圓錐曲線中與角度有關(guān)問題的求解策略

圓錐曲線與角度有關(guān)的問題一直是高考和模擬考試命題的熱點(diǎn).此類問題常常與解三角形、平面向量、斜率等知識結(jié)合在一起考查，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，本文通過最近的幾道模擬試題為著手點(diǎn)，重點(diǎn)分析解決此類題型的一般思路.

例1 已知F為拋物線T：x2=4y的焦點(diǎn)，直線l：y=kx+2與T相交于A、B兩點(diǎn).

（1）若k=1，求FA+FB的值；

（2）點(diǎn)C－3，－2，若∠CFA=∠CFB，求直線l的方程.

解： （1）；略

（2）法一：（向量視角）設(shè)Ax1 ，x1 24，Bx2 ，x2 24，

聯(lián)立y=kx+2，

x2=4y 消去y得x2－4kx－8=0，則x1+x2=4k，x1x2=－8.

由題意知，F(xiàn)A = x1 ，x1 24-1，F(xiàn)B = x2 ，x2 24-1，F(xiàn)C=－3，－3.

因?yàn)椤螩FA=∠CFB，所以cos∠CFA=cos∠CFB，即FA·FCFAFC=FB·FCFBFC.又FA = x1 24 + 1，F(xiàn)B = x2 24 + 1，F(xiàn)C=32，整理得4+2x1+x2－x1x2=0，即4+8k+8=0，解得k=－32，所以l：3x+2y－4=0.

法二：（角平分線定理）

由法一可知y1+y2=4k2+4，y1y2=4.

延長CF交AB于點(diǎn)E，聯(lián)立CF：y=x+1，

AB：y=kx+2 得E11－k，2k1－k.

由角平分線定理可知FAFB=AMBM，即y1+1y2+1=y1－2－k1－k2－k1－k－y2，

所以11－ky1+y2－2y1y2+4－2k1－k=0，故2k2+3k=0，解得k=－32，k=0（舍）.

法三：（斜率視角）由法一知x1+x2=4k，x1x2=－8.

因?yàn)椤螩FA=∠CFB，所以tan∠CFA=tan∠CFB，

即tan∠CFA=kAF－kCF1+kAFkCF=tan∠CFB=kCF－kBF1+kCFkBF，因?yàn)閗CF=－1，kAF=y1－1x1，kBF=y2－1x2，代入后化簡可得y1－1y2－1=x1x2，即kx1+1kx2+1=x1x2，所以k2=94，解得k=±32.

困惑：為什么會有兩個(gè)解，另外一個(gè)解如何舍掉呢？

筆者通過作圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k=32時(shí)，∠CFA=∠CFB－π，故而導(dǎo)致錯誤，所以k=－32.

評注： 通過三種解法，發(fā)現(xiàn)利用向量去解決最為方便，到角公式盡管運(yùn)算也比較簡潔，但會出現(xiàn)增根，對學(xué)生來說不容易取舍，必修要通過作圖檢驗(yàn)，有效避錯.

例2 （2023·泰州模擬）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)A1，0，B9，6，動點(diǎn)C在線段OB上，BD⊥y軸，CE⊥y軸，CF⊥BD，垂足分別是D，E，F(xiàn)，OF與CE相交于點(diǎn)P.已知點(diǎn)Q在點(diǎn)P的軌跡上，且∠OAQ=1200，則AQ等于（ ）.

A．4 B．2 C.43 D.23

解： 先求點(diǎn)P的軌跡方程，先設(shè)Px，y，則yC=y，直線lOP：y=23x，所以C32y，y，E0，y，F(xiàn)32y，6.因?yàn)镕C//y軸，所以ΔOPE～ΔFPC，則EPCP=OEFC，可得x32y－x=y6－y，化簡得y2=4x0≤x≤9.下面我們利用∠OAQ=1200來求AQ.

法一：（向量視角）設(shè)點(diǎn)Qx0，y0，所以AQ=x0－1，y0，AO=－1，0，所以cos∠OAQ=AO·AQAOAQ=1－x0x0－12+y30=1－x01+x0=－12.所以x0=3，則AQ=4.故選A.

法二：（斜率視角）因?yàn)椤螼AQ=1200，所以直線AQ的斜率k=3，從而直線AQ方程為x=33y+1代入y2=4x0≤x≤9得3y2－43y－12=0，解得y1=－233，y2=23，結(jié)合圖像知點(diǎn)P在第一象限，故Q3，23，所以AQ=4.

法三：（解三角形視角）設(shè)Qx0，y0，則AQ=x0+1，AO=1，OQ = x0 2 + y0 2，在ΔOQA中，根據(jù)余弦定理可得x0 2 + y0 2 = x0 + 12 + 1 + x0 + 1，又y0 2 = 4x0 ，解得x0=3，所以AQ=4.

評注： 本題分別從向量、解三角形、斜率三種不同的視角進(jìn)行解題，法二的時(shí)候需要結(jié)合題意畫出草圖，通過判斷點(diǎn)Q位置去掉增根.

例3 （2023安慶一模）在平面直角坐標(biāo)系中，ΔABC的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A－77a，0，B77a，0a>0，兩動點(diǎn)M，N滿足MA+MB+MC=0，NC=7NA=7NB，向量MN與向量AB共線.

（1）求ΔABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；

（2）若過點(diǎn)P0，a的直線與（1）的軌跡相交于E、F兩點(diǎn)，求PE·PF的取值范圍；

（3）若G－a，0，H2a，0，Q為C點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)λλ>0，使得∠QHG=λ∠QGH恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由.

解： （1）頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2－y23=a2.

（2）易得PE·PF的取值范圍是（－∞，4a2）∪20a2，+∞.

（3）設(shè)點(diǎn)Qx0，y0x0>0，y0>0當(dāng)直線QH與x軸垂直時(shí)，解得Q2a，3a，則QH=HG，故∠QGH=π4，所以λ=2.如果λ存在，則λ=2.當(dāng)直線QH不與x軸垂直時(shí)，tan∠QGH=y0x0+a，tan∠QHG=－y0x0－2a，

則tan∠QHG=tan2∠QGH=2tan∠QGH1－tan2∠QGH=－y0x0－2a=tan∠QHG.綜上所述，λ=2.

評注： 本題是一道存在性問題，給出的兩個(gè)角都與坐標(biāo)軸有關(guān)，且三個(gè)點(diǎn)的位置明確，故將角度問題轉(zhuǎn)化為斜率來說運(yùn)算比較簡單，其類似于2022年全國甲卷的高考題.

通過上面的例題，在解決圓錐曲線中遇到與角度的問題時(shí)，盡管可以使用多種方法，但筆者認(rèn)為還是要選擇優(yōu)解，如果是角度與坐標(biāo)軸的夾角，優(yōu)先考慮轉(zhuǎn)化為斜率；如果是以點(diǎn)坐標(biāo)形式呈現(xiàn)，優(yōu)先考慮利用向量的數(shù)量積運(yùn)算；如果是以線段的長度問題呈現(xiàn)，優(yōu)先考慮解三角形解決問題.