一道拋物線試題的解法探究與推廣

本文給出對(duì)2024年合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷第18題的解法探究，并對(duì)該題進(jìn)行推廣.

1．問(wèn)題呈現(xiàn)

題目 已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F0，1，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B作C的切線l1，l2，交于點(diǎn)M，且l1，l2與x軸分別交于點(diǎn)D，E.

（1）求證：DE=MF；

（2）設(shè)點(diǎn)P是C上異于A，B的一點(diǎn)，P到直線l1，l2，l的距離分別為d1，d2，d，求d1d2d2的最小值.

此題以拋物線和阿基米德三角形為背景，將切線、交點(diǎn)弦與距離相融合，問(wèn)題表述簡(jiǎn)捷，但設(shè)置新穎，符合“三新”背景下的高考改革要求.在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想和關(guān)鍵能力的同時(shí)，進(jìn)一步考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2.問(wèn)題解析

解法1：（1）易知C的方程為x2=4y.設(shè)點(diǎn)Ax1，y1，Bx2，y2，由題意可設(shè)l：y=kx+1，聯(lián)立拋物線方程，可知x1+x2=4k，x1x2=－4.再根據(jù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，得l1：y－y1=x12x－x1，即y=x12x－x214.求得Dx12，0.同理，l2：y=x22x－x224，且Ex22，0，所以DE=12x1－x2=12x1+x22－4x1x2=2k2+1.

由y=x12x－x214，

y=x22x－x224， 求出M2k，－1，所以MF=4k2+4=2k2+1.故DE=MF.

（2）設(shè)點(diǎn)Px0，y0，由（1），l1：y－y1=x12x－x1，即l1：2x1x－4y－x21=0.

因?yàn)閤21=4y1，x20=4y0，所以d1=2x1x0－4y0－x214x21+16=2x1x0－x20－x214x21+16=x1－x022x21+4.

同理，d2=x2－x022x22+4.所以d1d2=x1－x022x21+4·x2－x022x22+4 = -4-4kx0 + x0 2232k2 + 1，

又d=kx0－y0+1k2+1=kx0－x204+1k2+1=4kx0－x20+44k2+1，所以d1d2d2=－4－4kx0+x20232k2+1·16k2+14kx0－x20+42=k2+12≥12.

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，等號(hào)成立.即直線l斜率為0時(shí)，d1d2d2取最小值12.

點(diǎn)評(píng)：解法1根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，解題的一般思路是“設(shè)直線方程（求出切線方程）→根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線距離公式→利用點(diǎn)在直線上轉(zhuǎn)化→化簡(jiǎn)求解”，方法直接，符合大多數(shù)學(xué)生認(rèn)知，但是有一定的運(yùn)算量.

解法2：（1）易知拋物線方程為x2=4y. 設(shè)A2a，a2，B2b，b2，設(shè)直線l，l1，l2的斜率分別為k，k1，k2，由x2=4y得y′=12x，則k1=a，k2=b，所以切線l1：y－a2=

ax－2a，令y=0得xD=a.同理，xE=b.所以DE=xD－xE=b－a.

由k=a2－b22a－2b=a+b2，得l：y=a+b2x+1，代入x2=4y，得x2－2a+bx－4=0，所以2a·2b=－4，即a·b=－1.解方程組y=ax－a2，

y=bx－b2， 得xM=a+b，

yM=ab=－1. 所以MF=a+b2+4=a+b2－4ab=a－b2=b－a.故DE=MF.

（2）設(shè)P2c，c2，則點(diǎn)P到l1：ax－y－a2=0的距離d1=2ac－c2－a2a2+1=a－c2a2+1，

同理點(diǎn)P到l2的距離d2=b－c2b2+1，所以d1·d2=a－c2a2+1·b－c2b2+1=a－c2b－c2a2+1b2+1.

