核心素養(yǎng)下的初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)

【摘要】本文探討在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中解直角三角形問(wèn)題的幾種常見(jiàn)解題方法，并結(jié)合核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行分析.通過(guò)具體例題詳細(xì)闡述數(shù)學(xué)抽象與建模、邏輯推理與運(yùn)算和綜合應(yīng)用等三種解題思路.在解題過(guò)程中學(xué)生不僅能鍛煉數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、空間想象、運(yùn)算等能力，還能提高綜合分析和解決問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)；解直角三角形

1 引言

解直角三角形是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它融合了幾何、代數(shù)、解析等多方面的知識(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力提出了較高的要求.新課改背景下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).本文將從數(shù)學(xué)抽象與建模、邏輯推理與運(yùn)算和綜合應(yīng)用三個(gè)方面入手，探討在解直角三角形問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略.

2 數(shù)學(xué)抽象與建模素養(yǎng)

例1 一個(gè)旗桿高10米，在旗桿下的某一點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端的仰角為45°，且該點(diǎn)到旗桿的水平距離為5米.求旗桿下這一點(diǎn)的海拔高度.

解析 第一步：將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型.設(shè)旗桿下測(cè)量點(diǎn)的海拔高度為h米，根據(jù)題意可以繪制一個(gè)直角三角形，其中旗桿高度為10米，該點(diǎn)到旗桿的水平距離為5米，仰角為45°（如圖1）.

第二步：利用正切函數(shù)的定義，列出方程.在直角三角形中，正切函數(shù)tan等于對(duì)邊長(zhǎng)度除以鄰邊長(zhǎng)度.故有tan45°=10－h(huán)5.

第三步：求解方程.已知tan45°=1，代入方程得1=10－h(huán)5，解得h=5.

因此，旗桿下測(cè)量點(diǎn)的海拔高度為5米.這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象與建模的思想，即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解.

3 邏輯推理與運(yùn)算素養(yǎng)

例2 下列命題：①所有銳角三角函數(shù)值都為正數(shù)；②解直角三角形時(shí)只需已知除直角外的兩個(gè)元素；③Rt△ABC中，∠B=90°，則sin2A+cos2A=1；④Rt△ABC中，∠A=90°，則tanC·cosC=sinC．其中正確的命題有（ ）

（A）0個(gè). （B）1個(gè). （C）2個(gè). （D）3個(gè).

解析 ①根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知所有的銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，故正確；

②兩個(gè)元素中，至少得有一條邊，故錯(cuò)誤；

③根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，以及勾股定理，得則sin2A+cos2A=a2+c2b2=1 ，故正確；

④根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，得tanC=cb，sinC=ca，cosC=ba，所以tanC·cosC=sinC，故錯(cuò)誤．故選（C）．

4 綜合應(yīng)用素養(yǎng)

例3 問(wèn)題情境 數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，教師發(fā)給每位同學(xué)一個(gè)Rt△ABC紙片，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．

問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 將三角形紙片ABC進(jìn)行以下操作．第一步：折疊三角形紙片ABC使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，然后展開(kāi)鋪平，得到折痕DE；第二步：然后將△DEC繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△DFG．點(diǎn)E，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F，G，直線(xiàn)GF與邊AC交于點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），與邊AB交于點(diǎn)N．

（1）如圖2，小明發(fā)現(xiàn)折痕DE的長(zhǎng)很容易求出，并且MF和ME的數(shù)量關(guān)系也能證明．

（2）如圖3，小紅發(fā)現(xiàn)在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)直線(xiàn)GF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)或直線(xiàn)GF∥BC時(shí)，AM的長(zhǎng)都可求……

問(wèn)題提出與解決 根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問(wèn)題1和問(wèn)題2，請(qǐng)你解答．

問(wèn)題1 如圖2，按照如上操作，（1）折痕DE的長(zhǎng)為；（2）在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試判斷MF與ME的數(shù)量關(guān)系；并證明你的結(jié)論.

問(wèn)題2 在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，如圖3，探究當(dāng)直線(xiàn)GF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，AM的長(zhǎng).

解析 問(wèn)題1：（1）由折疊性質(zhì)得CE=AE，DE⊥AC，

所以∠DEC=∠BAC=90°，

所以△CDE∽△CBA，

所以DEAB=CDBC=CEAC=12，

又AB=6，

所以DE=12AB=3.

（2）如圖4，連接DM.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得DF=DE，∠DFM=∠DEM=90°，

又DM=DM，

所以Rt△DFM≌Rt△DEMHL，

所以MF=ME.

問(wèn)題2：因?yàn)镃DBC=CEAC=12，

所以CD=BD=12BC，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠DGB=∠C，

DG=CD=BD，

所以∠DBG=∠DGB=∠C，

所以BM=CM.

設(shè)BM=CM=x，

則AM=AC－CM=8－x，

在Rt△ABM中，由AB2+AM2=BM2，

得62+8－x2=x2，

解得x=254，

所以AM=8－254=74.

5 結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)的解直角三角形教學(xué)中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過(guò)合理設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象與建模、邏輯推理與運(yùn)算、直觀想象與圖形分析和綜合應(yīng)用等思想方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.教師還應(yīng)該注重創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.