一道高三導(dǎo)數(shù)質(zhì)檢試題的探究

2024年1月，福建省部分地市進(jìn)行了聯(lián)考，其中第21題的導(dǎo)數(shù)解答題引起筆者的關(guān)注，本文對其解法及結(jié)論進(jìn)行探究，與同仁交流.

1.試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=alnx－x－1x+1有兩個極值點(diǎn)x1，x2.（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1.

本題題干簡潔，但考查的知識與方法全面.考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力等；考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注；體現(xiàn)綜合性與創(chuàng)新性.

2.試題探源

本題的試題結(jié)構(gòu)及求解方法與2018年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第21題（已知函數(shù)f（x）=1x－x+alnx.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）存在兩個極值點(diǎn)x1，x2，證明：f（x1）－f（x2）x1－x2<a－2.）極為類似，可猜測篇首試題的題源是上述高考真題.

3.解法賞析

下面給出問題（2）的兩個解法，其中解法一來自參考答案.

解法一：由（1）知0<a<12，且x1+x2=2（1－a）a，x1x2=1，設(shè)0<x1<1<x2，化簡得

f（x1）－f（x2）x1－x2=alnx1－x1－1x1+1－alnx2+x2－1x2+1x1－x2=a（lnx1－lnx2）－2（x1－x2）（x1+1）（x2+1）x1－x2

=a（lnx1－lnx2）x1－x2－22+2（1－a）a=a（lnx1－lnx2）x1－x2－a，

欲證f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1，只需證明lnx1－lnx2x1－x2－1>1－2aa－1，只需證lnx1－lnx2x1－x2>a1－a，只需證lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2，只需證12lnx1x2<x1x2－1x1x2+1.令t=x1x2（0<t<1），只需證12lnt<t－1t+1.

由（1）知，當(dāng)a=12時，ax2+2（a－1）x+a=12（x－1）2≥0，即f′（x）≥0，所以f（x）=12lnx－x－1x+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則當(dāng)t∈（0，1），有f（t）<f（1）=0，即12lnt<t－1t+1，所以f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1.

評析：本題求解的關(guān)鍵在于驗(yàn)證不等式lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2，即x1－x2lnx1－lnx2<x1+x22（對數(shù)平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)），此不等式在雙變量不等式證明中經(jīng)常能夠見到，由此亦能管窺命題者的命題手法.

解注二：設(shè)0<x1<1<x2，由解法一得f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2，由于x1x2=1，則lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2lnx1－ln1x1x1－1x1>2x1+1x1lnx1x21－1>1x21+1lnx1<x21－1x21+1，

令t=x21（0<t<1），則lnx1<x21－1x21+112lnt<t－1t+1，同于解析一，可證12lnt<t－1t+1，故f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1.

評析：上述求解過程看似與解析一沒有太大區(qū)別，但在求解過程中，關(guān)注到x1，x2之間的倒數(shù)關(guān)系（解析一在驗(yàn)證lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2的過程中，并沒有利用到x1x2=1），故能夠驗(yàn)證難度更大的不等式，沿用此法，筆者驗(yàn)證了如下更強(qiáng)的不等式.

4.拓展延伸

筆者發(fā)現(xiàn)如下雙邊不等式成立.

定理 設(shè)函數(shù)f（x）=alnx－x－1x+1有兩個極值點(diǎn)x1，x2，則a（2a－1）<f（x1）－f（x2）x1－x2<23a（2a－1）.（1）

證明：由解法一有f（x1）－f（x2）x1－x2=a（lnx1－lnx2）x1－x2－a.由（1）知0<a<12，且x1+x2=2（1－a）a，x1x2=1，從而a=2x1+x2+2，x2=1x1，設(shè)0<x1<1<x2.

式（1）左端不等式lnx1－lnx2x1－x2>2alnx1－ln1x1x1－1x1>4x1+1x1+2lnx1x21－1>2（x1+1）2，要證f（x1）－f（x2）x1－x2>a（2a－1），只需證lnx1x21－1>2（x1+1）2，只需證12lnx1<x1－1x1+1，此不等式在解法一中已驗(yàn)證.

式（1）右端不等式lnx1－lnx2x1－x2<4a+13lnx1－ln1x1x1－1x1<83（x1+1x1+2）+13，故要證f（x1）－f（x2）x1－x2<23a（2a－1），只需證2x1lnx1x1－1<x21+10x1+13（x1+1），只需證lnx1>（x1－1）（x21+10x1+1）6x1（x1+1）.令g（t）=lnt－（t－1）（t2+10t+1）6t（t+1）（0<t<1），則

g′（t）=1t－t4+2t3+18t2+2t+16t2（t+1）2=－（t－1）46t2（t+1）2<0，

所以g（t）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，得g（t）>g（1）=0，從而lnx1>（x1－1）（x21+10x1+1）6x1（x1+1）成立，得證f（x1）－f（x2）x1－x2<23a（2a－1）.

綜上，定理成立.

評析：由0<a<12可得a（2a－1）－a－2a2a－1=a2（2a－1）a－1>0，故式（1）左端不等式不論在形式簡潔上，還是在不等式的強(qiáng)度上，均較原題問題（2）中不等式更優(yōu).