就角的大小構(gòu)造直角三角形后妙用勾股定理

【摘要】勾股定理是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)之一，也是初中數(shù)學(xué)乃至高中數(shù)學(xué)的常用知識(shí).勾股定理是在直角三角形的情境中產(chǎn)生的，所以也必須在直角三角形的問題情境中應(yīng)用.據(jù)統(tǒng)計(jì)，在對(duì)勾股定理的應(yīng)用題型中，常見的有解直角三角形、根據(jù)所給角度構(gòu)造直角三角形后利用勾股定理求邊長(zhǎng)、直角三角形和矩形的翻折問題以及昆蟲爬行問題等.本文就根據(jù)所給角度構(gòu)造直角三角形后利用勾股定理求邊長(zhǎng)的題型進(jìn)行討論，探究答題路徑及策略.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；勾股定理；解題策略

根據(jù)所給角度構(gòu)造直角三角形后利用勾股定理求邊長(zhǎng)的題型，由三角形的形狀，根據(jù)角的大小分為15°、22.5°；30°、45°、60°；75°、105°；120°、135°、150°四類非直角三角形的情況，下面就這四類情況具體展開例談.

1 針對(duì)有15°、22.5°的非直角三角形

例1 如圖1，已知△ABC中，∠BAC=15°，∠ACB=30°，AC=43，求AB的長(zhǎng).

解 如圖2，在邊AC找到點(diǎn)D，連接BD，使BC=BD，

則∠ACB=∠BDC=30°.

因?yàn)椤螧AC=15°，則∠DBA=15°，

所以AD=BD.

過B作邊AC的垂線，記垂足為E，

則有CE=ED=BDcos30°=ADcos30°=32AD，

則CD=3AD.

因?yàn)锳C=43，

所以CD+AD=（3+1）AD=AC=43，

解得AD=6-23，

所以ED=33-3，

則BE=ED·tan∠BDC=（33-3）×33-3-3.

又AE=AD+DE=6-23+33-3=3+3，

所以Rt△AEB中，有AB=AE2+BE2=3+32+3-32=24=26.

評(píng)注 題目是一個(gè)角為15°的非直角三角形，還知道另外一個(gè)角和一條邊，要求另外一邊.解答思想是根據(jù)15°的兩倍為30°，則取AC的中點(diǎn)D，連接BD后，可得∠ACB=∠BDC=30°，以此為依據(jù)建立直角三角形進(jìn)，然后在直角三角形情境中，勾股定理與三角函數(shù)相結(jié)合行求解即可.

2 針對(duì)有30°、45°、60°的非直角三角形

例2 如圖3，已知△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=2，求AC的長(zhǎng).

解 如圖4，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則有∠ABC+∠BAD=90°.

因?yàn)椤螦BC=45°，

所以∠ABC=∠BAD=45°，

所以AD=BD.

又AB=2，

所以AD=AB2－BD2=1.

因?yàn)椤螦CB=30°，

所以AC=2AD=2.

評(píng)注 題目是已知△ABC中，一個(gè)角為45°，另一個(gè)為30°，要求45°角的對(duì)應(yīng)邊.針對(duì)這類題型，一般思路是過三角形非特殊角的頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，這樣就構(gòu)造出了直角三角形，再結(jié)合勾股定理和三角函數(shù)即可解決問題.

3 針對(duì)有75°、105°的非直角三角形

例3 已知△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=75°，AC=8，求BC的長(zhǎng).

解 如圖5，作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D.

因?yàn)椤螦BC=45°，

所以∠BAD=45°，所以AD=BD，

又因?yàn)椤螧AC=75°，

所以∠CAD=30°，則在直角三角形ACD中，

因?yàn)锳C=8，

所以CD=4，AD=43.

又AD=BD=43，

所以BC=CD+BD=4+43.

評(píng)注 這種題型其實(shí)與例2是一種題型，解法也一樣.

4 針對(duì)有120°、135°和150°的非直角三角形

例4 已知△ABC中，∠ABC=135°，tan∠BAC=25，BC=42，求△ABC的面積.

解 如圖6，作CD⊥AB，垂足為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D.

因?yàn)椤螦BC=135°，

所以∠CBD=45°，所以△BCD是等腰直角三角形，

因?yàn)锽C=42，

所以CD=BD=4.

又tan∠BAC=25，

所以AD=10，

所以AB=6，

所以S△ABC=12·AB·CD=12.

評(píng)注 該題是在△ABC中，有∠ABC=135°，要求三角形的面積.因?yàn)椤螦BC=135°的外角為45°，所以我們以此為基礎(chǔ)，建立了如圖6所示的直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理可求出CD和AB，進(jìn)而可以求出三角形的面積.

5 結(jié)語(yǔ)

本文就根據(jù)所給角度構(gòu)造直角三角形后利用勾股定理求邊長(zhǎng)的題型從非直角三角形的角度大小分類進(jìn)行討論，具體分析了構(gòu)造直角三角形的方法和針對(duì)不同題型提供了答題策略.其實(shí)不管哪種題型，主要是抓住角30°、45°、60°，因?yàn)檫@三個(gè)角的三角函數(shù)值是已知的，才能把勾股定理和三角函數(shù)結(jié)合起來(lái)，這樣才能順利解決問題，有時(shí)候兩者均可以，這時(shí)候選擇性地使用，有時(shí)候利用三角函數(shù)更直接一些，答題時(shí)具體問題具體考慮.

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