初中數(shù)學(xué)證明題常見的幾種解題錯誤與糾錯辦法

【摘要】本文基于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實踐，以初中數(shù)學(xué)人教版八上“第十二章 全等三角形”的教學(xué)內(nèi)容作為基礎(chǔ)，通過例舉證明題常見解題錯誤的方式，提煉全等三角形證明題糾錯方法，旨在提高學(xué)生的解題能力與教師的糾錯教學(xué)實效.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；全等三角形；解題教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)知識體系中，全等三角形是一個重要的知識點，解題教學(xué)中，教師可以歸納、分析學(xué)生常見的解題錯誤，并提煉解題技巧，從根本上幫助學(xué)生糾錯，從而在厘清學(xué)生知識薄弱之處的基礎(chǔ)上提高學(xué)生的解題能力.

1 引導(dǎo)學(xué)生注意分類討論

在數(shù)學(xué)證明題解題過程中，分類討論是一個重要的解題方法，應(yīng)用該方法進行數(shù)學(xué)證明能夠保證學(xué)生所獲得的答案更為全面，使學(xué)生的解題思路更為嚴(yán)謹(jǐn).

錯例1 已知邊長均為整數(shù)的△ABC與△DEF全等，其中AB與DE是對應(yīng)邊，AB=2，BC=4，若△DEF的周長為奇數(shù)，則DF的值為（ ）

（A）3. （B）4. （C）3或5. （D）3或4或5.

錯解：（C）.

解析 閱讀題干信息可知，在本題中關(guān)于全等關(guān)系的描述是以文字語言表述的，而非應(yīng)用全等符號“ ≌”表述，故導(dǎo)致學(xué)生解題錯誤.在解題過程中學(xué)生常因無法分清楚“△ABC和△DEF全等”與“△ABC≌△DEF”的區(qū)別，最終無法得出最為全面的答案，選項（C）為錯解.分析學(xué)生錯解的原因：在解題過程中僅考慮了DF=AC的情況，忽視了DF=BC的情況.本題中，AC的取值范圍為2＜AC＜6，則AC的奇數(shù)值為3或5，由題干信息“△ABC與△DEF全等，AB與DE是對應(yīng)邊”可以得出AB=DE=2，然后分兩種情況討論，其一，當(dāng)DF=AC時，DF的值為3或5；其二，當(dāng)DF=BC時，DF的值為4.故正確答案為選項（D）.

本題考查的知識主要指向了全等三角形性質(zhì)，同時本題還考查學(xué)生的題干閱讀能力.教師應(yīng)針對用全等符號≌和文字描述全等三角形的區(qū)別給予學(xué)生指導(dǎo)，使學(xué)生明確考慮其對應(yīng)性.所以當(dāng)題干信息以文字描述為主時，一定要注意分類討論，才能夠保證數(shù)學(xué)證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性［1］.

2 引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系

在數(shù)學(xué)證明題中，正確找出對應(yīng)關(guān)系是學(xué)生正確解題的關(guān)鍵，尤其在“全等三角形”證明題的解題中，學(xué)生需要注意分析三角形的邊、角對應(yīng)關(guān)系.

錯例2 有一個三角形紙片ABC，已知∠B=∠C=x°，現(xiàn)用剪刀沿著箭頭所指示的方向剪開紙片，剪開后可能得不到全等三角形的方案是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

錯解：（D）.

解析 選項（D）為錯解，學(xué)生錯解的主要原因在于并未找準(zhǔn)兩個小三角形的對應(yīng)關(guān)系，無法熟練地運用三角形全等判定條件解決實際問題.本題中，學(xué)生可以結(jié)合圖示，按照箭頭方向、運用SAS能夠證明選項（C）與選項（D）不符合題意.但后（A）和（B）兩個選項的難度較大，對于選項（A），圖中僅給出了兩個三角形一個對應(yīng)邊相等的條件，為了便于尋找其他的對應(yīng)關(guān)系，可以先將△ABC的邊AB剪刀落剪處標(biāo)為D，邊BC剪刀落剪處標(biāo)為E，邊CA的剪刀落剪處標(biāo)為F，那么則有∠DEC=∠B+∠BDE，x°+∠FEC=x°+∠BDE，∠FEC=∠BDE，所以圖中兩個三角形如果全等，其對應(yīng)邊應(yīng)該是BE與CF，但根據(jù)圖示，所給出的條件是BD=FC=3，所以無法判定出兩個小三角形全等，（A）選項符合題意.對于選項（B），同樣地，在圖中分別標(biāo)注點D，E，F(xiàn)，沿用選項（A）的分析方式，∠DEC=∠B+∠BDE，x°+∠FEC=x°+∠BDE，∠FEC=∠BDE，并根據(jù)圖示，BD=EC=2，∠B=∠C，所以可以判定“△BDE≌△CEF”，繼而明確選項也（B）不符合題意，故選項（A）為正確答案.

本題考查的知識主要指向了全等三角形的判定，以及學(xué)生尋找對應(yīng)關(guān)系的能力.對于該錯例的糾錯教學(xué)，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生重溫全等三角形的判定條件，然后將選項中的三角形板書，與學(xué)生共同尋找選項（C）與選項（D）中兩個小三角形的對應(yīng)關(guān)系，從而提高學(xué)生尋找三角形邊、角對應(yīng)關(guān)系的能力［2］.

3 引導(dǎo)學(xué)生掌握解題原理

在數(shù)學(xué)證明題中，掌握解題的原理不僅能夠降低學(xué)生解題的錯誤率，還能夠幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)證明中獲得成就感，提高學(xué)生的解題效率.

錯例3 如圖1所示，△ABC的三條邊AB，BC，CA長分別為40，50，60，三條角平分線均交于點O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO的值為（ ）

（A）1∶2∶3. （B）2∶3∶4.

（C）3∶4∶5. （D）4∶5∶6.

錯解：（C）.

解析 選項（C）為錯解，學(xué)生解題錯誤的原因主要在于不能將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為邊長之比，本質(zhì)原因在于沒有掌握“角平分線上的一點到角兩邊的距離相等”這一解題原理.本題中，由圖2所示，可以先作OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，OF⊥BC于點F，根據(jù)題干信息“三條角平分線均交于點O”則有OD=OE=OF，那么S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=AB∶BC∶CA=4∶5∶6.故正確答案為選項（D）.

本題考查的知識主要指向了本單元第三課時“角平分線的性質(zhì)”一課內(nèi)容.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容，在復(fù)習(xí)“三個條件”（一條角的平分線，兩條垂線）“一個結(jié)論”（線段相等）的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生掌握本題的解題原理，從而達成糾錯目標(biāo)，提高學(xué)生角平分線性質(zhì)的實際運用能力.

4 結(jié)語

綜上所述，對于全等三角形的常見解題錯誤本文列舉了三個錯例，并提煉了三種糾錯方法.根據(jù)糾錯分析，教師在初中數(shù)學(xué)全等三角形解題教學(xué)實踐中，應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生注重分類討論、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，并幫助學(xué)生掌握解題原理，從而提高教師的證明題糾錯教學(xué)的實效.

參考文獻：

［1］曹雪勇.基于錯題的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課深度學(xué)習(xí)教學(xué)策略——以一道錯題的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2024（04）：53+1-2.

［2］顧艷.使“美麗”的錯誤綻放“絢爛”的思維之花——初中數(shù)學(xué)糾錯案例分析［J］.新課程，2023（15）：148-150.