四點(diǎn)共圓在幾何證明中的應(yīng)用教學(xué)研究

【摘要】四點(diǎn)共圓在幾何證明中有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在涉及角度的證明過(guò)程中，往往會(huì)起到意想不到的效果.應(yīng)用四點(diǎn)共圓時(shí)，往往題目中是沒(méi)有提到圓這個(gè)概念的.

【關(guān)鍵詞】四點(diǎn)共圓；圓；初中數(shù)學(xué)

圓的內(nèi)接四邊形具有對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)，其逆命題也成立，即如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則該四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，簡(jiǎn)稱四點(diǎn)共圓.但在應(yīng)用四點(diǎn)共圓時(shí)，往往題目中是沒(méi)有提到圓這個(gè)概念的，也就是說(shuō)該定理的使用環(huán)境比較隱蔽，如果沒(méi)有經(jīng)過(guò)一定練習(xí)與經(jīng)驗(yàn)的積累是不容易想到該定理的.下面先給出四點(diǎn)共圓定理的兩種常見形式［1］.

定理1 四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

定理2 若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段所在直線的同旁，并且和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)連線所夾的角相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)共圓.

例1 如圖1所示，在等腰Rt△ABC中，AB=4，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD 為邊向右側(cè)作等腰直角三角形ADE，其中∠ADE =90°，求三角形ABE周長(zhǎng)的最小值［2］．

思路引導(dǎo) 在本題中，顯然存在著不變量，即∠AED=45°.

解 根據(jù)題意可知∠AED=45°，而∠C=45°，所以點(diǎn)A，D，E，C四點(diǎn)共圓，不妨記該圓為⊙O.又因?yàn)椤螦DE =90°，所以AE為⊙O的直徑.連接EC，則有∠ACE =90°.至此可以得到，CE⊥AC.

作點(diǎn)A關(guān)于直線EC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF，則有AE=EF.故有BE+AE=BE+EF≥BF.因此可以得到BE+AE的最小值為BF.

在Rt△BAF中，由勾股定理可得到：BF2=AB2+AF2=42+82=80，

所以BF=45.所以三角形ABE周長(zhǎng)的最小值為4+45.

例2 如圖3所示，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD 的對(duì)角線AC上有一點(diǎn)E，且CE = 4AE，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，且CF=2，連接EF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF，交CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接GF并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.計(jì)算EP的長(zhǎng)度［3］.

思路引導(dǎo) 本題給出的條件相對(duì)比較分散，由∠GEF=90°和等腰直角三角形ABC挖出點(diǎn)G、F、C以及點(diǎn)E四點(diǎn)共圓.

解 ∠GEF=90°以及正方形內(nèi)的等腰直角三角形ABC，看起來(lái)沒(méi)有顯著的聯(lián)系.事實(shí)上，這里正蘊(yùn)含著隱蔽的四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)G、F、C以及點(diǎn)E共圓.顯然該圓是以GF為直徑的圓.由弦所對(duì)的圓周角相等可得到：∠GFE=∠GCA=45°；從而可以得到△GEF為等腰直角三角形.所以∠EFP=135°，顯然∠ECF=135°.因此有△ECF∽△EFP，所以可以得到：EF2=EC·EP，可解出EP=EF2EC.至此，線段EP的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為EF與EC的計(jì)算.

根據(jù)條件CE = 4AE，可以算出CE=45AC=45×52=42.過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，則EM=MC=4.在Rt△EMF中由勾股定理可以得到EF=EM2+MF2，代入數(shù)據(jù)可以算出EF=213，所以可以得到EP=5242=1322.

從本題求解可以看出，四點(diǎn)共圓的概念在這里起到了承上啟下的作用，連接了Rt△EFG與Rt△ABC；再利用圓周角的性質(zhì)，可以得到Rt△EFG為等腰直角三角形［4］.

例3 如圖4所示，三角形ABC是等邊三角形，AB=7，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AD上一點(diǎn)，連接BH與CH，當(dāng)∠BHD=60°，∠AHC=90°時(shí)，求線段DH的長(zhǎng)度［5］.

思路引導(dǎo) 這里可以聯(lián)想到一個(gè)常見的幾何模型，如圖5所示.在圖5中，三角形ABC為等邊三角形，而點(diǎn)D、E、F是三邊上的點(diǎn)，且滿足BD=CE=AF；連接AD，BE與CF.顯然△ABD≌△BCE，進(jìn)一步可以得到△ABD∽△BHD，有BD2=DH·AD，并且有∠BHD=∠ABD=60°.

解 如圖4所示，延長(zhǎng)BH交邊AC于點(diǎn)E.由之前的討論可知BD2=DH·AD；通過(guò)條件∠BHD=∠BCA=60°可知，點(diǎn)D，C，E與點(diǎn)H四點(diǎn)共圓.

連接DE，則由圓周角的性質(zhì)可知：∠DEC=∠CHD=90°.

所以在Rt△DEC中，顯然有DC=2EC=2BD，所以可以得出點(diǎn)D與點(diǎn)E都是各邊的三等分點(diǎn).

至此需要計(jì)算出線段AD的長(zhǎng)度，可以利用等邊三角形BC邊的高來(lái)計(jì)算AD的長(zhǎng)度，作AF⊥BC.則AF=32×7=212，而DF=（12－13）AB=76，BD=BF-DF=73.再利用勾股定理可以得到AD=DF2+AF2=73，代入數(shù)據(jù)計(jì)算出DH=BD2AD=79×37=13.

結(jié)語(yǔ)

從整個(gè)求解過(guò)程來(lái)看，四點(diǎn)共圓起了關(guān)鍵性的作用，本文的三個(gè)例子都是如此；另外一個(gè)顯著的特點(diǎn)就是問(wèn)題本身?xiàng)l件幾乎不涉及圓，這就給問(wèn)題求解帶來(lái)了很多困難.利用四點(diǎn)共圓的方法來(lái)求解問(wèn)題，往往會(huì)有一種事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］伍磊.四點(diǎn)共圓在中考?jí)狠S題中的應(yīng)用——以廣東省近五年的中考題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（12）：42-45.

［2］黃一星.巧用四點(diǎn)共圓求解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（22）：32-33.

［3］李玲玲.化隱為顯 與圓共舞——例談“四點(diǎn)共圓”的判定及妙用［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（07）：9-11.

［4］王洪學(xué).“四點(diǎn)共圓”模型［J］.初中生輔導(dǎo)，2023（15）：48-49.

［5］賈立忠.人教A版的一道“四點(diǎn)共圓”題的教學(xué)實(shí)踐與思考［J］.牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2022（11）：111-113.