點(diǎn)P到l：a+bx－2y+2=0的距離d=2（a+b）c－2c2+2a+b2+4=2（a+b）c－c2+1a+b2+4=2（a－c）b－ca2+b2+2，所以d2=4（a－c）2b－c2a2+b2+2.從而d1d2d2=a2+b2+24a2+1b2+1≥2a2+1b2+14a2+1b2+1=12.當(dāng)a2=b2=1時(shí)，等號(hào)成立.故d1d2d2最小值為12.

點(diǎn)評(píng)：解法2根據(jù)題意巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到a·b=－1，在解決第（2）問(wèn)時(shí)，根據(jù)a·b=－1將d化簡(jiǎn)成2（a+b）c－c2－aba2+b2+2，再因式分解得到d=2（a－c）b－ca2+b2+2，這是解決本題的關(guān)鍵，最后再根據(jù)基本不等式即可得到結(jié)果，方法2不易想到，而且化簡(jiǎn)變形有一定的難度.

解法3：（1）易知拋物線方程為x2=4y.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Ma，b，則xi 2 = 4yi （i = 1，2）.由拋物線的切線方程可知A、B點(diǎn)處切線方程分別為l1：x1x－2y－2y1=0①，l2：x2x－2y－2y2=0，令①中的y=0，可得xD=2y1x1=x12.同理可得xE=x22.所以DE=12x1－x2.由切點(diǎn)弦方程可知l：ax=2b+2y，再將F0，1代入可知b=－1，即Ma，－1，且l：y=a2x+1，所以MF=a2+4.聯(lián)立y=a2x+1，

x2=4y 可得x2－2ax－4=0.所以x1+x2=2a，x1x2=－4.所以DE=12x1－x2=12x1+x22－4x1x2=124a2+16=MF.

（2）不妨假定Px0，y0，則x0 2 = 4y0 .所以d1 = x1 x0 -2y0 -2y1 x1 2 + 4 = x1 x0 -x0 22-x1 22x1 2 + 4 = 12·2x1 x0 -x0 2-x1 2x1 2 + 4 = 12·x1 -x0 2x1 2 + 4，

同理可得d2 = 12·x2 -x0 2x2 2 + 4，于是有d1 d2 = 14·x1 -x0 2x2 -x0 2x1 2 + 4x2 2 + 4.

由前文知l：ax－2y+2=0，所以d = ax0 -2y0 + 2a2 + 4 = x1 + x2 2x0 -x0 22 + 2x1 + x2 22-x1 ·x2 = x1 + x2 2x0 -x0 22 + 212x1 -x2 =x1－x0x2－x0x1－x2，

可得d1 d2 d2 = 14·x1 -x0 2x2 -x0 2x1 2 + 4x2 2 + 4x1 -x0 2x2 -x0 2x1 -x2 2 = 14·x1 -x2 2x1 2 + 4x2 2 + 4 = 14·x1 2 + x2 2-2x1 x2 x1 2 + 4x2 2 + 4 = 14·x1 2 + 4 + x2 2 + 4x1 2 + 4x2 2 + 4≥14·2x1 2 + 4·x2 2 + 4x1 2 + 4x2 2 + 4 = 12.

點(diǎn)評(píng)：解法3主要是通過(guò)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的切線方程和切點(diǎn)弦方程直接寫出相應(yīng)的方程，在解決第（2）問(wèn)時(shí)根據(jù)直線l和拋物線聯(lián)立的方程得到x1x2=－4，在化簡(jiǎn)d = x1 + x2 x0 -x0 2 + 4x1 -x2 時(shí)，將4用－x1x2替換，此方法與解法2有相似之處，但是此法設(shè)點(diǎn)和做法比較傳統(tǒng)，學(xué)生容易接受，是常規(guī)的解題模型.

3.命題推廣

已知拋物線C：y2=2px（p≠0）或（x2=2py（p≠0））的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B作C的切線l1，l2，交于點(diǎn)M，且l1，l2與y或x軸分別交于點(diǎn)D，E，則有下列結(jié)論成立：

結(jié)論1 拋物線C：x2=2py（p≠0），直線l，l1，l2的斜率分別為k，k1，k2，則k1+k2k=2.

