初中數(shù)學(xué)幾何旋轉(zhuǎn)方法在兩類模型解題中的應(yīng)用

【摘要】隨著教育改革的深入推進(jìn)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)越來越注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維和解決問題的能力.本文以初中數(shù)學(xué)幾何旋轉(zhuǎn)問題為研究對象，通過分析奔馳模型和費(fèi)馬點(diǎn)模型的特點(diǎn)，結(jié)合實際例題，探討旋轉(zhuǎn)方法在這兩類模型解題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力與邏輯思維能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何旋轉(zhuǎn)；模型解題

1 引言

在初中數(shù)學(xué)幾何的教學(xué)中，旋轉(zhuǎn)方法是一個重要的解題手段，涉及圖形的旋轉(zhuǎn)和平移［1］.其中，奔馳模型和費(fèi)馬點(diǎn)模型是其兩種常見的應(yīng)用模型.本文將以兩道常見試題為例，探討旋轉(zhuǎn)方法在這兩種模型中應(yīng)用的效果和便利性，從而幫助學(xué)生深入理解幾何圖形的性質(zhì)和數(shù)學(xué)原理，培養(yǎng)他們的空間想象能力和邏輯思維能力［2］.

2 兩種模型的概念

“奔馳模型”是一種在等邊三角形內(nèi)部尋找特殊點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題.由于這個特殊點(diǎn)與三角形頂點(diǎn)連接后，形狀類似于“奔馳車標(biāo)”，因此得名“奔馳模型”.在這個模型中，連接等邊三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)部特殊點(diǎn)，形成三條線段.意在通過給出的部分邊角關(guān)系，求解另一部分邊角關(guān)系.與“奔馳模型”相似的是“費(fèi)馬點(diǎn)模型”.費(fèi)馬點(diǎn)是指在任意三角形內(nèi)，找到一個點(diǎn)，使得該點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離之和最短［3］.

“奔馳模型”和“費(fèi)馬點(diǎn)模型”都是數(shù)學(xué)中經(jīng)典的問題，由于其作輔助線的形式有所不同——均需要旋轉(zhuǎn)，因此需要學(xué)生更深入地理解幾何形狀的性質(zhì)和數(shù)學(xué)原理.在解決這些問題的過程中，學(xué)生可以運(yùn)用幾何知識，如三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和運(yùn)用等，來推導(dǎo)出正確的答案.

3 試題呈現(xiàn)

3.1 奔馳模型

例1 如圖1所示，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BP=BQ，連接CQ.

（1）求證：AP=CQ；

（2）若∠APB=150°，PA=3，PB=4，求PC長.

3.2 費(fèi)馬點(diǎn)模型

例2 如圖2，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).如圖3，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′，連接BB′.求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′=PA+PB+PC.

4 思路分析

例1是奔馳模型，本質(zhì)上是△ABP旋轉(zhuǎn)得到△CBQ，題干中已給出，因此本題難度較低，若需加大難度，則需要學(xué)生自行構(gòu)建△CBQ，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出∠ABC=60°，AB=CB，由∠ABP+∠PBC=60°，∠PBC+∠CBQ=60°可得出∠ABP=∠CBQ，結(jié)合AB=CB，BP=BQ可證出△ABP≌△CBQSAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AP=CQ；連接PQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠BQC=150°，由BP=BQ，∠PBQ=60°可得出△PBQ為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出PQ=PB=4，∠BQP=60°，進(jìn)而可得出∠PQC=90°，再在Rt△PQC中，利用勾股定理可求出PC的長.

例2根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的定義，在BB′上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°，再在PB′上取PE=PC，然后連接CE，根據(jù)等邊三角形的判定可以證明△PCE是等邊三角形，從而得到PC=CE，∠PCE=60°，根據(jù)角的關(guān)系可以推出∠PCA=∠ECB′，再利用邊角邊證明△ACP與△B′CE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PA=EB′，∠APC=∠CEB′=120°，從而可得點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，并且BB′=PA+PB+PC.

5 解法探究

例1 （1）因為△ABC為等邊三角形，

所以∠ABC=60°，AB=CB，

所以∠ABP+∠PBC=60°，

又因為∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60°，

所以∠ABP=∠CBQ.

在△ABP和△CBQ中，AB=CB∠ABP=∠CBQBP=BQ，

所以△ABP≌△CBQSAS，

所以AP=CQ.

（2）連接PQ，如圖4所示.

因為△ABP≌△CBQ，

所以∠BQC=∠BPA=150°.

因為BP=BQ，∠PBQ=60°，

所以△PBQ為等邊三角形，

所以PQ=PB=4，∠BQP=60°，

所以∠PQC=90°.

在Rt△PQC中，∠PQC=90°，

PQ=4，CQ=AP=3，

所以PC=PQ2+CQ2=5.

例2 如圖5所示，在BB′上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°，連接AP，再在PB′上截取PE=PC，連接CE.

因為∠BPC=120°，

所以∠EPC=60°，

所以△PCE為正三角形，

所以PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°.

因為△ACB′為正三角形，

所以AC=B′C，∠ACB′=60°，

所以∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，

所以∠PCA=∠ECB′，

所以△ACP≌△B′CE，

所以∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，

所以∠APB=∠APC=∠BPC=120°，

所以P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

所以BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，

且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.

6 結(jié)語

例1考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定定理SAS證出△ABP≌△CBQ，并通過角的計算找出∠PQC=90°.例2同樣考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)新定義，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.總的來說，奔馳模型和費(fèi)馬點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中具有重要的意義.它們不僅可以幫助學(xué)生深入理解幾何圖形的性質(zhì)和數(shù)學(xué)原理，還培養(yǎng)了他們的空間想象能力和邏輯思維能力.通過解決這些問題，學(xué)生能夠更好地掌握幾何知識，并在解決實際問題時更加得心應(yīng)手.同時，這些模型也為學(xué)生提供了一種解決問題的方法和思路，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］唐敏.新課標(biāo)背景下培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的思考與實踐——以初中數(shù)學(xué)“翻折旋轉(zhuǎn)”教學(xué)為例［J］.新教育，2024（S1）：118-120.

［2］王莉果.初中數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)中空間觀念的培養(yǎng)［J］.家長，2024（04）：64-66.

［3］黃道全.分類例說“費(fèi)馬點(diǎn)”模型的種類及運(yùn)用［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2022（06）：21-27.