從課本習(xí)題到一組優(yōu)美結(jié)論

1.提出問(wèn)題

普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)習(xí)題8.3 綜合應(yīng)用第8題是：

分別以一個(gè)直角三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個(gè)幾何體.這3個(gè)幾何體的體積之間有什么關(guān)系？

該題也是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修2習(xí)題1.3B組第3題.對(duì)于該題，體積的計(jì)算不是難點(diǎn)，但是在探究幾何體的體積之間有什么關(guān)系時(shí)不知如何推進(jìn)，這里的關(guān)系是指大小關(guān)系還是等量關(guān)系，帶著這個(gè)疑問(wèn)，筆者進(jìn)行了探究.

本文中，設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，邊a，b，c上的高分別為ha，hb，hc，△ABC的面積為S，該三角形繞著三條邊a，b，c旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積分別為Va，Vb，Vc.

2.一種代換

定理 在△ABC中，aVa=bVb=cVc.即三角形中成立的任何一個(gè)邊角關(guān)系中，將a，b，c作代換1Va，1Vb，1Vc（即（a，b，c）→（1Va，1Vb，1Vc）），結(jié)論成立.

證明：①當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，如圖1所示，不妨設(shè)∠C=90°，

則Va=13πb2a=4πS23a，Vb=13πa2b=4πS23b，

Vc=13πh2cAD+13πh2cBD=13πh2cc=4πS23c.

②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖2所示，

則Va=13πh2aBD+13πh2aCD=13πh2ca=4πS23a，

同理可得Vb=4πS23b，Vc=4πS23c.

當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，類似可得結(jié)論成立

綜上，對(duì)任意△ABC，均有Va=4πS23a，Vb=4πS23b，Vc=4πS23c，于是aVa=bVb=cVc.

注：Va，Vb，Vc與三邊成反比，即在任意△ABC中，邊越大，以它為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積越小.

3.一組優(yōu)美結(jié)論

定理2 （余弦定理）在△ABC中，有1V2a=1V2b+1V2c－21Vb·1VccosA，1V2b=1V2c+1V2a－21Vc·1VacosB，1V2c=1V2a+1V2b－21Va·1VbcosC.

證明：設(shè)aVa=bVb=cVc=t，則a=tVa，b=tVb，c=tVc，

代入余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，得（tVa）2=（tVb）2+（tVc）2－2·tVb·tVccosA，

所以1V2a=1V2b+1V2c－21Vb·1VccosA，類似可得另外兩式.

推論 （勾股定理）在△ABC中，若∠A=90°，則1V2a=1V2b+1V2c.

定理3 （正弦定理）在△ABC中，有1VasinA=1VbsinB=1VcsinC.

證明：設(shè)aVa=bVb=cVc=t，則a=tVa，b=tVb，c=tVc，

代入正弦定理asinA=bsinB=csinC，得tVasinA=tVbsinB=tVcsinC，故1VasinA=1VbsinB=1VcsinC.

定理4 （射影定理）在△ABC中，有1Va=1VbcosC+1VccosB，1Vb=1VccosA+1VacosC，

1Vc=1VacosB+1VbcosA.

證明：設(shè)aVa=bVb=cVc=t，則a=tVa，b=tVb，c=tVc，

代入射影定理a=bcosC+ccosB，得tVa=tVbcosC+tVccosB，所以1Va=1VbcosC+1VccosB，

類似可得另外兩式.

評(píng)注：以上定理和推論可以看作是余弦定理、勾股定理、正弦定理、射影定理在立體幾何中的推廣，形式優(yōu)美.

根據(jù)定理1，結(jié)合三角形中的其他的一些已有不等式亦可以獲得一些有趣的結(jié)論.本文不再贅述.除了探討旋轉(zhuǎn)幾何體的體積關(guān)系，也可以探究旋轉(zhuǎn)體的表面積關(guān)系，留給有興趣的讀者探究.