結(jié)論2 拋物線C：y2=2px（p≠0），直線l，l1，l2的斜率分別為k，k1，k2，則kk1+k2=－2.

結(jié)論3 MF⊥AB.

結(jié)論4 DE=MF=AF·BF.

結(jié)論5 設(shè)點(diǎn)P是C上異于A，B的一點(diǎn)，P到直線l1，l2，l的距離分別為d1，d2，d，則d1d2d2的最小值為12.

證明：以下僅證明C：y2=2px（p≠0）時(shí)結(jié)論成立，對(duì)于x2=2py（p≠0）同理可證.

結(jié)論1的證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（a，b），由x2=2py，知y′=xp，可得k1=x1p，k2=x2p，即k1+k2=x1+x2p，由切點(diǎn)弦方程可知l：ax=pb+py，將F0，p2代入可知Ma，－p2，且l：y=apx+p2，即k=ap，聯(lián)立y=apx+p2

x2=2py ，可得x2－2ax－p2=0，有x1+x2=2a，x1x2=－p2，即k=x1+x22p，所以k1+k2k=2.

結(jié)論2 、3的證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Ma，b，則yi 2 = 2pxi i = 1，2.

由拋物線的切線方程可知A、B點(diǎn)處切線方程分別為l1：px－y1y－px1=0②，

l2：px－y2y－px2=0，可知k1=py1，k2=py2，得k1+k2=py1+y2y1y2.

由切點(diǎn)弦方程可知l：by=px+pa，再將Fp2，1代入可知M－p2，b，且l：by=px－p22，k=pb，聯(lián)立by=px－p22，

y2=2px 可得y2－2by－p2=0.所以y1+y2=2b，y1y2=－p2.所以k1+k2=2bp－p2=2b－p，所以kk1+k2=－2.此時(shí)kMF=b－p2－p2=b－p，可得k·kMF=－1，故MF⊥AB.

結(jié)論4的證明：由結(jié)論2的證明過(guò)程，即拋物線的焦半徑公式可知

AF·BF=x1+p2x2+p2=x1x2+p2x1+x2+p24=b2+p2，

又MF2=a－p22+b2=－p2+b2=p2+b2，所以MF=AF·BF.

在②中，令x=0，得yD=－px1y1=－y12，同理yE=－y22.所以DE=12y1－y2=12y1+y22－4y1y2=124b2+4p2=b2+p2.

所以DE=MF=AF·BF，即結(jié)論4成立.

結(jié)論5的證明：不妨假定Px0，y0，則x0 2 = 4y0 .所以d1 = px0 -y1 y0 + px1 y1 2 + p = p·y0 22p-y1 y0 + p·y1 22py1 2 + p = 12·y1 -y0 2y1 2 + p.

同理可得d2 = 12·y2 -y0 2y2 2 + p.可得d1 d2 = 14·y1 -y0 2y2 -y0 2y1 2 + p2y2 2 + p2.

所以d = by0 -px0 + p22b2 + p2 = y1 + y2 2y0 -p·y0 22p + p22y1 + y2 22-y1 ·y2 = y1 -y0 y2 -y0 y1 -y2 ，

d1 d2 d2 = 14·y1 -y0 2y2 -y0 2y1 2 + p2y2 2 + p2y1 -y0 2y2 -y0 2y1 -y2 2 = 14·y1 -y2 2y1 2 + p2y2 2 + p2

= 14·y1 2 + p2 + y2 2 + p2y1 2 + p2y2 2 + p2≥14·2y1 2 + p2y2 2 + p2y1 2 + p2y2 2 + p2 = 12，

當(dāng)且僅當(dāng)y1 2 + p2 = y2 2 + p2，即y1=－y2時(shí)取得等號(hào)，顯然是可以取到的，故

d1d2d2最小值為12.