初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題策略

【摘要】本文首先闡述多種解題策略，包括以靜制動(dòng)、特殊值法、分類討論等．通過(guò)具體例題的分析，幫助學(xué)生更好地掌握動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；動(dòng)態(tài)幾何；解題策略

在初中數(shù)學(xué)中，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是一類具有較高難度和綜合性的題型．這類問(wèn)題通常涉及圖形的運(yùn)動(dòng)、變化，要求學(xué)生在變化的過(guò)程中分析圖形的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等．掌握動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題策略對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和綜合素質(zhì)具有重要意義．

1 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題策略

1.1 以靜制動(dòng)

在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中，雖然圖形在運(yùn)動(dòng)，但通常存在一些不變的元素或關(guān)系．學(xué)生可以通過(guò)分析這些不變的元素，找到問(wèn)題的突破口．例如，在圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，某些線段的長(zhǎng)度、角度的大小、圖形的形狀等可能保持不變．利用不變的元素和已知條件，建立方程或函數(shù)關(guān)系，從而求解問(wèn)題．

例如 對(duì)于涉及線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，可以通過(guò)勾股定理、相似三角形等知識(shí)建立方程；對(duì)于涉及圖形面積的問(wèn)題，可以通過(guò)函數(shù)表達(dá)式來(lái)表示面積與某個(gè)變量之間的關(guān)系．

1.2 特殊值法

當(dāng)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中的圖形運(yùn)動(dòng)情況不確定時(shí)，可以選取一些特殊的位置進(jìn)行分析．

例如 當(dāng)點(diǎn)在某條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以選取點(diǎn)在特殊的位置，如中點(diǎn)、端點(diǎn)等，此時(shí)圖形的形狀和性質(zhì)可能會(huì)比較特殊，便于分析和求解．通過(guò)對(duì)特殊位置的分析，得出一些一般性的結(jié)論，然后再推廣到一般情況．特殊值法可以幫助學(xué)生快速找到問(wèn)題的思路，降低解題的難度．

1.3 分類討論

在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中，由于圖形的運(yùn)動(dòng)情況可能存在多種情況，需要進(jìn)行分類討論．分類的標(biāo)準(zhǔn)通常是根據(jù)圖形的位置關(guān)系、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等因素來(lái)確定．

例如 當(dāng)點(diǎn)在不同的區(qū)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)需要對(duì)不同的區(qū)間進(jìn)行分類討論．對(duì)每一種情況進(jìn)行逐一分析求解，確保不遺漏任何一種情況．在分類討論的過(guò)程中，要注意思維的嚴(yán)密性和邏輯性，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的情況．

2 求解動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的典例分析

例題 如圖1，在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-B－C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．過(guò)點(diǎn)C作DP的垂線，垂足為點(diǎn)G，延長(zhǎng)CG到點(diǎn)E，使EG=CG，連接DE，AE，直線EA與DP交于點(diǎn)F．設(shè)∠ADP為α，且0°＜α＜90°．

（1）當(dāng)α=10°時(shí)，求∠ADE和∠DAE的度數(shù).

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，

①求sinF的值；

②當(dāng)△DEF為軸對(duì)稱圖形時(shí)，求α的大小.

（3）若正方形ABCD的面積為4，直接寫出△DAF面積的最大值．

解析 （1）因?yàn)锳BCD是正方形，

所以AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ADC=90°，

因?yàn)椤螦DP=α=10°，

所以∠CDG=80°；

因?yàn)镃E⊥DG，EG=CG，

所以直線DG是線段CE的垂直平分線，

所以DE=DC，∠CDG=∠EDG=80°，

所以∠ADE=∠EDG－∠ADP=70°，

DE=DA，

所以∠DAE=180°－∠ADE2=55°．

（2）①因?yàn)锳BCD是正方形，

所以AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ADC=90°，

因?yàn)椤螦DP=α，

所以∠CDG=∠APD=90°－α，

所以∠APF=180°－∠APD=90°+α

因?yàn)镃E⊥DG，EG=CG，

所以直線DG是線段CE的垂直平分線，

所以DE=DC，

∠CDG=∠EDG=90°－α，

所以∠ADE=∠EDG－∠ADP=90°－2α，

DE=DA；

所以∠DAE=180°－90°－2α2=45°+α，

所以∠PAF=180°－∠EAD－∠DAB=45°－α，

所以∠F=180°－∠PAF－∠APF=45°，

所以sinF=sin45°=22.

②因?yàn)椤鱀EF為軸對(duì)稱圖形，

所以△DEF為等腰角形，

因?yàn)?°<α<90°，

所以DF≠DE

所以有兩種情況，DE=EF，或PF=EF，

若DE=EF，

則∠EDF=∠F，

即90°－α=45°，

解得α=45°，

若PF=EF，

則∠EDF=∠DEF

又因?yàn)椤螮DF+∠DEF=180°－45°=135°

所以∠EDF=∠DEF=67.5°

所以90°－α=67.5°，

所以α=22.5°，

所以α的大小為45°或22.5°

（3）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，

因?yàn)椤螦DP=α，

所以∠CDG=90°－α，

因?yàn)镃E⊥DG，EG=CG，

所以直線DG是線段CE的垂直平分線，

所以DE=DC=DA，

∠CDG=∠EDG=90°－α，

∠DCG=∠DEG=90°－∠CDG=α，

所以∠ADE=∠ADP－∠EDG=2α－90°，

所以∠DAE=∠AED=180°－∠ADE2=135°－α，

所以∠GBE=180°－∠AED－∠DEG=45°－α，

所以∠F=180°－∠PAF－∠APF=45°.

又因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，∠F=45°，

所以整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠F=45°，

所以A，D，F(xiàn)三點(diǎn)在圓上，弧AD所對(duì)的圓周角是45°，所對(duì)的圓心角是90°.

又因?yàn)檎叫螌?duì)角線互相垂直平分，

所以圓心為正方形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O，半徑為OA的長(zhǎng)度.

因?yàn)镾ABCD=4，

所以AB=AD=BC=DC=2，

所以AC=22，AO=2.

當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，P移動(dòng)到B時(shí)，P，B，F(xiàn)點(diǎn)重合，

△DAF面積最大為12×2×2=2，

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，P到AD的距離最大時(shí)△DAF面積最大，

△DAF面積最大為12×2×1+2=1+2，

所以△DAF面積最大為1+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)和圓的判定，需要分類討論，判斷出F的移動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．

3 結(jié)語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)中的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題具有一定的難度和挑戰(zhàn)性，但通過(guò)掌握以靜制動(dòng)、特殊值法、分類討論等解題策略，可以有效地提高解題能力．在解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)，學(xué)生要認(rèn)真分析問(wèn)題的特點(diǎn)，找出不變的元素和關(guān)系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，選擇合適的解題方法．同時(shí)，要注重培養(yǎng)自己的空間想象能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，不斷提高數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)．

參考文獻(xiàn)：

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