圓錐曲線與三角形的“五心”問題分類導(dǎo)析

圓錐曲線與三角形的“五心”（重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心）問題是一類極富思考性和挑戰(zhàn)性，具有相當(dāng)深度和難度的重要題型，頻頻出現(xiàn)在各級(jí)各類考試卷中，凸顯出較好的區(qū)分和選拔功能，是考查學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的極好素材.本文分類并配例加以剖析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、圓錐曲線與三角形的“重心”問題

例1 （2024·武漢市模擬題）過點(diǎn)P作拋物線C：x2=2y的切線l1，l2，切點(diǎn)分別為M，N，若ΔPMN的重心坐標(biāo)為（1，1），且P在拋物線T：y2=mx上，則T的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）.

A.14，0B.12，0C.24，0D.22，0

導(dǎo)析：設(shè)Mx1，x212，Nx2，x222，x1≠x2，P（xP，yP），由x2=2y，得y=x22，則y′=x，故直線l1的方程為y－x212=x1x－x1，即y=x1x－x212，同理直線l2的方程為y=x2x－x222，聯(lián)立直線l1，l2的方程可得xP=x1+x22，yP=x1x22.設(shè)ΔPMN的重心坐標(biāo)為（x0，y0），則x0=x1+x2+x1+x223=1，y0=x212+x222+x1x223=1，即x1+x2=2，

x21+x22+x1x2=6，

所以x1+x2=2，

x1x2=－2， 則P1，－1，

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y2=mx，得－12=m×1，解得m=1，故T的焦點(diǎn)坐標(biāo)為14，0，故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程及幾何性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及三角形的重心坐標(biāo)公式，考查考生的運(yùn)算求解能力.

類題1 （2024·襄陽市模擬題）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點(diǎn)為B，斜率為334的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若ΔBMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為（ ）.

A.22 B.32 C.12 D.63

類題2 （2023·青島市模擬題）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，P1（x1，y1），P2x2，y2，P3（x3，y3）為拋物線C上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中x1<x2<x3且y2<0，若F為ΔP1P2P3的重心，ΔP1P2P3的三邊P1P2，P1P3，P2P3的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，d3，且滿足d1+d3=2d2，則直線P1P3的斜率為（ ）.

A.1 B.32 C.2 D.3

提示：類題1，2答案均為C.

二、圓錐曲線與三角形的“內(nèi)心”問題

例2 （2024·廣州市模擬題）已知雙曲線x2a2－y2b2=1a>0，b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且交雙曲線的右交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，記ΔAF1F2的內(nèi)心為M，內(nèi)切圓半徑為r1，ΔBF1F2的內(nèi)心為N，內(nèi)切圓半徑為r2，若r1：r2=3：1，則直線l的斜率為 .

導(dǎo)析：如圖1，連接MN，MF2，NF2，MN與x軸交于點(diǎn)H，根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心性質(zhì)可得MN⊥x軸，且點(diǎn)H的坐標(biāo)為a，0，由于r1：r2=3：1，于是MH=3NH，因此F2Htan∠MF2H=3F2Htan∠NF2H，即tan∠MF2H=3tan∠NF2H.設(shè)直線l的傾斜角為θ，則∠MF2H=π2－θ2，∠NF2H=θ2，于是有tanπ2－θ2=1tanθ2=3tanθ2，進(jìn)而得到tanθ2=33，從而θ2=π6，于是θ=π3，因此直線l的斜率為tanθ=tanπ3=3.

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心性質(zhì)，引入直線l的傾斜角并借助三角知識(shí)可順利得解.

類題（2024·鄭州市模擬題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為C上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，M為ΔPF1F2的內(nèi)心，若5MF1+3MF2+3MP=0，則該橢圓的離心率為 .

答案：38.

三、圓錐曲線與三角形的“外心”問題

例3 （2024·長沙市模擬題）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2－y2=1a>0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)D，且D為MF2的中點(diǎn)，I為ΔOMF2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的外心，若O，I，D三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為（ ）.

A.2 B.3C.5 D.5

導(dǎo)析：如圖2，不妨設(shè)點(diǎn)M在第二象限，設(shè)Mm，n，F(xiàn)2c，0，由D為MF2的中點(diǎn)，I為ΔOMF2的外心，O，I，D三點(diǎn)共線知直線OD垂直平分線段MF2，直線OD的方程為y=xa，故nm－c=－a，且12·n=1a·m+c2，解得m=a2－1c，n=2ac.將Ma2－1c，2ac，即M2a2－c2c，2ac，代入雙曲線的方程可得2a2－c22a2c2－4a2c2=1，化簡可得c2=5a2，即e=5，當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，同理可得e=5.故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形外心的定義及性質(zhì)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)a2－1c，2ac換成2a2－c2c，2ac代入雙曲線方程是求解的關(guān)鍵.考查考生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.

類題（2024·重慶市模擬題）已知橢圓C：x24+y23=1，過其左焦點(diǎn)F1作直線l交橢圓C于P，A兩點(diǎn)，取P點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B.若G點(diǎn)為ΔPAB的外心，則PAGF1=（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.以上都不對

答案：C.

四、圓錐曲線與三角形的“垂心”問題

例4 （2023·荊州市模擬題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：x2a2－y2b2=1a>0，b>0的漸近線與拋物線C2：x2=2pyp>0交于點(diǎn)O，A，B，若ΔOAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為 .

導(dǎo)析：雙曲線C1：x2a2－y2b2=1a>0，b>0的漸近線方程為y=±bax，由對稱性不妨取A2pba，2pb2a2，B－2pba，2pb2a2，C2：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F0，p2，則kAF=2pb2a2－p22pba=ab，即b2a2=54，∴C1的離心率e=1+b2a2=1+54=32.

