利用圖形結(jié)構(gòu)特征，巧證線段平方關(guān)系

【摘要】平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而與線段有關(guān)的證明更是其中的精髓，涉及知識(shí)點(diǎn)廣泛，受到中考命題人的青睞.對(duì)于此類問(wèn)題最重要的就是要結(jié)合圖形的特征展開解題思路.本文以一道線段平方關(guān)系問(wèn)題為例，從不同的視角尋找多種解題策略，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】線段；平方關(guān)系；初中數(shù)學(xué)

1 例題呈現(xiàn)

如圖1所示，在四邊形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD為對(duì)角線，且滿足AC=2AB.求證：BC2+CD2=2BD2.

2 方法展示

解法1 利用互余的條件巧構(gòu)直角三角形

對(duì)于平方關(guān)系問(wèn)題，首先聯(lián)想到的就是勾股定理，而勾股定理的使用前提是在直角三角形中.因此，可以結(jié)合已知條件中的“互余”構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，再通過(guò)幾何轉(zhuǎn)化和幾何性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)幾何條件的位置轉(zhuǎn)移，從而得到關(guān)于平方關(guān)系的結(jié)論.

證明 如圖2所示，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB，且∠EDA=∠BDC.

因?yàn)椤螧AD+∠BCD=90°，∠BAD+∠EAD=90°，

所以∠BCD=∠EAD，

故△BDC∽△EDA，

則EDDA=DBCD.

又因?yàn)椤螧DC=∠EDA，

所以∠EDB=∠ADC，

故△EDB∽△ADC.

所以ACAD=EBED=2，

故BE=2DE.

因?yàn)椤鰾DC∽△EDA，

所以設(shè)AECB=ADCD=DEDB=k.

因?yàn)锳D=AB，

所以AE=kBC，AB=kCD，DE=kDB.

在Rt△EAB中，由勾股定理得AE2+AB2=BE2，

所以k2BC2+k2CD2=BE2=2DE2=2k2BD2，

即BC2+CD2=2BD2.

解法2 利用等腰三角形的條件構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換

等腰三角形的條件就意味著有長(zhǎng)度相等的線段，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換帶來(lái)的等量關(guān)系，就可以得到一些隱藏的幾何條件.同時(shí)旋轉(zhuǎn)還能構(gòu)造出相等的角，在此基礎(chǔ)上就可以嘗試尋找全等三角形來(lái)進(jìn)一步探究問(wèn)題的本質(zhì).

證明 如圖3所示，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABE，連接CE，由此可知△ADC≌△ABE.

所以AC=AE，∠DAC=∠BAE，

故∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC.

即∠BAD=∠EAC，

所以△ABD∽△AEC，

所以CEDB=ACAD=2，

故CE=2BD.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD的內(nèi)角和為360°，

又因?yàn)椤螧AD+∠BCD=90°，

所以∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠ABE=270°，

故∠EBC=90°.

所以在Rt△BCE中，

BC2+BE2=BC2+CD2=CE2=2BD2.

解法3 利用比例線段構(gòu)造相似三角形

比例線段是平面幾何問(wèn)題中的一個(gè)重要已知條件，在比例線段的基礎(chǔ)上不僅可以得到線段長(zhǎng)度的大小關(guān)系，還可以構(gòu)造相應(yīng)的相似三角形，尋找題中的隱藏條件.再適當(dāng)構(gòu)造輔助線，即可證明.

證明 如圖4所示，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使AE=2AB，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，使AF=2AD，連接EF、CE、CF.

因?yàn)锳E=2AB，AF=2AD，

所以BD為△AEF的中位線，

故EF=2BD.

因?yàn)锳C=2AB，AE=2AB，

所以AE=2AC，

即AEAC=ACAB=2.

所以△BAC∽△CAE，

故CE=2CB，∠CEA=∠ACB.

同理，CF=2CD，∠CFA=∠ACD.

因?yàn)椤螧AD+∠DCB=90°，

所以∠CEA+∠CFA+∠BAD=90°.

因?yàn)椤螩EA+∠CFA+∠BAD+∠CFE+∠CEF=180°，

所以∠CFE+∠CEF=90°，

故△CEF是直角三角形，

所以CE2+CF2=EF2.

所以（2CB）2+（2CD）2=（2BD）2，

故BC2+CD2=2BD2.

解法總結(jié) 本題中要證明的內(nèi)容涉及兩條線段的平方和，聯(lián)想勾股定理的形式，證明方向指向構(gòu)造直角三角形，這是解題的關(guān)鍵.所求證的三邊BC、CD、BD所在的三角形不是直角三角形，因此需要轉(zhuǎn)化線段，構(gòu)造直角三角形來(lái)解決.以上各種證法展示了從不同頂點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造出直角的思路，證明過(guò)程中充分抓住某一個(gè)特征條件，從而據(jù)此進(jìn)行聯(lián)想、構(gòu)造輔助線，使解題水到渠成.

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)一道幾何題不同角度的分析，可以發(fā)現(xiàn)，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于抓住題中已知條件和幾何圖形中的某一特征，從而在此基礎(chǔ)上發(fā)散解題思維，解決問(wèn)題.在教學(xué)的過(guò)程中，教師要學(xué)會(huì)利用一題多解的方式讓學(xué)生更好地理解問(wèn)題的本質(zhì)，并讓其學(xué)會(huì)利用不同的知識(shí)點(diǎn)解決相同的問(wèn)題，以此來(lái)提高解決問(wèn)題的能力.