構(gòu)建方程求最值，數(shù)形結(jié)合探本質(zhì)

函數(shù)最值問(wèn)題涉及到函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)，而且當(dāng)函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)，問(wèn)題往往也較難解決，本文以一道經(jīng)典試題為題，通過(guò)探究該題的解答過(guò)程，很好體現(xiàn)了如何構(gòu)建方程，采用數(shù)形結(jié)合思想解答函數(shù)最值問(wèn)題，現(xiàn)將筆者的思考展現(xiàn)如下，以饗讀者.

一.問(wèn)題提出

原題 設(shè)函數(shù)f（x）=1-xx-a，則下列說(shuō)法正確的是.

A.若a<0，則f（x）在0，1上單調(diào)遞減

B.若a>1，則f（x）min=f（1a）

C.若a=1，則f（x）≤-11-x

D.若a∈（0，1），f（x）無(wú)最大值，也無(wú)最小值

根據(jù)以上問(wèn)題及問(wèn)題的解答過(guò)程的啟示，可以提出如下三個(gè)探究.

探究1 當(dāng)a>2時(shí)，f（x）=4-xx-a的最小值為.

探究2 當(dāng)a>1時(shí)，f（x）=1-3xx-a的最小值為.

探究3 當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）=1+xx-a的最大值為.

二.問(wèn)題解析及評(píng)注

原題 設(shè)函數(shù)f（x）=1-xx-a，則下列說(shuō)法正確的是.

A.若a<0，則f（x）在0，1上單調(diào)遞減

B.若a>1，則f（x）min=f（1a）

C.若a=1，則f（x）≤-11-x

D.若a∈（0，1），f（x）無(wú)最大值，也無(wú)最小值

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)a<0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)?，1.此時(shí)有y=1-x在0，1上單調(diào)遞減，y=x-a在0，1上單調(diào)遞增.故f（x）在0，1上單調(diào)遞減.A正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，解法一：（反證法）當(dāng)a>1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)?，1.假設(shè)此時(shí)f（x）min=f（1a）成立.那么對(duì)a>1，0≤x≤1，都有f（0）≥f（1a）恒成立，即-1a≥1-1a1a-a，化簡(jiǎn)得a+1a-2a≤0，顯然，該式取a=4時(shí)，14≤0不成立.故f（x）min≠f（1a）.

解法二：（換元法）當(dāng)a>1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)?，1.令1-x=m∈0，1，x=n∈0，1，則f（x）=mn-a.因?yàn)閙2+n2=1，且mn-a=m-0n-a可看作是點(diǎn)A（m，n）與點(diǎn)B（a，0）連線的斜率，所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求過(guò)定點(diǎn)（a，0）的直線l與一段圓?。簃2+n2=1（m∈0，1，n∈0，1）上的點(diǎn)與定點(diǎn)（a，0）連線斜率的最小值.由題意有m2+n2=1，nm·nm-a=-1，解得m=1a，即1-x=1a，解得x=1-1a2，故f（x）min=f（1-1a2），所以B錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)?，1，f（x）=1-xx-1≤-11-x，化簡(jiǎn)得x≤x，該式在x∈0，1時(shí)恒成立，故C正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，f（x）的定義域?yàn)?，1Ua，1.當(dāng)x→a+時(shí)，f（x）→+∞；當(dāng)x→a-時(shí)，f（x）→-∞.所以f（x）無(wú)最大值，也無(wú)最小值.D正確.

三.反思與探究

關(guān)于選項(xiàng)B，本題利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求過(guò)定點(diǎn)（a，0）的直線l與一段圓弧上的點(diǎn)與定點(diǎn)（a，0）連線斜率的最值問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解目標(biāo)的等價(jià)轉(zhuǎn)換.

問(wèn)題2 根據(jù)以上問(wèn)題及問(wèn)題的解答過(guò)程的啟示，你還能提出什么問(wèn)題？請(qǐng)解決你提出的問(wèn)題.

如果改變根式中x的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)，能否同樣地利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求斜率的最值問(wèn)題？找到解決這類問(wèn)題的通性通法.將問(wèn)題進(jìn)行如下變式：

探究1 當(dāng)a>2時(shí)，f（x）=4-xx-a的最小值為.