點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線和拋物線為載體考查三角形重心的定義及性質(zhì)，考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力.

類題 （2023·太原市模擬題）已知橢圓x28+y24=1的右焦點(diǎn)為F，M為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)F為ΔPQM的垂心時(shí)，則ΔPQM的面積為 .

答案：282227.

五、圓錐曲線與三角形的“旁心”問題

例5 （2024·茂名市模擬題）與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心.如圖3所示，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x29－y216=1的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，Q是ΔPF1F2的一個(gè)旁心，直線PQ與x軸交于點(diǎn)M，則MQPQ=（ ）.

A.34 B.43 C.32 D.53

導(dǎo)析：在雙曲線x29－y216=1中，a2=9，b2=16，所以a=3，b=4，則c=a2+b2=5.如圖4，連接F1Q、F2Q，由三角形旁心的定義可知F1Q，F(xiàn)2Q分別平分∠PFM，∠PF2M，在ΔPF1Q中，PF1sin∠MQF1=MQsin∠PF1Q，在ΔMF1Q中，MF1sin∠MQF1=MQsin∠MF1Q，因?yàn)椤螾QF1+∠MQF1=π，∠PF1Q=∠MF1Q，所以sin∠PQF1=sin∠MQF1，sin∠PF1Q=sin∠MF1Q，所以MQPQ=MF1PF1，同理可得MQPQ=MF2PF2，所以MQPQ=MF2PF2=MF1PF1=MF1－MF2PF1－PF2=2c2a=e，又e=ca=53，故MQPQ=53.故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合旁切圓及旁心的定義和性質(zhì)考查正弦定理、等比定理及雙曲線離心率的求解方法，是一道很好的創(chuàng)新題.

類題 （2024·隨州市模擬題）已知點(diǎn)P為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上異于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點(diǎn)，連接PF1，PF2作ΔPF1F2的旁切圓（與線段PF2、F1P延長線及F1F2延長線均相切），其圓心為O′（也稱為ΔPF1F2的旁心），則動(dòng)圓圓心O′的軌跡所在曲線是（ ）.

A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線

答案：A.

六、圓錐曲線與三角形的“多個(gè)心”問題

例6 （2024·石家莊市模擬題）已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1a>0，b>0的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且PF2⊥F1F2，I和G分別是ΔPF1F2的內(nèi)心和重心，若IG與x軸平行，則雙曲線的離心率為（ ）.

A.3 B. C.3 D.4

導(dǎo)析：如圖5，不妨設(shè)Px，y在第一象限，因?yàn)镻F2⊥F1F2，所以x=c，所以Pc，b2a.連接OP，則點(diǎn)G在OP上，且OG=13OP，所以Gc3，b23a.因?yàn)镮G與x軸平行，所以點(diǎn)I的縱坐標(biāo)等于b23a.設(shè)Im，b23a，ΔPF1F2的內(nèi)切圓與F1F2相切于雙曲線的右頂點(diǎn)Aa，0，所以m=a，所以Ia，b23a.因?yàn)棣F1F2為直角三角形，所以其內(nèi)切圓半徑r=b23a=c－a，即c2－a23a=c－a，

即c2－3ac+2a2=0，得ca=2或ca=1（舍去）.故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的內(nèi)心、重心的定義和性質(zhì)，考查雙曲線離心率的求解方法，其中用到雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學(xué)探索.

例7 （2024·福建省十校聯(lián)考題）斜率為1的直線與雙曲線E：x2a2－y2b2=1a>0，b>0交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是雙曲線E上的一點(diǎn)，滿足AC⊥BC，ΔOAC和ΔOBC的重心分別為P，Q，ΔABC的外心為R，記直線OP，OQ，OR的斜率分別為k1，k2，k3，若k1k2k3=－8，則雙曲線E的離心率為 .

導(dǎo)析：如圖6，取AC，BC的中點(diǎn)分別為M，N.

因?yàn)棣AC的重心P在中線OM上，ΔOBC的重心Q在中線ON上，所以k1=kOP=kOM，k2=kOQ=kON，可得kOM·kAC=kON·kBC=b2a2，即k1·kAC=k2·kBC=b2a2（用到雙曲線中的一個(gè)二級(jí)結(jié)論）.由AC⊥BC，得kAC·kBC=－1，所以k1·k2=－b2a22.因?yàn)锳C⊥BC，且ΔABC的外心為R，則R為線段AB的中點(diǎn)，所以kOR·kAB=b2a2.又kAB=1，所以kOR=b2a2，所以k1k2k3=－b2a23=－8，解得ba=2，所以雙曲線E的離心率e=ca=1+ba2=3.

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的重心、外心的定義和性質(zhì)，考查雙曲線離心率的求解方法，其中用到雙曲線中的一個(gè)二級(jí)結(jié)論kOM·kAC=kON·kBC=b2a2.考查考生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.

類題1 （2024·福州市模擬題）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上不與左、右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，I，G分別為ΔPF1F2的內(nèi)心和重心，當(dāng)IG⊥x軸時(shí)，橢圓的離心率為（ ）.

A.13 B. 12 C. 32 D. 63

答案：A

類題2 （2024·湖南省八校聯(lián)考題）（多選題） 瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線l與y軸及雙曲線x2a2－y2b2=1a>0，b>0的兩條漸近線的三個(gè)不同交點(diǎn)構(gòu)成集合M，且M恰為某三角形的外心、重心、垂心所構(gòu)成的集合，若l的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）.

A.265 B.52 C.2 D.10

提示：類題1，2答案分別為A；ABD.