如何求一次函數(shù)解析式

【摘要】求一次函數(shù)解析式是常考點.本文結(jié)合幾則典例，從四個方面進行分析探討，以幫助學(xué)生突破難點，提高學(xué)生的解題能力，以在考試中能夠從容應(yīng)對.

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù)；解題；初中數(shù)學(xué)

如何確定一次函數(shù)解析式？最基本的方法是根據(jù)直線上兩點的坐標(biāo)求解析式，但問題的設(shè)置常具有綜合性，有時需要我們根據(jù)正比例關(guān)系求解析式，根據(jù)函數(shù)的增減性求解析式，根據(jù)兩直線的交點坐標(biāo)求解析式，以下結(jié)合實例作分析探討.

1 根據(jù)兩點坐標(biāo)求一次函數(shù)解析式

根據(jù)一次函數(shù)圖象上兩個點的坐標(biāo)求一次函數(shù)解析式，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，在解答時，需要將每個點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別作函數(shù)的自變量、因變量，代入后建立二元一次方程組，通過解方程組求出待定系數(shù)的值，再將待定系數(shù)的值代入解析式.

例1 已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點A（-1，1）和點B（1，3），求此一次函數(shù)的解析式.

解析 （1）將A，B坐標(biāo)分別代入y＝kx+b中，得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式.即將A（-1，1）與B（1，3）代入y＝kx+b，得－k+b=1k+b=3，解得k＝1，b＝2，所以所求的解析式為y＝x+2.

評注 求一次函數(shù)圖象與x軸交點坐標(biāo)時，令解析式中的y=0，建立關(guān)于自變量的一元一次方程，解一元一次方程求出自變量的值，就是交點的橫坐標(biāo)；求一次函數(shù)圖象與y軸交點坐標(biāo)時，令x=0，建立關(guān)于因變量的一元一次方程，解一元一次方程求出因變量的值，就是交點的縱坐標(biāo).其他函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)的求法與此類似.

2 根據(jù)正比例關(guān)系求一次函數(shù)解析式

當(dāng)y=k（x+b）時，我們說y與x+b成正比例，實際上，y是x的一次函數(shù)；當(dāng)y+b=kx時，我們就說y+b與x成正比例，實際上，y是x的一次函數(shù).求解時，通常只需要自變量與因變量的一組對應(yīng)值，就能求得函數(shù)解析式，求得的解析式整理后實際上是一次函數(shù).

例2 已知y與x+2成正比例，且x＝1時，y＝-6.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)y＜0時，求x的取值范圍．

解析 （1）根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)解析式，把當(dāng)x＝1，y＝-6代入解析式，便可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式.即根據(jù)題意：設(shè)y＝k（x+2），把x＝1，y＝-6代入得：-6＝k（1+2），解得：k＝-2．則y與x函數(shù)關(guān)系式為y＝-2（x+2），即y＝-2x-4.

（2）當(dāng)y＜0時，代入求出x的取值范圍．即當(dāng)y＜0時，代入y＝-2x-4，則-2x-4＜0，解得：x＞-2．

評注 一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），當(dāng)因變量等于0時，一次函數(shù)變?yōu)橐辉淮畏匠蘫x+b=0，對應(yīng)一次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)；當(dāng)因變量小于0時，一次函數(shù)變?yōu)橐辉淮尾坏仁絢x+b＜0，對應(yīng)一次函數(shù)圖象在x軸下方的部分；當(dāng)因變量大于0時，一次函數(shù)變?yōu)橐辉淮尾坏仁絢x+b＞0，對應(yīng)一次函數(shù)圖象在x軸上方的部分.所以一次函數(shù)綜合了一元一次方程與一元一次不等式.

3 根據(jù)函數(shù)增減性求一次函數(shù)解析式

一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的增減性由比例系數(shù)k唯一決定，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小.但是反過來，當(dāng)已知自變量x的取值范圍，與對應(yīng)的因變量y的取值范圍，而k的值待定時，這個一次函數(shù)的增減性就可能有兩種情況，可能是y隨x的增大而增大，也可能是y隨x的增大而減小，所以應(yīng)分兩種情況進行討論.

