(yīng)用意識.

二次函數(shù)在安徽中考試題中一直作為壓軸題出現(xiàn)，分值占12～14分，主要考查函數(shù)的概念、增減性和對稱性等性質(zhì)，常涉及分類討論、數(shù)形結(jié)合、模型等數(shù)學思想.

2 案例分析

例1 已知二次函數(shù)y=－x2+4x.

（1）求y的最大值；

（2）當t≤x≤t+1時，求y的最大值.

分析 （1）本題主要考查二次函數(shù)的增減性和最值問題.解決二次函數(shù)的最值問題，可以通過代數(shù)法將其配方成頂點式，也可以借助于數(shù)形結(jié)合來分析其增減性來解決問題.（2）解決二次函數(shù)在自變量的某變化范圍內(nèi)的最值問題，由于自變量的范圍不確定，故要對t進行分類討論，需要通過數(shù)形結(jié)合的方式，教師要引導學生學會結(jié)合圖象坐標與對稱軸的關(guān)系等，再結(jié)合圖象進行增減性分析，從而求出此范圍內(nèi)的最大值.

解答 （1）y=－x2+4x=－（x2－4x+4－4）=－（x－2）2+4，

因為－1<0，所以拋物線開口向下，當x=2時，y有最大值為4.

（2）①當t+1<2時，即t<1，如圖1所示.

此時y在t≤x≤t+1上的圖象自左向右都是呈上升趨勢的，

所以當x=t+1時，y有最大值為

－（t+1）2+4×（t+1）=－t2+2t+3.

②當t<2且t+1≥2時，即1≤t<2，如圖2所示.

當t≤x<2時，y隨著x的增大而增大，當2<x<t+1時，y隨著x的增大而減小，故當x=2時，y有最大值為4.

③當t≥2時，如圖3所示，此時y在t≤x≤t+1上的圖象自左向右都是呈下降趨勢的，

所以當x=t時，y有最大值為－t2+4t.

綜上，

y=－t2+2t+3（t<1）4（1≤t<2）－t2+4t（t≥2）.

設(shè)計意圖 本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的運用，涉及含參數(shù)問題，需要運用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.第（2）問中，由于參數(shù)t的不確定性，自變量x的范圍t≤x≤t+1相對于對稱軸x=2的位置有三種情況，因此需要分類討論.教學時，可以先讓學生動手畫圖，再借助信息技術(shù)直觀呈現(xiàn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進行有效分析，讓學生更進一步理解題意，不僅提高了學生的畫圖能力，也提高了學生分析問題和解決問題的能力.

例2 （2023安徽中考試卷第23題）在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點A（3，3），對稱軸為直線x=2．

（1）求a，b的值；

（2）已知點B，C在拋物線上，點B的橫坐標為t，點C的橫坐標為t+1．過點B作x軸的垂線交直線OA于點D，過點C作x軸的垂線交直線OA于點E．

①當0<t<2時，求△OBD與△ACE的面積之和；

②在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點B，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形的面積為32？若存在，請求出點B的橫坐標t的值；若不存在，請說明理由．

分析 本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，及三角形和四邊形的面積計算問題，涉及動點問題、存在性問題，需要數(shù)形結(jié)合進行分類討論.同時，本題對學生的畫圖能力和代數(shù)運算能力提出了較高的要求．

解答 （1）利用對稱軸公式及將點A（3，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得-b2a=232×a+3b=3，解得a=－1b=4，

（2）①如圖4，當0<t<2時，易得OA的解析式為y=x.

先寫出四個點坐標：

B（t，－t2+4t），D（t，t），C（t+1，－（t+1）2+4（t+1）），即點C（t+1，－t2+2t+3），E（t+1，t+1），S△OBD+S△ACE=12BD·xD+12CE·（xA－xE）=12（－t2+4t－t）t+12（－t2+2t+3－t－1）（3－t－1）=2;

②存在，理由如下：在拋物線對稱軸右側(cè)，即當t>2時，有兩種情況.

第一種情況：當2<t<3時，如圖5，由圖可知，

S梯形BDCE=12（BD+CE）（xc－xD）=12－t2+4t－t+（t+1）－（－t2+2t+3）=t－1=32，解得t=52，該結(jié)果符合題目條件.

第二種情況：當t≥3時，如圖6，由圖可知，

S梯形BDEC=12（BD+CE）（xC－xD）=12t－（－t2+4t）+（t+1）－（－t2+2t+3）=t2－2t－1=32，

解得t=2±142，該結(jié)果不符合題目條件，應(yīng)舍去.

綜上可知，t=52．

設(shè)計意圖 本題是二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用題，有一定的難度.本題除了考查二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)、圖形面積、待定系數(shù)法、含參數(shù)問題，還滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法.第（2）問的①中，除了用常規(guī)方法求解，還需要引導學生思考：在 t 值變化的過程中，為什么兩個三角形面積和為定值？它們與函數(shù)的解析式、點A的橫坐標之間存在什么樣的關(guān)系？

3 教學思考

3.1 抓住函數(shù)性質(zhì)，理解函數(shù)本質(zhì)

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變量關(guān)系的有效模型，是“數(shù)形結(jié)合”的自然載體.“變化中的規(guī)律性”，“變化中的不變性”是所有函數(shù)的共性，在教學中我們要抓住函數(shù)的這一本質(zhì)特征，引導學生從簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，逐步認識初等函數(shù)的增減性和對稱性，并應(yīng)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.

3.2 關(guān)注思想方法，生成解題策略

在涉及二次函數(shù)的問題中，分類討論、數(shù)形結(jié)合、配方法、模型思想等是常見的思想方法，日常教學中我們要傳授和滲透這些思想方法，引導學生關(guān)注解決二次函數(shù)問題的通性通法，淡化解題技巧，提煉思想方法，幫助學生建構(gòu)解法系統(tǒng)，促進能力遷移，提升解題素養(yǎng).

3.3 加強運算訓練，提升運算素養(yǎng)

“運算能力”是重要的核心素養(yǎng)，數(shù)學運算不僅是數(shù)的運算，更包括代數(shù)式化簡和方程（組）的求解.中考二次函數(shù)壓軸題對運算能力的要求比較高，涉及內(nèi)容廣，如解方程（組）、二次函數(shù)配方、代數(shù)式化簡變形等，這些技能是初中階段最重要的運算技能，要求學生既要明白算理，更要算得正確、快速、合理和靈活.因此，在日常教學中，我們要讓學生進行一定量的運算訓練，提高運算能力，養(yǎng)成良好的運算習慣，促進運算素養(yǎng)的提升.

【本文系安徽省合肥市包河區(qū)教育規(guī)劃課題《基于學科育人的初中數(shù)學大單元教學策略實踐研究》研究成果，立項編號：BJG2318】

參考文獻：

［1］朱浩，張新全.立足課本 優(yōu)化思維——2023年安徽省中考數(shù)學第10題的解法探究［J］.初中數(shù)學教與學，2023（21）：39-41+16.

［2］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出社，2022.