圓錐曲線中有關(guān)斜率與定點(diǎn)定值的兩個結(jié)論及應(yīng)用

圓錐曲線有著非常豐富的性質(zhì)和許多美妙的結(jié)論，若在平時的學(xué)習(xí)中注意總結(jié)、積累并合理運(yùn)用，在解題中將收到事半功倍的效果．本文介紹圓錐曲線中與斜率及定點(diǎn)定值有關(guān)的兩個結(jié)論，并舉例說明其應(yīng)用．

結(jié)論1 已知動直線l交橢圓x2a2+y2b2=1（a>0，b>0，a不一定大于b）于A、B兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)P（－a，0）），m≠0，m≠±a（m為常數(shù)），設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則

（1）l過定點(diǎn)（m，0） k1k2=b2（m－a）a2（m+a）；定值

（2）l過定點(diǎn)（－a，m）k1+k2=2b2ma；定值

（3）l過定點(diǎn)（a，m） 1k1+1k2=2am.定值

證明： 先對橢圓方程變形x2a2+y2b2=1（（x+a）－a）2a2+y2b2=1（x+a）2a2－2a（x+a）+y2b2=0，

設(shè)直線AB的方程為p（x+a）+qy=1，代入上式得（x+a）2a2－2a（x+a）（p（x+a）+qy）+y2b2=0

（1a2－2pa）（x+a）2－2qa（x+a）y+y2b2=0（1－2pa）b2（x+a）2－2qab2（x+a）y+a2y2=0a2（yx+a）2－2qab2·yx+a+（1－2pa）b2=0.設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），又點(diǎn)P（－a，0），∴k1=y1+ax1，k2=y2+ax2，∴k1與k2是關(guān)于k的二次方程a2k2－2qab2k+（1－2pa）b2=0的兩根，∴k1+k2=2qb2a，k1k2=（1－2pa）b2a2，所以（1）k1k2=b2（m－a）a2（m+a）（1－2pa）b2a2=b2（m－a）a2（m+a）1－2pa=m－am+a（m+a）－2pa（m+a）=m－ap（m+a）=1l過定點(diǎn)（m，0）.

（2）k1+k2=2b2ma2qb2a=2b2maqm=1l過定點(diǎn)（－a，m）.

（3）1k1+1k2=2am2qa1－2pa=2amq1－2pa=1m2pa+qm=1l過定點(diǎn)（a，m）.

注：當(dāng)P為橢圓右頂點(diǎn)時，只需將結(jié)論1中的a換成－a．

同理可得如下：

結(jié)論2 已知動直線l交橢圓x2a2+y2b2=1（a>0，b>0，a不一定大于b）于A、B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P（0，b）），m≠0，m≠±b（m為常數(shù)），直線PA，PB的斜率為k1，k2，則

（1）l過定點(diǎn)（0，m）k1k2=b2（m－b）a2（m+b）定值；

（2）l過定點(diǎn)（m，－b）k1+k2=－2bm定值；

（3）l過定點(diǎn)（m，b）1k1+1k2=－2a2mb.

注：（1）當(dāng)P為橢圓下頂點(diǎn)時，只需將結(jié)論2中的b換成－b；

（2）在圓、雙曲線、拋物線中有類似的結(jié)論．

下面舉例說明以上結(jié)論在解題中的應(yīng)用．

例1 （2023年全國乙卷理科第20題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的離心率是53，點(diǎn)A－2，0在C上．

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)－2，3的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，

證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．

解：（1）易得橢圓方程為y29+x24=1.

（2）設(shè)點(diǎn)M（0，m），N（0，n），則kAM=m2，kAN=n2，又由結(jié)論1（2）知kAP+kAQ=2×93×2=3，即m2+n2=3，∴線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)0，3.

例2 （2022年高考浙江卷21題）如圖1，已知橢圓x212+y2=1，設(shè)A，B是橢圓上異于

P（0，1）的兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q（0，12）在線段AB上，直線PA，PB分別交直線y=－12x+3于C，D兩點(diǎn).

（1）略； （2）求|CD|的最小值.

解：設(shè)點(diǎn)C（2m，3－m），D（2n，3－n），由結(jié)論2（1）知kPAkPB=－136，即kPCkPD=－1362－m2m·2－n2n=－136（m－2）（n－2）=－19mnn=9m－185m－9， ∴|CD|=1+14|2m－2n|=5|m－n|=5|m－9m－185m－9|=55|5m－45m－905m－9|=55|5m－9（5m－9）－95m－9|=55|5m－9+95m－9|=55（|5m－9|+9|5m－9|）≥55·29=655（當(dāng)|5m－9|=3時取等號），∴|CD|的最小值為655．

例3 （2022年全國乙卷理科21題） 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，

對稱軸為x軸、y軸，且過A0，－2，B32，－1兩點(diǎn)．

（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P1，－2的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線

與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH．證明：直線HN過定點(diǎn)．

解證：（1）易得E的方程為x23+y24=1.

（2） 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由題設(shè)知直線AB的方程為x=32（y+2），故點(diǎn)T（32（y1+2），y1），H（3（y1+2）－x1，y1）．又在結(jié)論2（3）中，將b換成－b可得1kAM+1kAN=3，即x1y1+2+x2y2+2=3x1+x2（y1+2）y2+2=3（y1+2）3（y1+2）－x1=x2（y1+2）y2+2，∴H（x2（y1+2）y2+2，y1），∴kHN=y1－y2x2（y1+2）y2+2－x2=（y1－y2）（y2+2）x2（y1+2）－x2（y2+2）=（y1－y2）（y2+2）x2（y1－y2）=y2+2x2，∴直線HN的方程為y－y2=y2+2x2（x－x2），即y=y2+2x2x－2，所以直線HN過定點(diǎn)（0，－2）．

評注：上述三題均涉及曲線的內(nèi)接三角形（例如：例3中ΔAMN內(nèi)接于橢圓），其中一點(diǎn)為曲線的頂點(diǎn)（不妨記為A），另兩點(diǎn)的連線過定點(diǎn)（記為P），且PA⊥坐標(biāo)軸．求解這類問題可以利用本文中的結(jié)論輕松突破．所以教學(xué)時題不在多，貴在總結(jié)，要善于透過現(xiàn)象看清問題的本質(zhì)，找到問題的“根”，從而達(dá)到解一題、通一類、帶一串的目的.