例3 已知一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0），若-3≤x≤2，則-1≤y≤9，求一次函數(shù)的解析式．

解析 分k＞0及k＜0兩種情況，利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的解析式．即當(dāng)k＞0時，將（-3，-1），（2，9）代入y＝kx+b，得：－3k+b=－12k+b=9，解得：k=2b=5，所以一次函數(shù)的解析式為y＝2x+5.

當(dāng)k＜0時，將（-3，9），（2，-1）代入y＝kx+b，得：－3k+b=92k+b=－1，解得：k=－2b=3，所以一次函數(shù)的解析式為y＝-2x+3．

綜上所述 一次函數(shù)解析式為y＝2x+5或y＝-2x+3．

評注 本題已知x，y的取值范圍，并不是已知x，y的兩對值，也就是說，x與y的對應(yīng)關(guān)系并不明確，這就造成了k＞0與k＜0兩種情形；此題已知了一次函數(shù)解析式，在解答時就沒有必要再設(shè)解析式，如果條件中沒有一次函數(shù)解析式，通常設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0）.

4 根據(jù)兩直線的交點坐標(biāo)求一次函數(shù)解析式

兩條直線相交于一點，因為這一點既在這條直線上，又在另一條直線上，所以這個交點坐標(biāo)既滿足第一條直線的解析式，又滿足第二條直線的解析式.當(dāng)交點坐標(biāo)中有一個坐標(biāo)未知時，可以代入已知解析式，求出交點坐標(biāo)，再將交點坐標(biāo)作為已知條件代入所求直線解析式求解，這是一種迂回求解析式的方法.

例4 如圖1，在直角坐標(biāo)系中直線l1：y＝kx+b的圖象經(jīng)過點A（6，6），且與x軸相交于點B，與正比例函數(shù)y＝43x的圖象交于點C（m，4）.

（1）求m的值和直線l的表達式；

（2）設(shè)直線l交y軸于點D，求S△BOC∶S△DOC的值．

解析 （1）把點C（m，4）代入正比例函數(shù)y＝43x即可得到m的值，把點A和點C的坐標(biāo)代入y＝kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線l的表達式.

因為點C（m，4）在正比例函數(shù)y＝43x的圖象上，

所以43 m＝4，

所以m＝3，即點C坐標(biāo)為（3，4）.

因為直線l經(jīng)過A（6，6），點C（3，4），

所以6k+b=63k+b=4，

解得：k=23b=2，

所以直線l的表達式為：y＝23x+2.

（2）根據(jù)直線l的解析式求得點D，B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求得S△BOC，S△DOC，即可求得S△BOC∶S△DOC的值．

直線l：y＝23x+2，令x＝0．

則y＝2，所以D（0，2），

令y＝0，則0＝23x+2，

解得x＝-3，

所以B（-3，0），

所以S△BOC＝12×3×4＝6，S△DOC＝12×2×3＝3，

所以S△BOC∶S△DOC＝2∶1．

評注 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求三角形的面積，三角形的底邊與高應(yīng)在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的線段上，這樣可由點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為三角形的底邊與高，也可以由三角形的底邊與高轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)，本題中△BOC以橫軸上的線段為底邊，以平行于縱軸的線段為高；△DOC以縱軸上的線段為底邊，以平行于橫軸上線段為高，體現(xiàn)了在坐標(biāo)系里兩種求三角形面積的方法.

5 結(jié)語

綜上，不論是何種方法，其不變的是求出直線上兩點的坐標(biāo)才能確定一次函數(shù)解析式，實際上此種類型題以確定一次函數(shù)解析式為主線，融合了數(shù)學(xué)的其他知識，體現(xiàn)了問題的綜合性.

參考文獻：

［1］張金奎.“一次函數(shù)”解題錯誤類型與解決的對策分析［J］.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2022（06）：45-46.

［2］謝紅芬.初中一次函數(shù)解析式求法研究［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2015（14）：44.