淺談逆向思維在初中數(shù)學解題中的應用

【摘要】數(shù)學是一門比較特殊的科目，其知識具有典型的抽象性、理論性和工具性特征，對學生綜合學習能力要求較高，尤其是在解題訓練中，他們應掌握一定的解題技巧.雖然初中生積累有一定的數(shù)學學習經驗與知識基礎，不過隨著學習深度和難度的增進，試題難度隨之提升，當采用正向思維難以解題時，教師可提示他們逆用逆向視角思考，應用逆向思維完成解題.筆者主要對怎么應用逆向思維解決初中數(shù)學試題進行研究，并列舉一系列解題實例.

【關鍵詞】逆向思維；初中數(shù)學解題；數(shù)學經驗

逆向思維顧名思義，是與正向思維相對立的，從本質上來看，就是對常見觀點或者固有定論基于相反的角度進行思考，思維得以發(fā)散，從對立面完成研究，從而得到新的思想.在初中數(shù)學解題教學中，當遇到部分難度系數(shù)較大的試題時，如果運用常規(guī)方法很難求解時，教師就可指導學生應用逆向思維，打破固有思維定勢，對題干信息進行重新審視，使其思維變得開闊起來，通過逆向思維找到簡便的解題方法，促使他們輕松突破難題障礙.

1 應用逆向思維打破原有順序解答試題

在初中數(shù)學解題訓練中，學生思考問題時極易受到以往思維定勢的干擾，習慣于采用正向思維設計解題流程，再加上他們通過反復練習個人思維已經基本成型，很難有所變換.在這種模式下，初中生解答一些難度不大的試題時較為有效，不過處理難度系數(shù)較大試題時將會障礙重重，此時教師可提示他們應用逆向思維對題干中的原有順序進行打亂，顛倒過來進行思考與分析，通過逆向處理找到新的解題方向與思路，從而順利完成數(shù)學試題的解答［1］.

例1 王鵬去超市買入一箱飲料，第1天，喝掉這箱飲料的12加12瓶；第2天，喝掉余下飲料的12加12瓶；第3天，繼續(xù)喝掉余下飲料的12加12瓶，飲料剛好全部喝完，那么這箱飲料一共有幾瓶？

分析 解答此類試題時，如果直接從第1次喝的飲料數(shù)量進行計算，出現(xiàn)的數(shù)量關系會顯得雜且多，雖然可以使用方程相關知識進行列式與求解，不過比較困難，極易出現(xiàn)錯誤，但是應用逆向思維，從第3天開始進行假設、列式和計算，能夠簡便地求出這箱飲料的總瓶數(shù).

詳解 設第3天喝飲料時有x瓶，

根據題意可得x2+12=x，

則x=1，即為第2天喝飲料后余下的瓶數(shù)；

接著設在第2天喝飲料時有y瓶，

根據題意可得y2+12+1=y，

則y=3，即為第1天喝飲料后余下的瓶數(shù)；

之后設第1天喝飲料時有z瓶，

根據題意可得z2+12+3=z，

則z=7，

所以這箱飲料一共有7瓶.

2 應用逆向思維結合題設結論解答試題

初中數(shù)學教學主要包括代數(shù)和幾何這兩個模塊，其中幾何證明題在平常的解題訓練中會經常用到，一些題目難度較大，但無論是何種幾何證明題，通?？蓮膬蓚€不同視角著手：一是根據題干中提供的已知信息，采用證明推導的方式把結論證明出來；二是從證明的結論切入，認真考慮要得到哪些條件，分為已有和未知兩大類，如果條件不足，教師可指引學生從結論著手，使其應用逆向思維展開證明，讓他們推導出結論和條件相吻合［4］.

例2 如圖1所示，在△ABC內，邊AC上有D、E兩點，其中AB=AD，BD為∠EBC的角平分線，證明：AD2=AE×AC.

分析 為證明題設中的結論，需用到相似三角形的有關知識，先把原式AD2=AE×AC轉變成ADAE=ACAD，然后結合相似三角形的性質從題設結論切入進行證明.

詳解 先把AD2=AE×AC轉變成ADAE=ACAD，

因為AB=AD，

所以ABAE=ACAB，

然后需要證明△ABE和△ABC是相似關系，

其中∠A是這兩個三角形的公共角，

又因為AB=AD，

所以∠ABD=∠ADB，

由此得到∠ABE+∠EBD=∠C+∠DBC，

因為BD為∠EBC的角平分線，

所以∠EBD=∠DBC，

故∠ABE=∠C，

由此證明△ABE和△ABC是相似關系，

則ABAE=ACAB，

又因為AB=AD，

所以ADAE=ACAD，

也就是AD2=AE×AC.

3 應用逆向思維通過反向思考解答試題

逆向思維同正向思維是相對的.在平時學習中，學生總是習慣從正方向對問題進行思考和處理，當采用這種常規(guī)方法產生困難時，就可嘗試從反方向展開思考和分析，即為從題設所求往回推理至已知條件，通過反向思考往往能夠起到意想不到的效果.在初中數(shù)學解題訓練中，當處理部分題目從正方向思考遇到障礙時，教師可以提醒學生應用逆向思維，通過反向思考對已知信息進行重新整理，以此降低試題的難度，助推他們順暢地求出試題結果［2］.

例3 已知拋物線的解析式為y=-x2+（m-2）x+m-5，請問當m的取值范圍為多少時該拋物線的頂點不位于第四象限？

分析 解答本題的關鍵是把握“該拋物線的頂點不位于第四象限”的含義，其意思是該拋物線的頂點只要不位于第四象限均可，范圍較大，即可位于其他三個象限，還有可能位于坐標軸之上，如果展開分類討論，分別求出m的取值范圍，再找到重合部分，計算量較大，在整個計算過程中很難做到萬無一失，這時可應用逆向思維對該題目進行反向思考，即為把該拋物線頂點位于第四象限時m的取值范圍求出來，其相反部分即為本題結果.

詳解 令拋物線y=-x2+（m-2）x+m-5的頂點位于第四象限，

結合頂點坐標公式得到-m-22×（-1）〉0，4×（-1）（m-5）-（m-2）24×（-1）<0，

解得2<m<4，

所以當m≤2或者m≥4時，該拋物線的頂點不位于第四象限.

4 結語

總的來說，在初中數(shù)學解題教學活動中，教師需確保學生掌握扎實的理論知識和常用解題方法，刻意指引他們應用逆向思維的方式對一些特殊數(shù)學試題進行分析和解決，敢于創(chuàng)新，從而有效克服思維定勢與思維呆板，使解題思路變得更為廣闊，突破原有解題思維的束縛和局限性，提升他們的思維水平.

參考文獻：

［1］汪芳.淺談逆向思維在初中數(shù)學解題訓練中的實踐應用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（21）：14-15.

［2］黎春.探究初中數(shù)學解題教學中逆向思維的應用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（15）：47-49.

［3］時慧娜.逆向思維在初中數(shù)學解題中的合理應用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（11）：69-70.

［4］王莉蓉.逆向思維：賦能初中數(shù)學解題教學新思路［J］.基礎教育論壇，2023（10）：89-91.