解析：令m=4-x，n=x，x∈0，4，m∈0，2，n∈0，2，由m2+n2=4（0≤m≤2，0≤n≤2），得（m，n）以原點(diǎn)（0，0）為圓心，半徑為2的圓的14圓弧，f（x）=4-xx-a=mn-a的最小值為圓弧上的點(diǎn)與點(diǎn)（a，0）連線的斜率最小值，即當(dāng)過(guò)點(diǎn)（a，0）的直線與圓弧相切時(shí)，斜率有最小值.

設(shè)直線方程為y=k（x-a）（k<0），由直線與圓弧相切d=r，得d=-akk2+1=2，得kmin=-4a2-4.∴f（x）min=-4a2-4.

評(píng)注：改變圓弧半徑的大小，不改變（m，n）的形狀，讓學(xué)生掌握此解題方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的數(shù)學(xué)意識(shí)，體會(huì)換元法與數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)點(diǎn).

探究2 當(dāng)a>1時(shí)，f（x）=1-3xx-a的最小值為.

解析：令m=1-3x，n=x，x∈0，13，m∈0，1，n∈0，13.

由m2+3n2=1（0≤m≤1，0≤n≤13），即m2+n213=1，得（m，n）的軌跡是以a=1，b=33的橢圓方程在m≥0，n≥0的曲線.f（x）=1-3xx-a=mn-a的最小值為曲線上的點(diǎn)與點(diǎn)（a，0）連線的斜率最小值，即當(dāng)過(guò)點(diǎn)（a，0）的直線與橢圓相切時(shí)，斜率有最小值.

設(shè)直線方程為y=k（x-a）（k<0），聯(lián)立y=k（x-a），m2+3n2

得x2+3k2（x-a）2=1，化簡(jiǎn)得（1+3k2）x2-6ak2x+3a2k2-1=0，

∴△=（-6ak2）2-4（1+3k2）（3a2k2-1）=0，得k2=13a2-3，kmin=-13a2-3.

∴f（x）min=-13a2-3.

評(píng)注：改變根式中x的系數(shù)，此時(shí)（m，n）的形狀變?yōu)闄E圓上的一段曲線，讓學(xué)生的思維更進(jìn)一步，探究直線與橢圓的位置關(guān)系.問(wèn)題設(shè)計(jì)體現(xiàn)了層層遞進(jìn)，循序漸進(jìn)的原則，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力.

探究3 當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）=1+xx-a的最大值為.

解析：令m=1+x，n=x，x∈0，+∞，m∈0，+∞，n∈0，+∞.

由m2-n2=1（m≥0，n≥0），得（m，n）的軌跡是以a=1，b=1的雙曲線方程在m≥0，n≥0的曲線部分.f（x）=1+xx-a=mn-a的最大值為曲線上的點(diǎn)與點(diǎn)（a，0）連線的斜率最大值，即當(dāng)過(guò)點(diǎn)（a，0）的直線與雙曲線相切時(shí)，斜率有最大值.

設(shè)直線方程為y=k（x-a）（k>0），聯(lián)立y=k（x-a），m2-n2=1

得x2-k2（x-a）2=1，化簡(jiǎn)得（1-k2）x2+2ak2x-（a2k2+1）=0，

∴△=（2ak2）2+4（1-k2）（a2k2+1）=0，得k2=11-a2，kmax=11-a2.

∴f（x）max=11-a2.

評(píng)注：改變根式中x的系數(shù)，此時(shí)（m，n）的形狀變?yōu)殡p曲線上的一段曲線.問(wèn)題的設(shè)計(jì)從圓→橢圓→雙曲線，體現(xiàn)了思維的延續(xù)性與發(fā)散性，同時(shí)也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)，也可以嘗試讓學(xué)生自己進(jìn)行變式，進(jìn)而理解和掌握數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)深刻理解解析幾何在解決這類函數(shù)最值問(wèn)題，也是發(fā)揮著及其重要作用的，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)有積極作用，在上述過(guò)程中，借助數(shù)形結(jié)合實(shí)際解決了這樣一類函數(shù)f（x）=x+bx－a最值與圓，橢圓，雙曲線之間的本質(zhì)聯(lián)系.

參考文獻(xiàn)

［1］賈永進(jìn)，趙永彩，楊列敏.對(duì)一類解析幾何問(wèn)題的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)參考（上旬）.2020（11）：52-54.